Algorithme du gradient conjugué Proposition de corrigé 1) La fonctionnelle J a bien un minimum car la matrice A est symétrique définie positive
Previous PDF | Next PDF |
[PDF] LICENCE 3 MATHEMATIQUES – INFORMATIQUE
Etudier les paragraphes 3 3 1 (méthodes de descente) et 3 3 2 (algorithme du gradient conjugué, GC) Exercices proposés (avec corrigés) : 117 (exemple), 118
[PDF] Corrige Examen 2016-17
Corrigé Les documents suivants sont autorisés : — Polycopiés distribués en Algorithme de gradient conjugué pour les moindres carrés : On suppose désormais que Dans la suite de l'exercice, f : Rn → R désigne une fonction deux fois
[PDF] Optimisation
ordre (gradient conjugué, B F G S ) sera nécessaire pour obtenir 5 décimales 3 5 Exercices corrigés Minimisation unidirectionnelle La plupart des méthodes
[PDF] 1 Exercice sur la fonctionnelle ROF 2 Méthode de gradient avec
2 Méthode de gradient avec projection à pas variable pour une fonc- tion quadratique elliptique On considère la problème de minimisation suivant : trouver
[PDF] Algorithme du gradient conjugué • La lettre n désigne un entier
Algorithme du gradient conjugué Proposition de corrigé 1) La fonctionnelle J a bien un minimum car la matrice A est symétrique définie positive
[PDF] feuilles de travaux dirigés - Ceremade - Université Paris Dauphine
l'algorithme du gradient conjugué? Calculer alors explicitement les deux premiers itérés et vérifier la finie convergence de l'algorithme Exercice 24 ( exercice
[PDF] Exercices - Feuille 5
o`u Mq est triangulaire inférieure inversible carrée d'ordre q
[PDF] Optimisation Sans Contraintes - Université de Souk Ahras
1 5 Suggestions et Corrigés 3 2 2 Méthode de gradient conjugué dans le cas quadratique 39 3 2 3 Méthode du Exercice 01 Montrer qu'une
[PDF] Optimisation
La méthode du gradient conjugué a été découverte en 1952 par Hestenes et Exercice 76 (Gradient conjugué pour une matrice non symétrique) Corrigé
[PDF] 98 CHAPITRE 2 PRÉLIMINAIRES
On retrouve la formule utilisée dans l'exemple du tableau 3 1 pour le calcul du pas θ˚ Exercice 3 6 4 [Application de l'algorithme du gradient conjugué] Appliquez l
[PDF] exercices corrigés microéconomie 1ère année
[PDF] exercices corrigés microéconomie équilibre général
[PDF] exercices corrigés mitose
[PDF] exercices corrigés modes de financement
[PDF] exercices corrigés mouvement des satellites
[PDF] exercices corrigés mouvement seconde
[PDF] exercices corrigés nomenclature chimie organique terminale s
[PDF] exercices corrigés ondes seconde
[PDF] exercices corrigés ondes terminale s
[PDF] exercices corrigés optimisation non linéaire
[PDF] exercices corrigés optimisation sous contraintes
[PDF] exercices corrigés optique géométrique pdf
[PDF] exercices corrigés optique ondulatoire mp
[PDF] exercices corrigés orthogonalité dans l'espace
Algorithme du gradient conjugu´e.La lettrend´esigne un entier sup´erieur ou ´egal `a 1,Aune matrice r´eelle carr´ee
d"ordrensym´etrique d´efinie positive etbun vecteur de IRn. On note?,?le
produit scalaire usuel dans IR n.1) Montrer que la r´esolution du syst`eme lin´eaire
(1)Ax=b ´equivaut `a rechercher le minimum, pourxappartenant `a IRn, de la fonctionnelle (2)J(x) =12(x, Ax)-(b, x).
2)Description de l"algorithme du gradient conjugu´e.
Initialisation :x0?IRn, w0=Ax0-b.
It´eration de l"algorithme.
On suppose connus l"´etatxk-1apr`es laki`emeit´eration ainsi que la direction de descentewk-1.L"´etatxkau pas suivant de l"algorithme est issu dexk-1via un incr´ement proportionnel `a la direction de descente : (3)xk=xk-1+ρk-1wk-1 de fa¸con `a minimiser la fonctionnelle J : On introduit ´egalement le gradientgkdeJau pointxk: (5)gk=Axk-b.2.1) Calculer le coefficientρk-1en fonction degk-1,wk-1etA.
2.2) Montrer que l"on a
(6)?gk, wk-1?= 0. La nouvelle direction de descentewkest recherch´ee sous la forme (7)wk=gk+αkwk-1 de sorte quewksoit orthogonal `a la directionwk-1pour le produit scalaire associ´e `a la matriceAc"est `a dire : (8)?wk, Awk-1?= 0. 12.3) Calculer la valeur deαken fonction degk, wk-1etA.On notera que le
choix plus simpleαk= 0 conduit `a la m´ethode du gradient simple, o`u la direction de descente de l"algorithmewkcorrespond `a la ligne de plus grande pentegk.3)L"algorithme converge en au plus n ´etapes.
3.1) Remarquer que si les gradients successifsg0, g1, ... ,gk-1sont non nuls
mais quegkest nul, alors l"´etatxkest la solution du syst`eme lin´eaire (1).3.2) On suppose dans cette question que tous les gradientsgjsont non nuls
jusqu"`a l"´etapemincluse. Montrer qu"on a alors les relations d"orthogonalit´e suivantes : On pourra raisonner par r´ecurrence surkpour l"ensemble des quatre propri´et´es et d´emontrer les relations (9) `a (12) dans l"ordre o`u elles apparaissent.3.3) Montrer que l"algorithme converge en au plus n it´erations.
4) Propri´et´es auxiliaires.
4.1) Montrer que l"on a
(13)αk=?gk?2 ?gk-1?2. En d´eduire que le calcul tr`es pr´ecis des produits scalaires est crucial pour assurer le succ`es pratique (informatique) de la convergence de la m´ethode.4.2) Montrer que l"´etatxkr´ealise le minimum de la fonctionnelleJsur le sous-
espace affinex0+< w0, ... , wk-1>passant par le pointx0et d"espace vecto- riel associ´e engendr´e par les vecteursw0, ... , wk-1.Quel commentaire pouvez- vous faire ? FD, octobre 1993, janvier 1995, aoˆut 1999, juillet 2002, novembre 2006. 2Algorithme du gradient conjugu´e.Proposition de corrig´e.1) La fonctionnelleJa bien un minimum car la matriceAest sym´etrique
d´efinie positive. L"´equation d"Euler au point de minimum s"´ecrit ici : J ?(x)(Ax-b) = 0,ce qui montre la propri´et´e.