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Examens corrigés

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Sud, France

1.Examen 1

Exercice 1.

SoientHetKdeux espaces de Hilbert, soitFun sous-espace vectoriel arbi- traire deH, et soitLune application linéaire continue quelconque deFdansK. L"objectif est de démontrer qu"il existe (au moins) un prolongement linéaire continu eL:H!K de l"applicationLàHtout entier,i.e.satisfaisanteLF=LetjjjeLjjj<1, dont la norme d"opérateur reste inchangée :jjjeLjjj=jjjLjjj. (a)Rappeler la définition de la norme d"opérateurjjjLjjj. (b)Montrer tout d"abord queLadmet un unique prolongement linéaire continuL02 Lin F;K (c)Établir que l"applicationh7! F (h), deHà valeurs dans

F, "projection orthogonale

sur

F», est linéaire continue. Que vautjjj

F jjj? (d)Considérer l"opérateureL:=L0 F et conclure.

Exercice 2.

SoitC1;C2;:::;Ck;:::une suite de sous-ensembles convexes fermés non vides dans un espace de HilbertHqui satisfont : C k+1Ck(k>1): (a)Montrer par un exemple géométrique simple que l"intersection : C 1:=1\ k=1C k peut se réduire à l"ensemble vide. (b)On suppose dorénavant queC16=;. Vérifier alors queC1est un sous-ensemble convexe fermé deH. (c)Fixons à présent un élémenth2Harbitraire. Pour tout entierk>1, on note : h k:=Ck(h) le projeté dehsurCk, et aussi : C1(h) le projeté dehsurC1. Vérifier alors que : jjhhkjj26jjhhk+1jj26jjhC1(h)jj2: 1

2FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

(d)Qu"en déduire sur la suitejjhhkjj2 k>1? (e)En utilisant l"identité du parallélogramme (que l"on rappellera ou que l"on reconsti- tuera), établir que la suite(hk)k>1est alors nécessairement de Cauchy dansHpour la distance associée à la norme hilbertienne. (f)Si on note : h

1:=limk!1hk;

montrer que l"on a, pour toutg2C1:

Rehhh1; gh1i60:

(g)En déduire : h

1=C1(h);

et énoncer le résultat obtenu sous la forme d"un théorème clair.

Exercice 3.

Sif2C0(T), alors pour toutn2N, lan-ème somme de Fejér est continue sur le cercleTet satisfait : jjn(f)jjC06jjfjjC0:

Exercice 4.

Calculer les coefficients de Fourier de la fonctionf:R!Rdéfinie pour tout

2[;]par :

f() := 12 2; et prolongée comme fonction2-périodique (continue) surRtout entier.

Exercice 5.

On considère la série de fonctions :

X n>1sin 3(n) n!: (a)Montrer que cette série converge uniformément surR. On noteS()sa somme. (b)Montrer queSest de classeC1et2-périodique. (c)En développantsin3(n), exprimerS()en fonction de (justifier aussi l"existence) : () :=X n>1sin(n) n!: (d)Montrer queS()est développable en série de Fourier et trouver son développement. (e)En considérant aussi : () :=1X n=1cosn n!; calculer explicitement() +i(). (f)En déduire que pour tout2R, on a la formule explicite :

S() =3

4 sinsin)ecos1 4 sinsin3)ecos3:

1.Examen 13

Exercice 6.

Soitf2C0(T)ayant une série de Fourier de la formeP n>1bnsin(n)avec b n2R. est impaire. (b)On considère la fonctionF:R!Rdéfinie par :

F() :=Z

0 f(t)dt: Montrer queFest2-périodique, de classeC1, et que ses coefficients de Fourier sont donnés par :2 6 64b

F(0) =Z

2 0 tf(t)dt 2; b

F(k) =1

2jkjbjkj;8k2Z:

Exercice 7.

Soitf2C0(T). Montrer que la série :

X k2Zb f(k) k est absolument convergente.

4FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

2.Corrigé de l"examen 1

Exercice 1.

On supposeraF6=f0g, car siFse réduit àf0g, l"application linéaire continue H!Kidentiquement nulle convient comme prolongement de l"application nullef0g !

Kpréservant la norme d"opérateur.

(a)La norme de l"opérateur linéaire :

L:F;jj jjH!K;jj jjK

est classiquement définie par : jjjLjjj:=sup f2F f6=0jjL(f)jjK jjfjjH=sup f2F jjfjj=1jjL(f)jjK: (b)Tout élément f2 Fde l"adhérence du sous-espace vectorielFHs"obtient comme la limite dansHd"une certaine suite(fk)k>1d"élémentsfk2F, laquelle est alors néces- sairement de Cauchy. Or la majoration uniforme : jjL(fk2)L(fk1)jjK6jjjLjjjjjfk2fk1jjH montre que la suiteL(fk) k>1est alors aussi de Cauchy dans l"espace de HilbertK, lequel est complet par définition. Donc il existe un unique g2Ktel quelimk!1L(fk) = g. Maintenant, cette application (noter le léger changement de notation par rapport à l"énoncé, où le prolongement

Létait notéL0)

Lqui à un tel

Fassocie ce

gestli- néaire, puisque, sif0k! f 02 F, si g 0:= L( f

0), sif00k!

f 002 F, si g 00:= L( f

00), et si

0; 00sont deux constantes arbitraires, la suite0f0k+00f00kconverge vers0

f 0+00 f

00, et

on déduit de la linéarité de

Lque :

lim k!1L0f0k+00f00k=0limk!1L(f0k) +00limk!1L(f00k) =0 g 0+00 g 00; donc l"unique élément que

Lassocie à0

f 0+00 f

00est bien égal à0

L( f

0) +00

L( f 00). Ensuite, en passant à la limite dans les inégalités : jjL(fk)jjK6jjjLjjjjjfkjjH(k>1;fk2F); on obtient : jj L f jjK6jjjLjjjjj fjjH; et doncjjj

Ljjj6jjjLjjj, ce qui montre que

Lest un opérateur linéaire continu. En fait, comme L

F=L, on a même, plus précisément :

jjj

Ljjj=jjjLjjj:

Enfin, si deux applications linéaires continues L 1: F!Ket L 2:

F!Kprolongent

toutes deuxL:F!K, à savoir L

1F=Let

2F=L, alors, puisque tout élément

2.Corrigé de l"examen 15

élément

f2 Fde l"adhérence deFpeut s"écrire comme la limite f=limk!1fkd"une suite d"élémentsfk2F, et puisque L 1et L

2sont continues, on voit que :

L 1 f L

1limk!1fk=limk!1

1(fk) =limk!1L(fk) =

=limk!1 L

2(fk) =

2limk!1fk=

L 2 f d"où L 1= L 2.

Ainsi l"application

Ldéfinit l"unique prolongement linéaire continu L2Lin F;K de

L, c"est-à-dire satisfaisant

L F=L. (c)D"après un résultat du cours, puisque Fest fermé, l"espace de HilbertHse décompose comme somme directe orthogonale : H= F F de

Favec son orthogonal :

F ?:=g2H:hg;fi= 0;8f2 F lequel est lui aussi fermé. Ainsi, tout élémenth2Hse décompose comme : h= F (h) + F ?(h); où les deux projections F ()et F ?()sont linéaires, et l"orthogonalité assure que le théo- rème de Pythagore est satisfait : jjhjj2= F (h)2+ F ?(h)2:

Mais alors, si on néglige le second terme à droite qui est positif, cette égalité peut être vue

comme une inégalité : jjhjj2> F (h)2; laquelle exprime que la norme de l"opérateur de projection orthogonale F ()est toujours

61. Enfin, puisque cet opérateur se réduit à l"identité en restriction à

F6=f0g, on a en

fait : jjj F jjj= 1: (d)L"opérateureL:= L F est linéaire continu, puisque Let F le sont tous deux. De

plus, grâce à la majoration connue de la norme d"opérateur d"une composition d"opérateurs

continus : jjjeLjjj6jjj

Ljjj jjj

F jjj| {z =1 =jjj Ljjj =jjjLjjj; on voit que eLest continu lui aussi, de norme d"opérateur majorée par celle deL. Mais comme sa restriction eLF=LàF6=f0gest clairement égale àLpar définition, il se trouve quejjjeLjjj=jjjLjjjen fait. En conclusion, il existe (au moins) un prolongement linéaire continu eL:H!Kde l"applicationLàHtout entier,i.e.satisfaisanteLF=LetjjjeLjjj<1, dont la norme

d"opérateur reste inchangée :jjjeLjjj=jjjLjjj. Ce théorème est vrai plus généralement dans

6FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

n"importe quel espace vectoriel normé (espace dit de Banach), d"après le fameuxThéorème de Hahn-Banach (cours de M1).

Exercice 2.

(a)DansH=R2(x;y), une famille de demi-espaces fermés à bords parallèles qui est poussée à l"infini telle que, disons,Ck:=fx>kg, offre un exemple simple de suite de sous-ensembles convexes fermés non videsC1;C2;:::;Ck;:::emboîtés les uns dans les autres :Ck+1Ckmais dont l"intersectionT1 k=1Ck=;est vide. (b)L"intersectionT1 k=1Ck=:C1est toujours un fermé, car au niveau abstrait de la topologie générale, une intersection quelconque d"ensembles fermés est encore fermée, sachant que l"ensemble vide est un fermé lui aussi. SiC1est non vide, soientf;g2C1. Alors pour tout entierk, ces deux élémentsfet gappartiennent àCk. Mais puisqueCkest convexe, le segment ferméftf+ (1t)g: 06 t61gqu"ils délimitent est contenu dansCk, et ce, pour toutk>1. Donc ce segment est aussi contenu dans l"intersectionC1de tous lesCk, d"où il découle queC1est convexe. (c)D"après un résultat du cours, sih2Hest un élément arbitraire, ses projectionshk:= Ck(h)(k>1) etC1(h)sur les convexes fermésCk(k>1) etC1existent et sont uniques. Or à cause des deux inclusions : C

1Ck+1etCk+1Ck;

on a immédiatement :

C1(h)2Ck+1ethk+12Ck;

et alors grâce aux deux propriétés de minimisation de la distance : on peut en déduire, si l"on poseg:=C1(h)puisg:=hk+1, respectivement, les deux inégalités désirées : (d)On en déduit que la suite de nombre réels tous positifsjjhhkjj2 k>1, qui est croissante et majorée parjjhC1(h)jjadmet une unique limite, disonsd1>0, dansR+. (e)L"identité du parallélogramme, qui remonte à Pythagore et à Euclide, stipule que pour tousu;v2H, on a : jjujj2+jjvjj2= 2u+v 2 2+1 2 jjuvjj2: Appliquons donc cette identité àu:=hhk1et àv:=hhk2pour deux entiersk16k2, en plaçantjjuvjj2seul à gauche, ce qui nous donne : 1 2 jjhk2hk1jj2=jjhhk1jj2+jjhhk2jj22hhk1+hk2 2 2: Or, puisquehk1ethk2appartiennent tous deux àCk1Ck2, leur milieuhk1+hk2 2 appartient aussi au convexeCk1, et donc encore grâce à la propriété de minimisation, on a : jjhhk1jj6hhk1+hk2 2 c"est-à-dire de manière équivalente en multipliant par1: hhk1+hk2 2

6jjhhk1jj:

2.Corrigé de l"examen 17

En revenant à l"égalité précédente, on en déduit alors une inégalité : 1 2 jjhk2hk1jj26jjhhk2jj2 jjhhk1jj2 qui implique que la suite doublejjhk2hk1jjsatisfait la condition dite de Cauchy pour la distance associée à la norme hilbertienne, puisque nous venons de voir que la suite dé- croissante positivejjhhkjj2quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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Examens corrigés

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Sud, France

1.Examen 1

Exercice 1.

F, "projection orthogonale

F», est linéaire continue. Que vautjjj

Exercice 2.

2FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

1:=limk!1hk;

Rehhh1; gh1i60:

1=C1(h);

Exercice 3.

Exercice 4.

2[;]par :

Exercice 5.

On considère la série de fonctions :

S() =3

1.Examen 13

Exercice 6.

F() :=Z

F(0) =Z

F(k) =1

2jkjbjkj;8k2Z:

Exercice 7.

Soitf2C0(T). Montrer que la série :

4FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

2.Corrigé de l"examen 1

Exercice 1.

Kpréservant la norme d"opérateur.

L:F;jj jjH!K;jj jjK

Létait notéL0)

Lqui à un tel

Fassocie ce

0), sif00k!

00), et si

0; 00sont deux constantes arbitraires, la suite0f0k+00f00kconverge vers0

00, et

Lque :

Lassocie à0

00est bien égal à0

0) +00

Ljjj6jjjLjjj, ce qui montre que

F=L, on a même, plus précisément :

Ljjj=jjjLjjj:

F!Kprolongent

1F=Let

2F=L, alors, puisque tout élément

2.Corrigé de l"examen 15

élément

2sont continues, on voit que :

1limk!1fk=limk!1

1(fk) =limk!1L(fk) =

2(fk) =

2limk!1fk=

Ainsi l"application

L, c"est-à-dire satisfaisant

Favec son orthogonal :

61. Enfin, puisque cet opérateur se réduit à l"identité en restriction à

F6=f0g, on a en

Ljjj jjj

6FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

Exercice 2.

1Ck+1etCk+1Ck;

C1(h)2Ck+1ethk+12Ck;

6jjhhk1jj:

2.Corrigé de l"examen 17