[PDF] Géométrie et Isométries Corrigé de lexamen 1`ere session du 5 J PDF GEIS-Examen1eSession-Corr.pdf

réflexion orthogonale autour de D -1 ∅ réflexion orthogonale glissée Exercice 1 (4P ) Soient E un espace affine euclidien de dimension 1 et de direction E

Previous PDF

Next PDF

[PDF] Exercice 3 - Normale Sup

L3 2013–2014 Géométrie et isométries Géométrie affine euclidienne : exercices corrigés Voici un corrigé pour les deux derniers exercices de la feuille n°5

[PDF] Classe de TSI2 - Exercices de mathématiques

Rotation de centre Ω(a, b) et d'angle π/6 [isoa215] II Isométries affines en dimension 2 II A Définition Définition

[PDF] Géométrie et Isométries Corrigé de lexamen 1`ere session du 5 J

réflexion orthogonale autour de D -1 ∅ réflexion orthogonale glissée Exercice 1 (4P ) Soient E un espace affine euclidien de dimension 1 et de direction E

[PDF] Exercices de Révision en Alg`ebre et en Géométrie

Série 7 - Espaces affines, barycentres Série 8 - Applications affines Série 9 - Isométries affines Série 10 - Courbes paramétrées du plan Série 11 - Coniques

[PDF] Correction des exercices de Géométrie affine euclidienne en

Soient r ‰ IdE une rotation de centre I et s la réflexion d'axe d, avec I R d a) Montrer que f “ s ˝ r est une isométrie négative sans point invariant f est le produit d'

[PDF] Isométries affines du plan

Corrigé succint des exercices de la section 2-1 Exercice 4 1) Construction géométrique du centre : Soit D une droite passant par le centre de la rotation r On

[PDF] Exercices de géométrie affine et euclidienne

Action du groupe affine sur les triplets de droites Sous-groupes finis d' isométries La suite de l'exercice va montrer que la projection centrale conserve

[PDF] Corrigés de DS - NUMERICABLE

19 jui 2017 · Corrigé Exercice 1 1 - Écrivons l'expression de f sous forme matricielle : ( x ′ y ′ ) = ( 1 -1 1 1 )( L'application affine f est une isométrie

[PDF] TD 4 : Corrigé partiel - webusersimj-prgfr

une isométrie de E : il est inférieur `a dim(E) (exercice : montrer que cette borne est optimale, i e triviale, d'o`u il suit que toutes deux sont des rotations affines

Universite de Rennes 1- Annee 2016/2017-Licence 3

GEIS -G

eometrie et Isometries

Corrig

e de l'examen 1ere session du 5 Janvier 2017 Questions de cours. (5P.)(i) SoientEun espace vectoriel euclidien de dimension nie,f:E!Eune isometrie vectorielle etFun sous- espace vectoriel deEtel quef(F) =F:Montrer quef(F?) =F?: Soientx2F?ety2F; commef2O(E) etf1(y)2Fon a :hf(x)jyi=hf(x))jf(f1(y))i= hxjf1(y)i= 0:Ainsi,f(F?)F?; commefest une bijection lineaire, on a dimf(F?) = dimF? et il s'ensuit quef(F?) =F?: (ii) SoitEun espace ane de directionEetFune partie deE:Quand dit-on queFest un sous-espace ane deE? Fest un sous-espace ane s'il existe un sous-espace vectorielFdeEet un pointA2 Ftel que f!AMjM2 Fg=F: (iii) SoientEun espace ane de directionEetf:E ! Eune appli- cation ane telle queE= Ker(!fIdE)Im(!fIdE):Enoncer le theoreme de decomposition canonique def: Il existe une unique application aneg:E ! Eet un unique vecteurv2Eavec les proprietes : f=tvg; gpossede un point xe etv2Ker(!fIdE): (iv) Ecrire le tableau de toutes les isometries anes d'un plan ane euclidienP:det( !f)Fix(f)Nature def1PId P1pointArotation de centreA1;translationtv;v6= 0-1droiteDre exion orthogonale autour deD-1;re exion orthogonale glissee Exercice 1. (4P.)SoientEun espace ane euclidien de dimension 1 et de directionE: (i) DeterminerO(E): Soituun vecteur unitaire deE. Comme dimE= 1;fugest une base orthonormee deE:Soit '2O(E); alors'(u) est un vecteur unitaire et donc'(u) =uou'(u) =u; d'ou'= IdEou '=IdE:Comme on a toujoursfIdEg O(E);on a doncO(E) =fIdEg: (ii) Soitf:E ! Eune isometrie directe. Montrer quefest une translation. Par (i), on a!f=IdE:Comme, par hypothese,!f2O+(E);on a det!f= 1, c-a-d!f= IdE: Par un resultat du cours,fest donc une translation. (iii) Soitf:E ! Eune isometrie indirecte. Montrer quefpossede un point xeA2 Eet quefest la symetrie centrale de centreA.

Par (i), on a

!f=IdE:Comme, par hypothese,!f2O(E);on a det!f=1, c-a-d!f=IdE; en particulier, 1 n'est pas valeur propre de !f. Par un resultat du cours,fpossede donc un unique point xeA2 E:Alorsf(A+v) =f(A) +!f(v) =Avpour toutv2Eet ceci signie quef est la symetrie centrale de centreA. 2 Exercice 2. (6P.)SoitE=R3muni du repere orthonorme canonique R= (O;e1;e2;e3):On considere l'application anef:E ! Edenie par f0 @x y z1 A =13 0 @2x+y2z2

2x+ 2yz1

x+ 2y+ 2z+ 51 A (i) Montrer quefest une isometrie. L'application lineaire associee!fest donnee dans la base (e1;e2;e3) par la matrice A=13 0 @2 12 2 21

1 2 21

A On verie queAest une matrice orthogonale, c-a-dAtA=I3: (ii) Determiner la nature geometrique et les elements caracteristiques de l'application lineaire!f : Tout d'abord, on verie que detA= 1; donc!fest une isometrie directe. L'espace Inv!fdes vecteurs invariants de!fest l'ensemble des solutionsv= (x;y;z)2R3de l'equation!f(v) =v;c-a-d du systeme homogene x+y2z= 0

2xyz= 0

x+ 2yz= 0 dont les solutions sont les multiples deu= (1;1;1):Donc!fest unerotationautour de l'axe D=RuL'anglede cette rotation est donne par 2cos+ 1 = trace(A) = 2;c-a-d cos= 1=2 et donc==3: (iii) Determiner l'ensemble des points xes defet en deduire la nature geometrique et les elements caracteristiques def: L'espace Fix(f) des points xes defest l'ensemble des solutionsM= (x;y;z)2R3de l'equationf(M) =M;c-a-d du systeme inhomogene x+y2z= 2

2xyz= 1

x+ 2yz=5; en ajoutant la 3e equation a la 1ere et en ajoutant 2 fois la 3e a la 2e, on obtient 3y3z=3 et 3y3z=9:Il n'y a donc pas de solution a ce systeme : Fix(f) =;:Il s'ensuit quefest un vissage.L'axe de ce vissage est l'ensemble des pointsM= (x;y;z) tels que!Mf(M)jjuc-a-d tels que0 @x+y2z2 2xyz1 x+ 2yz+ 51 A jj0 @1 1 11 A ceci equivaut au systeme x+y2z2 = 2x+y+z+ 1 x+ 2yz+ 5 =2xyz1()3x3z= 3

3x+ 3y=6

dont les solutions sontD= (0;2;1) +Ruqui est donc l'axe du vissage. E posantA= (0;2;1);le vecteur de translation du vissage est!Af(A) =23 (1;1;1): Exercice 3. (9P.)SoitEun espace ane euclidien, de directionEde dimension nie.(On rappelle que la distanced(M;N) de deux pointsM;N2 Eest denie pard(M;N) =k!MNk:) 3 Une bijection anes:E ! Eest appeleesimilitudes'il existe un reel >0;appelerapport des, tel que, pour tous pointsM;N2 E;on ad(s(M);s(N)) =d(M;N) (i) Soits:E ! Eune similitude de rapport >0:Montrer que, pour toutu2E;on ak!s(u)k=kuk: Soientu2EetM2 Equelconque; soitN2 Etel que!MN=u; alors, commesest ane, on a!s(M)s(N) =!s(!MN) et donck!s(u)k=k!s(!MN)k=k!s(M)s(N)k=d(s(M);s(N)) = d(M;N) =k!MNk=kuk: (ii) Soits:E ! Eune application ane; on suppose qu'il existe >0 tel que, pour toutu2E;on ak!s(u)k=kuk:Montrer quesest similitude de rapport: SoientM;N2 Eet posonsu=!MN:Commesest ane, on a!s(M)s(N) =!s(!MN) et donc d(s(M);s(N)) =k!s(M)s(N)k=k!s(!MN)k=k!s(u)k=kuk=k!MNk=d(M;N); ceci montre quesest une similitude de rapport: (iii) Soits:E ! Eune similitude de rapport >0:Montrer qu'il existe une unique isometrie vectoriellefdeEtelle que!s=hf;ou h est l'homothetie vectorielle de rapport:

On posef:=h1

!s=h1=!s; alorsfest une bijection lineaire (comme composee de telles bijections) et on a!s=hf:Pour toutu2E;on a, par (i),kf(u)k=kh1=(!s(u))k= 1 k!s(u)k=1 kuk=kuk:Ceci montre quefest une isometrie. (iv) Montrer que l'ensemble Sim(E) de toutes les similitudes deE(de tous les rapports possibles) est un sous-groupe du groupe aneGA(E):

Tout d'abord, on a Sim(E)6=;car IdE2Sim(E):Soits2Sim(E);de rapport:Alors (cours)!s1=!s1:En appliquant (i), on a donc pour toutu2E:kuk=k!s(!s1(u))kk!s(!s1(u))k=

k!s1(u))ket ceci montre ques1est une similitude de rapport 1=: Soients1;s22Sim(E);de rapports1et2:Alors (cours)!s1s2=!s1!s2; en appliquant (i), on a donc pour toutu2E:k!s1s2(u)k=k!s1!s2(u)k=k!s1(!s2(u))k=1k!s2(u)k=12kuk et ceci montre ques1s2est une similitude de rapport12: (v) Soits:E ! Eune similitude qui n'estpasune isometrie. Montrer quespossede un unique point xe dansE:(Indication : on pourra montrer que

1 n'est pas une valeur propre de

!s.)

Supposons, par l'absurde, que 1 est une valeur propre de!s :Il existe alorsu2E;u6= 0 tel que!s(u) =u:En utilisant (i), on a donckuk=k!s(u)k=kuk; commeu6= 0;ceci implique que

= 1:Mais alors,!set doncsest une isometrie, ce qui est contraire a l'hypothese. Ainsi, 1 n'est pas une valeur propre de!s. Par un resultat du cours,spossede un unique point xe. (vi) Montrer que tout similitudesdeEest la composee d'une ho- mothetie et d'une isometrie. Sisest une isometrie, il n'y a rien a demontrer. Supposons donc quesn'est pas une isometrie. Par (v),spossede un unique point xeA:Soith=hA;l'homothetie ane de centreAet de rapport

1=et posonsg=h1s:Alorss=hg:Comme!g=!h1!s ;on akg(u)k=1

k!s(u)k=kuk pour toutu2E; doncgest une isometrie. (vii) On suppose que dimE= 2 et ques:E ! Eest une similitude avec det(!s)>0:Montrer quespreserve les angles orientes de vecteurs : pour tous vecteurs unitairesu;v2E;on a\(!s(u);!s(v)) =[(u;v): 4

Par (iii), on a

!s=hfpour une isometrie vectoriellefet une homothetie vectorielle de rapport:Comme det(!s)>0;on a det(f)>0;c-a-df2O+(E):Soitrl'unique element de O +(E) tel quev=r(u):Commehcommute avec toute application lineaire et commeO+(E) est commutatif, on a :r(!s(u)) =r(hf(u)) = (rhf)(u) = (hfr)(u) =f(r(u)) =f(v) = (hf)(v) =!s(v):Doncv=r(u) et!s(v) =r(!s(u)) et ceci montre que\(!s(u);!s(v)) =[(u;v):quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

[PDF] [PDF] Géométrie et Isométries Corrigé de lexamen 1`ere session du 5 J