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Séance d'exercices 4 : oscillateur harmonique, opérateurs d'echelle et champ électromagnétique quantifié Exercice 1 â = 1 / 2 (x + ip) ⇔

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extenso les corrigés des exercices et probl`emes proposés `a la fin de chaque chapitre de 7 4 Oscillateur harmonique traité en Mécanique analytique

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Mécanique Quantique TD n◦6 : Oscillateur harmonique Exercice 1: Etats cohérents 1 Quelques rappels sur l' oscillateur harmonique On consid`ere un 

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Mécanique Quantique 2008- TD 7 : Oscillateur harmonique – Produit tensoriel 16 1/ Quel est le mouvement d'une particule dans ce potentiel en mécanique classique ? Exercices A) On consid`ere un syst`eme dont l'espace des états, qui est `a trois niveaux d'énergie, corrigée de l'effet de la masse finie du proton

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Exercice 1 1- Atome à 2 niveaux dans l'approximation RWA à un photon On considère un oscillateur harmonique quantique de masse m et de fréquence ω 

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Exercice 7 : Mesures quantiques et évolution temporelle A Mesure En mécanique ondulatoire, le hamiltonien de l'oscillateur harmonique s'écrit H = - h2 2m

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Revenir à exercice 11, où nous avons calculé le déplacement de recul pour un système atomique qui émet un photon 25 L'oscillateur harmonique quantique

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Exercices 116 Problème 6 1 Groupe de Galilée 118 Chapitre 7 Oscillateur harmonique 121 7 1 L'oscillateur harmonique classique 121 7 2 Le spectre de  

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Cours de mécanique quantique II Chapitre I : Oscillateur harmonique unidimensionnel II-1 Théorie générale du moment cinétique en mécanique quantique Christophe Texier, Mécanique quantique : Cours et exercices corrigés, Edition 

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^a=1p2 (^x+i^p),^ay=1p2 (^xi^p)??^N= ^ay^a

Ny= (^ay^a)y= ^ay(^ay)y= ^ay^a=^N

[^a;^ay] =h1p2 (^x+i^p);1p2 (^xi^p)i 12 [^x;^x]i[^x;^p] +i[^p;^x] + [^p;^p] 12

0ii+i(i) + 0

= 1 ^N;^a] = [^ay^a;^a] = ^ay[^a;^a] + [^ay;^a]^a = ^ay(0)[^a;^ay]^a =(1)^a =^a[ ^N;^ay] = [^ay^a;^ay] = ^ay[^a;^ay] + [^ay;^ay]^a = ^ay(1)0 = ^ay

H=^p22m+12

m!2^x2=^p2+ ^x22 ^x=1p2 (^ay+ ^a) ^p=ip2 (^ay^a)

H=^p2+ ^x22

12 12 (^ay^a)2+12 (^ay+ ^a)2 14 (^ay^ay^ay^a^a^ay+ ^a^a) + ^ay^ay+ ^ay^a+ ^a^ay+ ^a^a 12 ^ay^a+ ^a^ay 12 ^ay^a+ ^a^ay^ay^a+ ^ay^a 12 [^a;^ay] + 2^ay^a 12

1 + 2^N

12 +^N (^xi^p)(^x+i^p) = ^x2+i^x^pi^p^x+ ^p2 ^x2+ ^p2= (^xi^p)(^x+i^p)i^x^p+i^p^x= 21p2 (^xi^p)1p2 (^x+i^p) i[^x;^p] = 2^ay^ai(i) = 2^N+1

H=^p2+ ^x22

=^N+12 hj^Nji=hji= ^N= ^ay^a? ?? ???? ?????? hj^ay^aji= hj^ay^aji=h j i=jj jj2 ??^aji??^ayji???? ??? ????? ??????? ??^N? ????? ?? ???? ???????

N^aji=^aji??^N^ayji=^ayji

N^aji=^N^a+ ^a^N^a^N

ji [^N;^a] + ^a^N ji ^a+ ^a^N ji = ^a^Nji ^aji = ^aji ^aji = (1)^aji^

N^ayji=^N^ay+ ^ay^N^ay^N

ji [^N;^ay] + ^ay^N ji ^ay+ ^ay^N ji = ^ay^Nji+ ^ayji = ^ayji+ ^ayji = (+ 1)^ayji (+ 1)?

N^aji= (1)^aji

??^aji??? ?? ??????? ?????? ??^N????? ???? ?????? ??????1? ??????? ????? ???????^Nji=ji? ?? ? ???^Nj1i= (1)j1i ^aji=j1i2C h j i=hj^ay^aji=hj^Nji=hjji= ???? ?? ?? ??????? ?? ???? ???^aji=j1i? ????? ?? ????? ??????? ? h j i=h1jj1i=h1jjj2j1i=jj2 ^aji=pj1i ^N?^ayji? ?? ???????

N^ayji= (+ 1)^ayji

^Nji=ji? ?? ? ???

Nj+ 1i= (+ 1)j+ 1i

^ayji=j+ 1i2C h j i=hj^a^ayji=hj^a^ay+ ^ay^a^ay^aji=hj[^a;^ay] +^Nji=hj1 +^Nji=hj(1 +)ji= 1 + ???? ?? ?? ??????? ?? ???? ???^ayji=j+ 1i? ????? ?? ????? ??????? ? h j i=h+ 1jj+ 1i=h+ 1jjj2j+ 1i=jj2 ^ayji=p+ 1j+ 1i ^anji= ^anjni= ^an1pnjn1i= ^an2pn(n1)jn2i=:::=pn!j0i ^an+1ji= ^an+1jni= ^a^anjni= ^apn!j0i= 0 ^anji= ^anjn+i= ^an1pn+jn+1i= ^an2p(n+)(n+1)jn+2i=:::=r(n+)!!ji ^an+1ji= ^an+1jn+i= ^a^anjn+i= ^ar(n+)!!ji=r(n+)!!pj1i ^N?? ???????^an+1ji? ??=n? ?? ??????? ?????

N^an+1ji=^N^an+1jni=^N0 = 0 = 0 ^an+1ji

??? ??????? ??=n+ N^an+1ji=^N^an+1jn+i=^Nr(n+)!!pj1i= (1)r(n+)!!pj1i= (1)^an+1ji ????? ?? ? ?????? ?? ?? ???^H= (^N+ 1=2)?? ????

Hji=^N+12

ji= +12 ji j0i=0 B

BBBB@1

0 0 0 ???1 C

CCCCAj1i=0

B

BBBB@0

1 0 0 ???1 C

CCCCAj2i=0

B

BBBB@0

0 1 0 ???1 C

CCCCAetc:

^Njni=njni? ?? ?

Nj0i= 00

B

BBBB@1

0 0 0 ???1 C

CCCCA^

Nj1i= 10

B

BBBB@0

1 0 0 ???1 C

CCCCA^

Nj2i= 20

B

BBBB@0

0 1 0 ???1 C

CCCCAetc:

N=0 B

BBBB@0 0 0 0:::

0 1 0 0:::

0 0 2 0:::

0 0 0 3:::

C CCCCA ^N????Nij=ij(j1)? ^a=0 B BB@0 p1 0 0:::

0 0p2 0:::

0 0 0p3:::

C CCA ij=hij^jji ^ay=0 B

BBBB@0 0 0 0:::p1 0 0 0:::

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0 0p3 0

C CCCCA

H=^N+12

I=0 B

BBBB@0 0 0 0:::

0 1 0 0:::

0 0 2 0:::

0 0 0 3:::

C

CCCCA+0

B

BBBB@1=2 0 0 0:::

0 1=2 0 0:::

0 0 1=2 0:::

0 0 0 1=2:::

C

CCCCA=0

B

BBBB@1=2 0 0 0:::

0 3=2 0 0:::

0 0 5=2 0:::

0 0 0 7=2:::

C CCCCA ???? ??????? ???ji=ejj22 e ^ay=1X k=0(^ay)kk! ji=ejj22 1X k=0(^ay)kk!j0i=ejj22

1 +^ay+(^ay)22!

j0i ^ayj0i=j1i (^ay)2j0i= ^ayj1i=p2j2i (^ay)3j0i= ^ayp2j2i=p6j3i ji=ejj22 1X k=0(^ay)kk!j0i =ejj22

1 +^ay+(^ay)22!

j0i =ejj22 j0i+p1j1i+2p2!j2i2! +3p3!j3i3! =ejj22 j0i+p1j1i+2j2ip2! +3j3ip3! =ejj22 1X k=0 kpk!jki ^aji= ^aejj22 1X k=0 kpk!jki =ejj22 1X k=0 kpk!^ajki =ejj22 1X k=0 kpk!pkjk1i =ejj22 1X k=0 kp(k1)!jk1i =ejj22 1X j=1 j+1pj!jji?? ??????j=k1 =ejj22 1X j=0 jpj!jji =ji ?? ?????? ??????? ??^N???? ??? ?????ji??? ?????? ????? h ^Ni=hj^Nji =hj^ay^aji =hjji =jj2hji =jj2 hji=ejj22 ejj22 1X j=01 X k=0 k()jpk!j!hjjki =ejj21X j=01 X k=0 k()jpk!j!jk =ejj21X k=0!2kk! =ejj2ejj2 = 1quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12