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L3 2013–2014 Géométrie et isométries Géométrie affine euclidienne : exercices corrigés Voici un corrigé pour les deux derniers exercices de la feuille n°5

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Rotation de centre Ω(a, b) et d'angle π/6 [isoa215] II Isométries affines en dimension 2 II A Définition Définition 

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réflexion orthogonale autour de D -1 ∅ réflexion orthogonale glissée Exercice 1 (4P ) Soient E un espace affine euclidien de dimension 1 et de direction E

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Série 7 - Espaces affines, barycentres Série 8 - Applications affines Série 9 - Isométries affines Série 10 - Courbes paramétrées du plan Série 11 - Coniques

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Soient r ‰ IdE une rotation de centre I et s la réflexion d'axe d, avec I R d a) Montrer que f “ s ˝ r est une isométrie négative sans point invariant f est le produit d' 

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Corrigé succint des exercices de la section 2-1 Exercice 4 1) Construction géométrique du centre : Soit D une droite passant par le centre de la rotation r On 

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Action du groupe affine sur les triplets de droites Sous-groupes finis d' isométries La suite de l'exercice va montrer que la projection centrale conserve  

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19 jui 2017 · Corrigé Exercice 1 1 - Écrivons l'expression de f sous forme matricielle : ( x ′ y ′ ) = ( 1 -1 1 1 )( L'application affine f est une isométrie

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une isométrie de E : il est inférieur `a dim(E) (exercice : montrer que cette borne est optimale, i e triviale, d'o`u il suit que toutes deux sont des rotations affines

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Universite Blaise Pascal

U.F.R. Sciences et Technologies

Departement de Mathematiques et InformatiqueExercices de Revision en Algebre et en Geometrie Master Enseignement des Mathematiques, Deuxieme annee

Serie 1 -Arithmetique dansZ

Serie 2 -Polyn^omes

Serie 3 -Reduction des endomorphismes

Serie 4 -Espaces vectoriels euclidiens,

endomorphismes symetriques, isometries vectorielles

Serie 5 -Nombres complexes et geometrie

Serie 6 -Angles

Serie 7 -Espaces anes, barycentres

Serie 8 -Applications anes

Serie 9 -Isometries anes

Serie 10 -Courbes parametrees du plan

Serie 11 -Coniques

2011-2012

Francois Dumas

Universite Blaise Pascal, annee 2011-2012

M2, Master Enseignement des Mathematiques, Algebre et Geometrie IIserie d'exercices n

1 : arithmetique dansZExercice 1.(Principes de codage bases sur des proprietes arithmetiques elementaires).

On note:A=fA;B;C;:::;Y;Zgl'alphabet,E=f0;1;2;:::;24;25gl'ensemble des 26 premiers entiers naturels, etgla bijection naturelle deAsurEconsistant a numeroter les lettres: g(A) = 0; g(B) = 1; g(C) = 2; :::; g(Z) = 25.

1)Pour tout entierxdeE, on notef(x) le reste de la division euclidienne de 35xpar 26.

a.Montrer que l'on denit ainsi une bijectionfdeEsurE. b.On convient de coder un mot quelconque de la facon suivante: on remplace chaque lettredu mot par la lettredont le numerog() esty=f(x), oux=g() est le numero de. Comment se code le motoui? Montrer que ce principe de codage est sans ambigute (deux mots sont distincts si et seulement leurs codages respectifs sont distincts). Quel est le mot dont le codage estnwn? c.On veut generaliser en remplacant 35xparax+baveca;bentiers naturels aveca6= 0. Quelles hypotheses est-il necessaire et susant de faire suraetbpour que la m^eme methode s'applique ?

2)Pour tout couple d'entiers (x;y) deE E, on notef(x;y) l'unique entier deEeth(x;y) l'unique

entier deEtels que: f(x;y)5x+ 17ymod26 eth(x;y)4x+ 15ymod26 a.Justier avec soin l'existence et l'unicite def(x;y) eth(x;y), puis montrer que l'application fhest une bijection deE EsurE E. b.On convient de coder tout mot d'un nombrepairde lettres de la facon suivante: en partant de la gauche vers la droite, on remplace chaque couple de lettres successives (;) par le couple de lettres ( ;) dont les numeross=g( ) ett=g() sont donnes par: s=f(x;y) ett=h(x;y), oux=g() ety=g() sont les numeros deet Comment se code le motenfant? Le codage d'une lettre depend-il de la place de cette lettre dans le mot ? Demontrer que ce principe de codage est sans ambigute (deux mots sont distincts si et seulement leurs codages respectifs sont distincts). Quel est le mot dont le codage estumsb? Montrer que tout mot d'un nombre pair de lettres est le codage d'un et d'un seul mot. c.On veut generaliser a un systeme de congruences quelconque: ax+bysmodmetcx+dytmodm, aveca;b;c;d;s;tentiers quelconques etmentier naturel non-nul. Donner une hypothese portant sur le pgcd deadbcetmqui sut a assurer l'existence, quels que soientsett, d'une solution (x;y) a ce systeme? Cette solution est-elle unique ?

Exercice 2.(Ecriture decimale et congruences).

1)(Theoreme de Pascal).Soitmun entier naturel non-nul. Soit (ri) la suite d'entiers denie par:

r

0= 1 etri+1= le reste de la division euclidienne de 10riparm; (avec donc 0rim1).

Montrer que, pour tout entier naturela=a

n:::a0en numeration decimale, on a:anP i=0a iri[m]. En deduire des criteres simples permettant de reconna^tre sur les chires de l'ecriture decimale d'un entier s'il est ou non divisible par 3, par 9, par 10, par 11.

2)(Preuve par neuf). Montrer que tout entier naturel est congru modulo 9 a la somme des chires

de son ecriture decimale. En deduire que, quels que soientx=a n:::a0,y=b m:::b0,z=c p:::c0 trois entiers naturels, sixy=z, alors (nP i=0a i)(mP i=0b i)(pP i=0c i) [9]. 1

Exercice 3.(Autour de l'irrationalite dep2)

1)Donner une preuve du fait que le reelp2 n'est pas rationnel (en precisant avec soin les resultats

arithmetiques utilisees).

2)Une preuve de l'irrationalie dep2basee sur l'algorithme d'Euclide.On suppose qu'il existe

deux entiers strictement positifsaetbtels quep2 = ab a.Montrer quea=b+bc , ou l'on a posec=p2 + 1. Verier quec= 2 +1c et 2< c <3. b.Montrer quebc est un entier, et qu'il est egal au rester1de la division euclidienne deaparb.

Quel est le quotientq1dans cette division ?

c.Montrer que, dans la division euclidienne debparr1, le quotient estq2= 2 et le rester2=r1c d.Soitnun entier au moins egal a 2. Montrer que l'algorithme d'Euclide applique a (a;b) comporte au moinsnetapes, que len-ieme quotient estqn= 2, et que len-ieme restern=rn1c e.Aboutir a une contradiction.

3)Une suite de rationnels approchantp2.

a.Montrer que la suite d'entiers naturels (un) denie paru0= 0,u1= 1 etun+1= 2un+un1 pour toutn1 est strictement croissante. Pour toutn1: calculerun+1un1u2n, en deduire queun+1etunsont premiers entre eux, et verier que la fractionunu n+1unest irreductible. b.On considere la suite de nombres rationnels (xn) denie parxn=un+1unu npour toutn1. Calculerxnpour tout 1n9. Montrer que la suite (xn) converge versp2.

3)Un developpement dep2en fractions continues.

a.Appliquer l'algorithme d'Euclide au couple (577;408).

En deduire:x8= 1 +12 +

12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 b.Determiner, pour toutn1, le quotient et le reste dans la division euclidienne deun+1 parun. En deduire, une ecriture dexncom- parable a l'ecriture ci-contre dex8.

Conclure que

p2 = 1 + 12 + 12 + 12 + 12 + Exercice 4.(Propriete de Bezout et equations diophantiennes).

1)Dans le planPrapporte a un repere orthonormeR, on considere l'ensembleEdes points a

coordonnees entieres. On xe trois entiers;; tels que (;)6= (0;0). On appelleDla droite deEd'equationx+y= relativement aR. Donner une condition necessaire et susante pour queDcontienne des points deE. Determiner alors l'ensembleD\E.

2)Soient1;2;:::;ndes entiers non-nuls. Pour 1in, on notedile pgcd de1;2;:::;n.

Soit

2Z. SoitSl'ensemble des solutions dansZnde l'equation1x1+2x2++nxn=

Montrer queSest non-vide si et seulement sidndivise . Montrer qu'alors unn-uplet d'entiers (x1;:::;xn) appartient aSsi et seulement le (n+ 1)-uplet (x1;:::;xn1;y;xn) est solution du systeme:

1x1+2x2++n1xn1dn1y= 0

d n1y+nxn= En deduire une methode de resolution dansZnde l'equation de depart. Application: resoudre dansZ3l'equation 10x+ 15y+ 6z= 73. 2 Exercice 5.(Systemes de congruence et theoreme chinois)

1)Soientaetbdeux entiers naturels non-nuls. Montrer que, siaetbsont premiers entre eux,

alors le systeme de congruences : ()xmoda xmodb admet des solutions dansZquels que soient les entiersetxes. Determiner alors explicitement l'ensemble des solutions de () dansZ.

2)Soienta1;a2;:::;andes entiers naturels non-nuls deux a deux premiers entre eux. On xe des

entiers1;2;:::;nquelconques et l'on considere le systeme () dencongruences a une inconnue: () :x1moda1; x2moda2; :::; xnmodan: On poseb=a1a2:::an. Pour tout 1in, on considere le produitbi=a1a2:::ai1ai+1:::an et le systeme de congruences : i)x1 modai x0 modbi Montrer que () a des solutions dansZ. Montrer que, pour tout 1in, (i) a des solutions dansZ. Montrer l'ensemble des solutions de () dansZest:

S=f1y1+2y2++nyn+b;2Zg

ouyidesigne pour tout 1inune solution de (i). Application: resoudre dansZle systeme:x1 mod4; x2 mod3; x4 mod5: Exercice 6.(Fonctions arithmetiques multiplicatives) On appelle fonction arithmetique multiplicative toute applicationf:A!ZouAest une partie deN, telle quef(ab) =f(a)f(b) pour tout couple d'elements deApremiers entre eux.

Montrer qu'une telle fonction multiplicative est entierement determinee par les valeurs qu'elle prend

sur les entiers de la formeppourpun nombre premier etun entier positif. Montrer que, sif:N!Zest multiplicative, alorsg:N!Zdenie parg(n) =P djnf(d) pour tout entiern1 est aussi multiplicative.

1)Nombre de diviseurs et somme des puissancesk-iemes des diviseurs d'un entier naturel non-nul.

Pour tousk2N;n2N, on notek(n) la somme des puissancesk-iemes des diviseurs positifs de n. En particulier, on noted(n) =0(n) le nombre de diviseurs positifs den. Montrer que, sin2 et si l'on noten=Qs i=1piila decomposition denen produit de facteurs premiers, on a: k(n) =sY i=1p k(i+1) i1p ki1, et en particulierd(n) =sY i=1(i+ 1).

Montrer quek:N!Nest multiplicative.

2)Indicatrice d'Euler.Pour tout entiern2, on note'(n) le nombre d'entiers naturels inferieurs

anet premiers avecn. En posant de plus'(1) = 1, on denit ainsi une application':N!N. Montrer que'est multiplicative (on pourra utiliser le theoreme chinois et la caracterisation des elements inversibles des anneauxZ=aZ,Z=bZetZ=abZ).

Montrer que'(p) =p(11p

) pour tout nombre premierpet tout entier1. En deduire que, pour tout entiern2, on a '(n) =nsY i=1(11p i), oup1;p2;:::;pssont les diviseurs premiers distincts den. Montrer que l'on a, pour tout entiern1, l'identite d'Euler:P djn'(d) =n. 3

3)Fonction de Mobius.On pose:(1) = 1,(n) = 0 sinest divisible par le carre d'un entier2,

(n) = (1)ksinest le produit deknombre premiers distincts. Verier que l'on denit ainsi une application:N!Z, et qu'elle est multiplicative. Montrer queP djn(d) = 0 pour toutn2.

Exercice 7.(Groupe des unites deZ=nZ)

Pour tout entiern2, on noteGnle groupe multiplicatifU(Z=nZ) des elements inversibles de l'anneauZ=nZ. Donner pour un entieraquelconque une condition arithmetique necessaire et susante pour queaappartienne aGn. Quel est l'ordre deGn?

1)Soitn2 un entier. Montrer que, pour tout entierapremier avecn, on a (propriete d'Euler):

a '(n)1 modn. (Indication :on pourra considerer la bijectiont:x7!axdeGnsurGn). Que devient la propriete ci-dessus lorsquenest premier ?

2)Montrer que les deux groupesG10etG12sont d'ordre 4, mais que l'un est cyclique alors que

l'autre est isomorphe au groupe de Klein. Montrer que, pour tout nombre premierp, le groupeGpest cyclique d'ordrep1. Indication. Pour tout diviseurddep1, notons dl'ensemble des elements deGpd'ordredetEd l'ensemble des elementsxdeGptels quex d=1. Montrer queEdest un sous-groupe deGpd'ordred et contenant d. Verier que, si l'on suppose d6=;, alorsEdest engendre parxpour toutx2d, et dest de cardinal'(d). En utilisant le theoreme de Lagrange et l'identite d'Euler (exercice 6), en deduire que d6=;pour tout diviseurddep1. Conclure. Exercice 8.(Nombres parfaits, nombres de Mersenne, d'Euclide, de Fermat, de Carmichael)

1)Soitnun entier2. Montrer que, pour tout entiera3, l'entieran1 n'est pas premier.

Montrer que, sinn'est pas premier, alors 2n1 n'est pas premier. Le seul cas qui reste est donc celui oua= 2 etnest premier, ce qui correspond aux nombres de Mersenne. On appelle nombre de Mersenne tout entier naturel de la formeMp= 2p1 oupest un nombre premier. Montrer queM2;M3;M5;M7sont premiers. Montrer queM11est divisible par 23.

2)On appelle nombre parfait tout entier naturel qui est egal a la somme de tous ses diviseurs positifs

strictement inferieurs a lui-m^eme (i.e.1(n) = 2navec les notations de l'exercice 1). Determiner tous les nombres parfaits inferieurs a 30 ; verier que 496 et 8128 sont parfaits.

La question de l'existence de nombres parfaits impairs reste ouverte; les nombres parfaits pairs font

l'objet de la question suivante.

3)On appelle nombre d'Euclide un entier de la formeEp= 2p1(2p1) = 2p1Mpoupest un

nombre premier tel queMpest premier. CalculerE2;E3;E5;E7. Quel est le suivant ? Montrer que les nombres d'Euclide sont les nombres parfaits pairs. Indication pour le sens reciproque. Considerons un nombre parfait pair, ecrit sous la formen= 2ab aveca1 etbimpair. Montrer que1(n) =1(b)(2a+11). En utilisant1(n) = 2n, en deduire qu'il existec1 tel queb= (2a+11)cet1(b) = 2a+1c. Prouver quec= 1 et 2a+11 est premier.

4)Rappeler l'enonce et une preuve du petit theoreme de Fermat.

On appelle nombre pseudo-premier ou nombre de Carmichael un entierp2 qui n'est pas premier mais verienpnmodppour toutn2Z. Montrer que 561 est un nombre de Carmichael. Indication. Fixonsn2Zquelconque et posonsN=n(n5601) =n((n2)2801). Verier qu'il existe k

12Ntel queN=n(n21)k1. En justiant que 3 divisen3n, conclure que 3 diviseN. Etablir de

de m^eme que 11 et 17 divisentNet conclure.

5)On appelle nombre de Fermat tout entier naturel de la formeFn= 2(2n)+1 oun2N. Montrer

queF0;F1;F2;F3;F4sont premiers. Montrer queF5est divisible par 641. Indication. On pourra soit eectuer un calcul direct, soit utiliser des congruences en remarquant que 5

4 24mod641 et 527 1 mod641.

Montrer que, sinetmsont deux entiers naturels distincts, alorsFnetFmsont premiers entre eux. 4

Universite Blaise Pascal, annee 2011-2012

M2, Master Enseignement des Mathematiques, Algebre et Geometrie IIserie d'exercices n

2 : polyn^omesExercice 1.(Zeros et degre)

1)SoientKun corps etPun polyn^ome dansK[X] de degred1. Montrer qu'un elementade

Kest un zero dePsi et seulement siXadivisePdansK[X]. En deduire quePadmet au plus dzeros dansK(indication:on pourra utiliser la division euclidienne et raisonner par recurrence).

2)SoitAl'anneauZ=6Z. Determiner les zeros dansAdu polyn^omeX2X. Donner deux

factorisations distinctes deX2Xen produit de deux polyn^omes de degre 1 dansA[X]. Que peut-on en deduire ?

3)SoitKun corps ; on note :K[X]! F(K;K) le morphisme deK-algebres qui, a tout polyn^ome,

associe sa fonction polynomiale associee. Deduire de 1) que, siKest inni, alors est injective. Montrer, en considerant dans (Z=3Z)[X] un polyn^ome non-nul dont la fonction polynomiale associee est nulle, que le resultat n'est plus necessairement vrai siKest un corps ni. Que retenir?

Exercice 2.(Zeros et polyn^ome derive)

Determiner les polyn^omesPdeC[X] tels que tout zero deP0est aussi un zero deP.

Exercice 3.(Polyn^omes a coecients entiers)

Soienta;b;ctrois entiers, avecc6= 0. On considere dansZ[X] le polyn^omeP=X3+aX2+bX+c. Montrer que, siPest factorisable dansQ[X], alors ses facteurs sont dansZ[X].

Exercice 4.(Polyn^omes a coecients entiers)

SoitP=Pn

i=0aiXiun polyn^ome de degren1 a coecients dansZ.

1)Montrer qu'il existe un entier naturelatel queP(a)6= 0. Verier que, pour tous entiersi1,

c0,d1, l'entier (c+d)iciest divisible pard. En deduire que, pour toutk2N, l'entier

A(k) =P(a+kjP(a)j) est divisible parjP(a)j.

2)On suppose de plus que, pour toutb2N, l'entier natureljP(b)jest un nombre premier.

Demontrer que, pour toutk2N, l'entiera+kjP(a)jest un zero du polyn^omeQdeni par:

Q(X) = (P(X)P(a))(P(X) +P(a)).

3)Conclure que les seuls polyn^omes deZ[X] prenant pour valeurs surNdes nombres premiers sont

les polyn^omes constants egaux a des nombres premiers. CalculerP(a) pourP=X279X+1601 pour les valeurs entieres deacomprises entre 0 et 79. Exercice 5.(Polyn^omes reels a valeurs rationnelles)

1)On considere dansQ[X]R[X] les polyn^omes:P0= 1 etPn(X) =1n!(X+1)(X+2)(X+n)

pour tout entiern1. Montrer quePn(t)2Zpour toutt2Z.

2)SoitA2R[X] non-nul; soitnson degre. Montrer qu'il existe des reels uniques0;1;:::n

tels queA=Pn i=0Pi(indication:considerer les valeurs prises parAen1;2;:::;n1). En deduire que, siA(t)2Qpour toutt2Q, alorsi2Qpour tout 0in.

3)Conclure qu'un polyn^omeA2R[X] appartient aQ[X] si et seulement siA(t)2Qpour tout

t2Q.

Exercice 6.(PGCD et polyn^ome derive)

On considere dansR[X] le polyn^omeP=X66X5+15X420X3+12X24. Calculer le PGCD dePet de son polyn^ome deriveP0. En deduire la factorisation dePen produit de polyn^omes irreductibles dansR[X] et dansC[X]. 5 Exercice 7.(Applications de la propriete de Bezout)

SoientKun sous-corps deCetP2K[X] de degre1.

1)Montrer que, siPest irreductible dansK[X], alors les zeros dePdansCsont tous simples.

2)Soitzun zero dePdansC, de multiplicited; montrer que, sid >12

degP, alorsz2K. Exercice 8.(Application de l'algorithme d'Euclide) Soientn;mdeux entiers1. Montrer que, sindivisemdansZ, alorsXn1 diviseXm1 dans R[X]. Plus generalement, montrer que sirest le reste de la division euclidienne demparn, alors X r1 est le reste de la division euclidienne deXm1 parXn1. En deduire que:

PGCD(Xm1; Xn1) =XPGCD(n;m)1.

Exercice 9.(Polyn^omes reciproques)

On dit qu'un polyn^ome non-nulP=anXn+an1Xn1+a1X+a02C[X] est reciproque lorsque a k=ankpour tout 0kn.

1)Montrer quePde degrenest reciproque si et seulement siP(X) =XnP(1X

). Montrer que le produit de deux polyn^omes reciproques est reciproque. Montrer que siPetQsont reciproques et siPdiviseQdansC[X], alorsQP est reciproque.

2)SoitP2C[X] reciproque de degren. Montrer que:

(i) Si 2Cest un zero deP, alors6= 0 et1est un zero deP. (ii) Si 1 est un z erode P, alors c'est un zero au moins double. (iii)

Si Pest degre impair, alors1 est un zero deP.

(iv) S Pest de degre pair et1 est un zero deP, alors c'est un zero au moins double. (Indication:on pourra pour les assertions (ii) et (iv) deduire de la relationP(X) =XnP(1X ) une relation concernantP0).

3)En deduire que tout polyn^ome deC[X] reciproque de degre pair 2net de coecient dominant

a

2n2Cse decompose sous la formeP=a2n(X2+b1X+1):::(X2+bnX+1) avecb1;b2;:::;bn2C.

(Attention, ce n'est pas une decomposition en facteurs irreductibles). Que peut-on dire lorsqueP est de degre impair ?

4)Exemple d'application: decomposerP= 2X54X4+3X3+3X24X+2 en produit de facteurs

irreductibles dansR[X]. Exercice 10.(Decomposition en produit de facteurs irreductibles) On considere le polyn^omeB=X6+ 1. DansC, on note=ijet=ij2.

1)DecomposerBen produit de facteurs irreductibles dansC[X],R[X] etQ[X].

2)Soit':Q[X]!Cdenie par'(P) =P() pour toutP2Q[X]. Montrer que'est un

morphisme d'anneaux unitaires. Montrer que le noyauIde'est egal a l'ideal principalAQ[X] ouAest le polyn^ome unitaire de plus bas degre deQ[X] admettantpour zero. Montrer queA diviseBdansQ[X]. En deduire la valeur explicite deAet qu'il est irreductible dansQ[X].

3)Montrer qu'un polyn^omeP2Q[X] est premier avecAdansQ[X] si et seulement siP()6= 0.

4)On poseK= Im'. Montrer queK=fa+b+c2+d3;a;b;c;d2Qg.

(Indication:on pourra utiliser la division euclidienne parAdansQ[X]).

Montrer queKest un corps.

(Indication:pour toutz=a+b+c2+d32K, considererP=a+bX+cX2+dX32Q[X] et montrer que a l'aide de la question precedente et de la propriete de Bezout que, siz6= 0, alors il existe un unique polyn^omeR2Q[X] de degre3 tel queP()R() = 1).quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1