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13 sept 2019 · Nous avons ainsi démontré que pour un système réparable, la disponibilité est toujours supérieure ou égale à la fiabilité Exercice 2 : Estimation

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Exercice 2 : reprendre l'exercice 1 avec quatre composants et 8540, 11450, 5650 et 7300 heures Exercice 3 : le système une fiabilité globale de 0,999 (99,9 ) pour l'ensemble du système Exercice 4 : Exercices corrigés EXERCICE 1

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Année 2019-2020

13 septembre 2019

B. Monsuez

Exercice 1 : Transformation et manipulation des probabilités Question 1 : Sachant que le Mean Time To Failure est définit comme MTTF׬ؠ ଴, démontrez

MTTFܴ׬ؠ

(Pensez à faire une intégration par partie).

Correction de la Question 1 :

Nous savons que :

Nous effectuons une intégration par partie et nous procédons à la simplification des expressions :

Question 2 : Sachant que le Mean Time To Repair est définit comme MTTR׬ؠ ଴, démontrez

MTTRܩ ׬ؠ

Correction de la question 2 : Nous effectuons exactement de la même manière une intégration par

partie et nous procédons à la simplification des expressions en partant cette fois des équations

suivantes :

Question 3 : Montrer que le niveau de disponibilité est toujours supérieur au niveau de fiabilité.

de manière informelle ces résultats.

Correction de la question 3 : Pour un système dit-non réparable, la fiabilité est égale à la

disponibilité. En effet, tant que le système fonctionne, il est capable de fournir le service. Donc nous

que le système ne soit pas tombé en panne depuis le début de son fonctionnement.

avons comme propriété que la probabilité à un instant que le système soit disponible est égale à :

La probabilité que le système ne soit pas tombée en panne depuis le début du fonctionnement Donc pour un système ayant connu au moins une réparation nous ajoutons à ܴ suite ă la rĠparation d'une panne :

Nous avons ainsi démontré que pour un système réparable, la disponibilité est toujours supérieure

ou égale à la fiabilité. Exercice 2 : Estimation du niǀeau d'un systğme modulaires d'une batterie Nous supposons que nous avons un système de conception modulaire dont les éléments peuvent

être changés indépendamment les uns des autres. Nous supposons que notre système est composée

de 20 de ces éléments. Nous supposons que ces relations ont été démontrées :

Question 1 Nous supposons que nous avons un taux de défaillance constant appelé ɉ, calculer le

Correction de la Question 1 :

Nous savons que :

Ce qui nous permet de calculer le MTTF à partie de la fonction établie par l'eǆercice prĠcĠdent :

Question 2 Nous supposons avoir un taux de réparation constant que nous notons Ɋ, calculer le

Correction de la Question 2 :

Nous savons que :

MTTR d'un ĠlĠment de ce systğme (temps d'interǀention pour remplacer l'ĠlĠment) est de 30

minutes.

Déterminez les valeurs ɉ et Ɋ.

Déterminez le niveau de fiabilité du système sur un an et sur 5 ans. DĠterminez le niǀeau d'indisponibilitĠ du système sur un an et sur 5 ans.

DĠterminez le nombre d'interǀentions nĠcessaires du système pour une période de 5 ans.

Applications numériques pour la fiabilité

ɉ et Ɋ doivent être exprimées dans la même unité de mesure. Ici le MTTF est exprimée ne années, le

MTTR en minutes. Il faut choisir une unitĠ commune, par eǆemple en nombre d'heures. Dans ce cas

nous avons :

Pour les niveaux de fiabilités, nous avons :

dysfonctionnement du système. Pour effectuer les calculs, nous aǀons besoin d'introduire deuǆ nouǀelles notions :

L'intensitĠ de panne (failure intensity) :

Le nombre de pannes attendu (Expected Number of Failures) : soit la première, la deuxième, la troisième panne, ainsi de suite.

étant :

L'intensitĠ de rĠparation (repair intensity) Le nombre de réparations attendu (Expected Number of Repairs) : ce soit la première, la deuxième, la troisième réparation, ainsi de suite.

étant :

Formules de calcul des intensités de pannes et de réparations

ConsidĠrons dĠsormais l'intensitĠ de pannes, cette intensitĠ pour un interǀalle de temps infinitĠsimal

Par analogie, nous considĠrons l'intensitĠ de rĠparation pour l'interǀalle infinitĠsimal allant de

entre - et ݐ, ce qui nous donne la formule suivante :

faute ă l'Ġtat normal) le nombre de pannes et le nombre de réparations, nous pouvons définir le

nombre de systèmes en cours de réparations comme étant :

Les expressions définissants disponibilités et indisponibilités peuvent dont être réécrites comme

suit : réécrire les équations précédentes en :

Et par extension :

Après intégration, nous avons :

Qui nous donne ensuite :

Pour obtenir finalement :

44 ൅ 442

Question 3 Au fonctionnement normal du système, nous considérons désormais la possibilité que

réparation soit possible. Pour simplifier, nous supposons que la probabilité de détérioration du

Construisez le diagramme de dégradation du système. Déterminez la probabilité de destruction totale du système sur une période de 5 ans. Le diagramme de défaillance du système est le suivant : 012

ʄ ʄ2

Nous considérons que nous avons à chaque intervention une perte de 1/1000 des batteries. Nous probabilité de perte complète de la batterie suite à une intervention.quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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13 septembre 2019

B. Monsuez

MTTFܴ׬ؠ

Correction de la Question 1 :

Nous savons que :

MTTRܩ ׬ؠ

Correction de la Question 1 :

Nous savons que :

Correction de la Question 2 :

Nous savons que :

Déterminez les valeurs ɉ et Ɋ.

Applications numériques pour la fiabilité

Pour les niveaux de fiabilités, nous avons :

L'intensitĠ de panne (failure intensity) :

étant :

étant :

Et par extension :

Après intégration, nous avons :

Qui nous donne ensuite :

Pour obtenir finalement :

44 ൅ 442

44 ൅ 442

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