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Terminale S/ES/STI Mathématiques Fiche n°7 - Nombres complexes Les nombres complexes, écritures et opérations J Paquereau 1/14 Cours : fiche n° 7

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Fiche n°7 - Nombres complexes

Les nombres complexes, écritures et opérations

J. Paquereau 1/14

Cours : fiche n°7 - Nombres complexes

Thème : les nombres complexes, écritures et opérations.

Notions abordées Page

1. Notation algébrique et propriétés : définition du corps des complexes et écriture algébrique,

opérations sur les nombres complexes, propriétés. 1

2. Notation trigonométrique et propriétés : interprétation géométrique, propriétés et notation

trigonométrique ou polaire. 3

3. Notation exponentielle et propriétés : notation exponentielle, propriétés. 5

4. Equations du second degré : solutions complexes des équations du second degré à

coefficients réels puis à coefficients complexe. 9

5. Nombres complexes et géométrie : plan complexe, symétries, translations et rotations et

résolution de problèmes de géométrie ăů͛ĂŝĚĞĚĞƐŶŽŵďƌĞƐĐŽŵƉůĞǆĞƐ͘ 12

1. Notation algébrique et propriétés

1.1. Ƶ͛ĞƐƚ-ĐĞƋƵ͛ƵŶ nombre complexe ?

Il existe divers ensembles de nombres : ԳؿԺؿԷؿ

construire ů͛ĞŶƐĞŵďůĞĚes nombres complexes. Cet ensemble est noté ԧ et on a : Թؿ

On introduit ݅ tel que ݅ଶൌെͳ. Magnifique ! Nous avons " créé » un carré positif ! Impossible ? En fait,

ƵŶĐĂƌƌĠŶ͛ĞƐƚƉĂƐĨŽƌĐĠŵĞŶƚƉŽƐŝƚŝĨ͕ůĂƌğŐůĞĞǆĂĐƚĞĞƐƚ : le carré de tout nombre réel est positif.

͛ĞŶƐĞŵďůĞ ĚĞƐ ŶŽŵďƌĞƐ ĐŽŵƉůĞǆĞƐ͕ ŶŽƚĠԧ, ĞƐƚ ů͛ĞŶƐĞŵďůĞ ĚĞƐ nombres ݖ Ɛ͛ĠĐrivant sous la

forme suivante : ݖൌܽ൅ܾ݅ avec ݅ tel que ݅ଶൌെͳ, ܽǡאܾ

Cette notation est qualifiée de forme algébrique.

Soit ݖൌܽ൅݅אܾ

Le nombre réel ܽ est appelé partie réelle de ݖ et on note : ܴ݁ሺݖሻൌܽ

Le nombre réel ܾ est appelé partie imaginaire de ݖ et on note : ܫ݉ሺݖሻൌܾ

Si ܽ

1.2. Opérations sur les nombres complexes

Partant de la précédente définition, nous pouvons munir ů͛ensemble ԧ de plusieurs opérations :

Conjugaison : soitݖൌܽ൅ܾ݅

Le conjugué de ݖ est ݖҧൌܽെܾ݅ Addition : soientݖൌܽ൅ܾ݅ et ݖԢൌܽԢ൅ܾ݅

ݖ൅ݖᇱൌሺܽ൅ܽᇱሻ൅݅ሺܾ൅ܾᇱሻ ou encore ݖ൅ݖᇱൌሺܴ݁ሺݖሻ൅ܴ݁ሺݖᇱሻሻ൅݅ሺܫ݉ሺݖሻ൅ܫ

N.B. : cette addition est commutative, i.e. : ݖ൅ݖᇱൌݖᇱ൅ݖ. Son élément neutre est Ͳ, i.e. : Ͳ൅ݖൌݖ. Elle est associative,

i.e. : ሺݖ൅ݖᇱሻ൅ݖԢԢൌݖ൅ሺݖᇱ൅ݖᇱᇱሻ. ͛ŚĠƐŝƚĞǌƉĂƐăǀĠƌŝĨŝĞƌ !

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Fiche n°7 - Nombres complexes

Les nombres complexes, écritures et opérations

J. Paquereau 2/14

Multiplication : soientݖൌܽ൅ܾ݅ et ݖԢൌܽԢ൅ܾ݅

N.B. : cette multiplication est commutative, i.e. : ݖݖᇱൌݖᇱݖ. Son élément neutre est ͳ, i.e. : ͳൈݖൌݖ et son élément

absorbant 0, i.e. : ͲൈݖൌͲ. Elle est associative, i.e. : ሺݖݖᇱሻݖԢԢൌݖሺݖᇱݖᇱᇱሻ ĞƚĚŝƐƚƌŝďƵƚŝǀĞƉĂƌƌĂƉƉŽƌƚăů͛ĂĚĚŝƚŝŽŶ͕ăƐĂǀŽŝƌ que :

Multiplication par un scalaire : soitݖൌܽ൅ܾ݅ Egalité : soientݖൌܽ൅ܾ݅ et ݖԢൌܽԢ൅ܾ݅ On dit que ݖൌݖǯ si et seulement si ܽൌܽǯ et ܾൌܾ

Exemple : soient ݖൌହା௜

ଶ et ݖԢൌଶ ଷ൅݅ deux nombres complexes.

On a : ݖൌହା௜

Les conjugués de ݖ et ݖǯ sont respectivement : ݖൌହ ଶ݅ et ݖᇱൌଶ La somme de ݖ et ݖǯ est : ݖ൅ݖᇱൌହ Le produit de ݖ et ݖǯ est : ݖݖᇱൌቀହ Autre exemple : mettre ݖൌହା௜ ଻ିଶ௜ sous forme algébrique.

1.3. Propriétés

(i) Soitݖאԧ, alors : ݖݖҧൌܴ݁ሺݖሻଶ൅ܫ (ii) Soitݖאԧ, alors : ݖ൅ݖҧൌʹܴ

Preuves : ݖ ƉĞƵƚƐ͛ĠĐƌŝƌĞƐŽƵƐůĂĨŽƌŵĞݖൌܽ൅ܾ݅ avec ܽǡאܾԹ et ݅ଶൌെͳ. Dès lors, ݖҧൌܽെܾ݅

définition du nombre conjugué.

(i) ݖݖҧൌሺܽ൅ܾ݅ሻሺܽെܾ݅ሻൌܽଶെሺܾ݅ሻଶൌܽଶെ݅ଶܾଶൌܽଶ൅ܾ

(ii) ݖ൅ݖҧൌܽ൅ܾ݅൅ܽെܾ݅ൌܽ൅ܽൌʹܽ

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Les nombres complexes, écritures et opérations

J. Paquereau 3/14

2. Notation trigonométrique et propriétés

2.1. Interprétation géométrique et notation trigonométrique

Une manière commode de représenter un nombre complexe ݖ͕Đ͛ĞƐƚĚĞůĂǀŝƐƵĂůŝƐĞƌƐƵƌĐĞƋƵ͛ŽŶ

appelle le plan complexe ƋƵŝƐ͛ĂƉƉĂƌĞŶƚĞăƵŶƐŝŵƉůĞƌĞƉğƌĞŽƌƚŚŽŶŽƌŵĠ͘ĞĨĂŝƚ͕ŽŶĐŽŶƐƚĂƚĞƋƵ͛ƵŶ

nombre ĐŽŵƉůĞǆĞƐ͛ĂƉƉĂƌĞŶƚĞăƵŶǀĞĐƚĞƵƌ͘ŶĞĨĨĞƚ͕ŽŶƉĞƵƚĐŽŶƐŝĚĠƌĞƌƋƵĞ :

Le nombre 0 correspond au vecteur ሺͲǡͲሻሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ;

Le nombre 1 correspond au vecteur ሺͳǡͲሻሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ;

Le nombre ݅ correspond au vecteur ሺͲǡͳሻሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ;

Plus généralement, le nombre ݖൌܽ൅ܾ݅ Ɛ͛ĂƉƉĂƌĞŶƚĞĂƵǀĞĐƚĞƵƌሺܽǡܾ

Pareillement, l͛ĂĚĚŝƚŝŽŶĚĞŶŽŵďƌĞƐĐŽŵƉůĞǆĞƐĞƚůĂŵƵůƚŝƉůŝĐĂƚŝŽŶĚ͛ƵŶŶŽŵďƌĞĐŽŵƉůĞǆĞƉĂƌƵŶ

ƐĐĂůĂŝƌĞƐ͛ĂƉƉĂƌĞŶƚĞŶƚăůĞƵƌƐŚŽŵŽůŽŐƵĞƐǀĞĐƚŽƌŝĞůƐ͘ŽŝĞŶƚሺܽǡܾሻሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ et ሺܽԢǡܾ

réel, on a bien : ሺܽǡܾሻሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ൅ሺܽԢǡܾԢሻሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦൌሺܽ൅ܽᇱǡܾ൅ܾԢሻሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ et ݇ሺܽǡܾሻሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦൌሺ݇ܽǡܾ݇

A gauche, on a représenté le nombre complexe ݖ dans le plan complexe. On ordonnées. de nouvelle caractéristique des nombres complexes :

On appelle module de ݖ la quantité : ȁݖȁൌඥܴ݁ሺݔሻଶ൅ܫ݉ሺݔሻଶൌξܽଶ൅ܾ

On appelle argument de ݖ ů͛ĂŶŐůĞŽƌŝĞŶƚĠ : ܽݎ݃ሺݖሻൌቀሺͲǢܴ݁ሺݖሻሻሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦǢሺܴ݁ሺݖሻǢܫ

Remarque !

A partir de cette interprétation géométrique précédente, on peut formuler quelques remarques.

ŽƵƚĚ͛ĂďŽƌĚ͕Žn notera que ů͛ĞŶƐĞŵďůĞĚĞƐ

nombre ݖא ĚĞ ƌĂǇŽŶ ϭ͕ Đ͛ĞƐƚ-à-dire le cercle de trigonométrique. Plus généralement, un nombre complexe ݖא ԧ de module ȁݖȁ peut toujours se visualiser comme un point du cercle de centre le plan complexe et de rayon ȁݖȁ.

Ceci nous donne à voir les nombres complexes

déduit les propriétés formulées ci-après.

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Les nombres complexes, écritures et opérations

J. Paquereau 4/14

2.2. Propriétés

(i) Soitݖאԧ, on note ߠൌܽݎ݃ሺݖሻ, alors : ܴ݁ሺݖሻൌȁݖȁܿ݋ݏሺߠሻ et ܫ݉ሺݖሻൌȁݖȁݏ݅݊ሺߠ

(ii) Soitݖאԧ, ݖ ƉĞƵƚƐ͛ĠĐƌŝƌĞƐŽƵƐůĂĨŽƌŵĞݖൌݎ൫ܿ݋ݏሺߠሻ൅݅ݏ݅݊ሺߠሻ൯ avec ݎǡאߠ

qualifiée de forme trigonométrique ou forme polaire.

(iii) Soitݖൌܽ൅݅אܾԧ, on note ߠൌܽݎ݃ሺݖሻ, alors ܿ݋ݏሺߠ

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Notions abordées Page

1. Notation algébrique et propriétés : définition du corps des complexes et écriture algébrique,

2. Notation trigonométrique et propriétés : interprétation géométrique, propriétés et notation

3. Notation exponentielle et propriétés : notation exponentielle, propriétés. 5

4. Equations du second degré : solutions complexes des équations du second degré à

5. Nombres complexes et géométrie : plan complexe, symétries, translations et rotations et

1. Notation algébrique et propriétés

1.1. Ƶ͛ĞƐƚ-ĐĞƋƵ͛ƵŶ nombre complexe ?

Soit ݖൌܽ൅݅אܾ

Si ܽ

1.2. Opérations sur les nombres complexes

Conjugaison : soitݖൌܽ൅ܾ݅

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Exemple : soient ݖൌହା௜

On a : ݖൌହା௜

1.3. Propriétés

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2. Notation trigonométrique et propriétés

2.1. Interprétation géométrique et notation trigonométrique

Remarque !

Ceci nous donne à voir les nombres complexes

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2.2. Propriétés