Corrigé Les documents suivants sont autorisés : — Polycopiés distribués en Algorithme de gradient conjugué pour les moindres carrés : On suppose désormais que Dans la suite de l'exercice, f : Rn → R désigne une fonction deux fois
Previous PDF | Next PDF |
[PDF] LICENCE 3 MATHEMATIQUES – INFORMATIQUE
Etudier les paragraphes 3 3 1 (méthodes de descente) et 3 3 2 (algorithme du gradient conjugué, GC) Exercices proposés (avec corrigés) : 117 (exemple), 118
[PDF] Corrige Examen 2016-17
Corrigé Les documents suivants sont autorisés : — Polycopiés distribués en Algorithme de gradient conjugué pour les moindres carrés : On suppose désormais que Dans la suite de l'exercice, f : Rn → R désigne une fonction deux fois
[PDF] Optimisation
ordre (gradient conjugué, B F G S ) sera nécessaire pour obtenir 5 décimales 3 5 Exercices corrigés Minimisation unidirectionnelle La plupart des méthodes
[PDF] 1 Exercice sur la fonctionnelle ROF 2 Méthode de gradient avec
2 Méthode de gradient avec projection à pas variable pour une fonc- tion quadratique elliptique On considère la problème de minimisation suivant : trouver
[PDF] Algorithme du gradient conjugué • La lettre n désigne un entier
Algorithme du gradient conjugué Proposition de corrigé 1) La fonctionnelle J a bien un minimum car la matrice A est symétrique définie positive
[PDF] feuilles de travaux dirigés - Ceremade - Université Paris Dauphine
l'algorithme du gradient conjugué? Calculer alors explicitement les deux premiers itérés et vérifier la finie convergence de l'algorithme Exercice 24 ( exercice
[PDF] Exercices - Feuille 5
o`u Mq est triangulaire inférieure inversible carrée d'ordre q
[PDF] Optimisation Sans Contraintes - Université de Souk Ahras
1 5 Suggestions et Corrigés 3 2 2 Méthode de gradient conjugué dans le cas quadratique 39 3 2 3 Méthode du Exercice 01 Montrer qu'une
[PDF] Optimisation
La méthode du gradient conjugué a été découverte en 1952 par Hestenes et Exercice 76 (Gradient conjugué pour une matrice non symétrique) Corrigé
[PDF] 98 CHAPITRE 2 PRÉLIMINAIRES
On retrouve la formule utilisée dans l'exemple du tableau 3 1 pour le calcul du pas θ˚ Exercice 3 6 4 [Application de l'algorithme du gradient conjugué] Appliquez l
[PDF] exercices corrigés microéconomie 1ère année
[PDF] exercices corrigés microéconomie équilibre général
[PDF] exercices corrigés mitose
[PDF] exercices corrigés modes de financement
[PDF] exercices corrigés mouvement des satellites
[PDF] exercices corrigés mouvement seconde
[PDF] exercices corrigés nomenclature chimie organique terminale s
[PDF] exercices corrigés ondes seconde
[PDF] exercices corrigés ondes terminale s
[PDF] exercices corrigés optimisation non linéaire
[PDF] exercices corrigés optimisation sous contraintes
[PDF] exercices corrigés optique géométrique pdf
[PDF] exercices corrigés optique ondulatoire mp
[PDF] exercices corrigés orthogonalité dans l'espace
Optimisation, algorithmique (MML1E31)(M1 Maths, 2016-2017)
Examen du mercredi 4 janvier 2017
Corrigé
Les documents suivants sont autorisés :
P olycopiésdis tribuésen cours et notes de cours manuscrites corr espondantes, Sujets de TP i mpriméset notes manuscrites corr espondantes. La consultation de tout autre document (livres, etc.) et l"utilisation de tout appareil élec- tronique sont interdites.Exercice 1.(sur environ 12 points)
Rappel sur les fonctionnelles quadratiques :On rappelle qu"une fonctiong:Rn!Rest une fonctionnelle quadratique s"il existe une matrice carrée symétriqueA2 Mn(R), un vecteur b2Rnet une constantec2Rtels que8x2Rn; g(x) =12
hAx;xi hb;xi+c (et alors la matriceA, le vecteurbet la constantecsont uniques). Fonctionnelle des moindres carrés :Soientn;p2Ndeux entiers non nuls. SoientA2 M p;n(R)une matrice rectangulaire,b2Rpun vecteur. On définit la fonctionf:Rn!Rpar f(x) =12 kAxbk2: Attention on utilisera la même notation pour la norme et le produit scalaire dansRnet dansRp, mais les vecteurs ne sont a priori pas de la même taille! 1. Montrer quefestunefonctionnellequadratiqueetpréciserlamatricecarréeA02 Mn(R), le vecteurb02Rnet la constantec02Rassociés àf. 2. Donner l"e xpressiondu gradient rf(x)et de la matrice hessienner2f(x)defen toutpointx2Rn(on pourra se référer à un résultat du cours plutôt que de faire les calculs).
3.Montrer que fest convexe.
4. Montrer que fest fortement convexe si et seulement siker(A) =f0g. 5. Soit x2Rntelquerf(x)6= 0.Rappelerladéfinitiond"unedirectiondedescented2Rn au pointxet montrer qued2Rnest une direction de descente si et seulement si hAxb;Adi<0 (en particulierAd6= 0). 16.Soit x2Rntel querf(x)6= 0etdune direction de descente au pointx. Montrer que le
problème d"optimisation inft2Rf(x+td) admet une unique solution donnée par t ?=hrf(x);dikAdk2:(1) Algorithme de gradient conjugué pour les moindres carrés :On suppose désormais que ker(A) =f0g. On rappelle ci-dessous le pseudo-code de l"algorithme du gradient conjugué afin de minimiser une fonctionnelle quadratique g(x) =12 hA0x;xi hb0;xi+c0lorsqueA0est symétrique définie positive (ce qui revient à résoudre le système linéaireA0x=
b0). On rappelle que, par convention, pour cet algorithme ce sont les vecteurs opposésd(k)qui
sont des directions de descente.Algorithme 1 :Algorithme du gradient conjuguéDonnées :Un point initialx(0)2Rn, un seuil de tolérance" >0