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Corrigé détaillé de l'Examen partiel du Mercredi 12 mars 2014 Exercice 1 Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f : R → R définie pour tout

la n-ème somme de Fejér est continue sur le cercle T et satisfait : σn(f)C 0 ⩽ f C 0 Exercice 4 Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f : R → R

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Exercice 4 Soit f : R → R la fonction 2π-périodique telle que f(x) = ex pour tout x ∈ ]−π, π] (1) Calculer les coe cients de Fourier exponentiels de la fonction f

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Devoirs, Examens

Intégration, Analyse de Fourier

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Sud, France

"Dieu ne se soucie pas de nos difficultés mathématiques.»

MikhailGROMOV, Professeur permanent à l"IHES.

Méthodologie de travail

Polycopié de cours.Des chapitres constituant un polycopié en cours d"élaboration seront

distribués régulièrement. Chaque étudiant est invité à signaler les fautes typographiques et

autres défauts, puisque cela aidera à améliorer le polycopié pour l"année prochaine. De

nombreux exercices d"assimilation seront inclus. Lecture régulière du polycopié.Afin de réussir sa formation au métier merveilleux de mathématicien - métier qui exige une grande capacité de lire, en solitaire, des textes ma-

thématiques écrits -, chaque étudiant doit impérativement lire et étudier attentivement le

polycopié. Le travail de lecture peut s"effectuer occasionnellement, même sur des courtes

périodes d"une dizaine de minutes, à la maison, à la bibliothèque ou dans les transports en

commun.C"est en lisant qu"on devient vraiment intelligent, car on absorbe les intelligences

variées d"autres personnes sans rester confiné en soi-même, voire infiniment pire : confiné

à l"abrutissement total du tripotage crétinisant de téléphone portable! Tous les mathéma-

ticiens professionnels sont de grands lecteurs et savent mettre à distance la technologie ludique envahissante. Assiduité au cours.Il est vrai que lire des mathématiques peut s"avérer ardu voire dé- courageant, d"autant plus que d"assez nombreux textes écrits sous-entendent beaucoup de choses et ne parviennent pas véritablement à transmettre les intuitions fondamentales. Or c"est principalement le cours oral au tableau qui permet de transmettre les idées infor- melles et les intuitions importantes. Aussi lecture du polycopié et présence au cours sont- ellesdeux activités complémentaires et indispensables pour une préparation optimale au

métier de mathématicien. De plus,on lit beaucoup plus facilement le polycopié après avoir

écouté le professeur.

Prise de notes pendant les séances de cours.L"existence d"un polycopiéne dispense absolument pas de prendre des notes manuscrites complètes et soignées, car ces notes, relatives au cours intuitif, viendront compléter la lecture du polycopié écrit.Au tableau

apparaîtront de nombreuses figures qui seront absentes du polycopié.Il faut donc être très

respectueux des figures, qui sont de la pensée intuitive très élaborée. Devoirs à la maison.Trois devoirs à la maison seront proposés au cours du semestre avec des exercices de niveau fort accessible.On tiendra compte "inconsciemment» des performances de chacun aux devoirs à la maison pour relever ou rabaisser les notations. Évidemment, avoir réfléchiindépendammentsur ces devoirs aidera grandement à obtenir une note finale agréable, car un certain pourcentage des questions d"examen (partiel) seront des variations sur des questions traitées à la maison. 3

1. Partiel du Jeudi 10 Mars 2011 ................................... 4

2. Corrige détaillé du partiel du Jeudi 10 Mars 2011 ................ 7

3. Examen du Jeudi 19 Mai 2011................................... 15

4. Corrigé détaillé de l"examen du Jeudi 19 Mai 2011 ............... 18

5. Partiel du Lundi 12 Mars 2012 .................................. 25

6. Corrigé détaillé du partiel du Lundi 12 mars 2012................ 29

7. Examen du Jeudi 10 Mai 2012................................... 39

8. Devoir-maison à rendre pour le Mercredi 11 Avril 2012........... 42

9. Devoir-maison à rendre pour le Mercredi 2 Mai 2012............. 46

10. Partiel du 13 mars 2013 et son corrigé détaillé.................... 48

11. Examen du Mercredi 15 mai 2013 ............................... 59

12. Devoir-maison à rendre pour le Mardi 12 mars 2013.............. 62

13. Devoir-maison à rendre pour le Mercredi 15 mai 2013 ............ 67

14. Partiel du Mercredi 12 mars 2014................................ 73

15. Corrigé détaillé de l"Examen partiel du Mercredi 12 mars 2014 ... 77

16. Examen du Jeudi 15 mai 2014 ................................... 84

17. Partiel du Mercredi 12 novembre 2014........................... 88

18. Corrigé du partiel du Mercredi 12 novembre 2014................ 91

19. Examen du Jeudi 8 janvier 2015 ................................. 101

20. Rattrapage du Vendredi 19 juin 2015 ............................ 104

21. Partiel du Mardi 10 novembre 2015.............................. 107

22. Corrigé du partiel du Mardi 10 novembre 2015 .................. 110

23. Examen du Mardi 12 janvier 2016 ............................... 113

24. Rattrapage du Jeudi 14 juin 2016................................ 118

25. Partiel du jeudi 10 novembre 2016............................... 122

26. Corrigé détaillé du partiel du jeudi 10 novembre 2016 ............ 126

4 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud1. Partiel du Jeudi 10 Mars 2011

Exercice 1.SoientHetKdeux espaces de Hilbert, soitFun sous-espace vectoriel arbi- traire deH, et soitLune application linéaire continue quelconque deFdansK. L"objectif est de démontrer qu"il existe (au moins) un prolongement linéaire continu eL:H!K de l"applicationLàHtout entier,i.e.satisfaisanteLF=LetjjjeLjjj<1, dont la norme d"opérateur reste inchangée :jjjeLjjj=jjjLjjj. (a)Rappeler la définition de la norme d"opérateurjjjLjjj. (b)Montrer tout d"abord queLadmet un unique prolongement linéaire continuL02

LinF;K

(c)Établir que l"applicationh7!F (h), deHà valeurs dansF, "projection orthogo- nale surF», est linéaire continue. Que vautjjjF jjj? (d)Considérer l"opérateureL:=L0F et conclure. Exercice 2.SoitC1;C2;:::;Ck;:::une suite de sous-ensembles convexes fermés non vides dans un espace de HilbertHqui satisfont : C k+1Ck(k>1): (a)Montrer par un exemple géométrique simple que l"intersection : C

1:=+1\

k=1C k peut se réduire à l"ensemble vide. (b)On suppose dorénavant queC16=;. Vérifier alors queC1est un sous-ensemble convexe fermé deH. (c)Fixons à présent un élémenth2Harbitraire. Pour tout entierk>1, on note :quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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