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3.4. OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES CHAPITRE 3. OPTIMISATION

3.4.5 Exercices (optimisation avec contraintes)

Exercice 125(Sur l"existence et l"unicité).Corrigé en page 268

Etudierl"existence et l"unicité des solutions du problème(3.48), avec les donnéessuivantes :E= IR, f: IR→IR

est définie parf(x) =x2, et pour les quatre différents ensemblesKsuivants : (iii)K={|x| ≥1}; (iv)K={|x|>1}.(3.55) Exercice 126(Aire maximale d"un rectangle à périmètre donné).Corrigé en page 268

1. On cherche à maximiser l"aire d"un rectangle de périmètredonné égal à 2. Montrer que ce problème peut se

formuler comme un problème de minimisation de la forme (3.48), oùKest de la formeK={x?IR2;g(x) =

0}.On donnerafetgde manière explicite.

2. Montrer que le problème de minimisation ainsi obtenu est équivalent au problème

?¯x= (¯x1,¯x2)t?˜K où

˜K=K∩[0,1]2,Ketfétant obtenus à la question 1. En déduire que le problème de minimisation de l"aire

admet au moins une solution.

3. CalculerDg(x)pourx?Ket en déduire que sixest solution de (3.56) alorsx= (1/2,1/2). En déduire que

le problème (3.56) admet une unique solution donnée par¯x= (1/2,1/2). Exercice 127(Fonctionnelle quadratique).Suggestions en page 244, corrigé en page 269

Soitfune fonction quadratique,i.e.f(x) =1

2Ax·x-b·x, oùA?Mn(IR)est une matrice symétrique

définie positive etb?IRn.On suppose que la contraintegest une fonction linéaire deIRndansIR, c"est-à-dire

g(x) =d·x-coùc?IRetd?IRn, et qued?= 0. On poseK={x?IRn, g(x) = 0}et on cherche à résoudre

le problème de minimisation (3.48).

1. Montrer que l"ensembleKest non vide, fermé et convexe.En déduire que le problème (3.48) admet une unique

solution.

2. Montrer que si¯xest solution de (3.48), alors il existeλ?IRtel quey= (¯x,λ)tsoit l"unique solution du

système :??A d dt0?? ?¯xλ?? =??bc?? (3.57) Exercice 128(Minimisation sans dérivabilité). SoientA?Mn(IR)une matrice s.d.p.,b?IRn,j: IRn→IRune fonction continue et convexe, à valeurs

positives ou nulles (mais non nécessairement dérivable, par exemplej(v) =?nj=1αi|vi|, avecαi≥0pour tout

i? {1,...,n}). SoitUune partie non vide, fermée convexe deIRn. Pourv?IRn, on poseJ(v) = (1/2)Av·v-

b·v+j(v).

1. Montrer qu"il existe un et un seulutel que :

2. Soitu?U, montrer queuest solution de (3.58) si et seulement si(Au-b)·(v-u) +j(v)-j(u)≥0,pour

toutv?U. Exercice 129(Utilisation du théorème de Lagrange).

1. Pour(x,y)?IR2, on pose :f(x,y) =-y,g(x,y) =x2+y2-1. Chercher le(s) point(s) oùfatteint son

maximum ou son minimum sous la contrainteg= 0.

Analyse numérique I, télé-enseignement, L3266Université d"Aix-Marseille, R. Herbin, 16 septembre 2016

3.4. OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES CHAPITRE 3. OPTIMISATION

2. Soita= (a1,...,an)?IRn,a?= 0. Pourx= (x1,...,xn)?IRn, on pose :f(x) =?ni=1|xi-ai|2,

g(x) =?ni=1|xi|2. Chercher le(s) point(s) oùfatteint son maximum ou son minimum sous la contrainte

g= 1.

3. SoientA?Mn(IR)symétrique,B?Mn(IR)s.d.p.etb?IRn. Pourv?IRn, onposef(v) = (1/2)Av·v-b·v

etg(v) =Bv·v. Peut-on appliquer le théorème de Lagrange et quelle condition donne-t-il surusif(u) =

min{f(v), v?K}avecK={v?IRn;g(v) = 1}? Exercice 130(Contre exemple aux multiplicateurs de Lagrange). Soientfetg:IR2→IR, définies par :f(x,y) =y, etg(x,y) =y3-x2. On poseK={(x,y)?IR2;g(x,y) = 0}.

1. Calculer le minimum defsurKet le point(

x,y)où ce minimum est atteint.

2. Existe-t-ilλtel queDf(

x,y) =λDg(x,y)?

3. Pourquoi ne peut-on pas appliquer le théorème des multiplicateurs de Lagrange?

4. Que trouve-t-on lorsqu"on applique la méthode dite "de Lagrange" pour trouver(

x,y)? Exercice 131(Application simple du théorème de Kuhn-Tucker).Corrigé en page 269 Soitfla fonction définie deE= IR2dansIRparf(x) =x2+y2etK={(x,y)?IR2;x+y≥1}.

Justifier l"existence et l"unicité de la solution du problème (3.48) et appliquer le théorème de Kuhn-Tucker pour la

détermination de cette solution. Exercice 132(Exemple d"opérateur de projection).Correction en page 270

1. SoitK=C+={x?IRn, x= (x1,...,xk)t, xi≥0,?i= 1,...,N}.

(a) Montrer queKest un convexe fermé non vide. (b) Montrer que pour touty?IRn, on a :(pK(y))i= max(yi,0). (a) Montrer queKest un convexe fermé non vide.

(b) SoitpKl"opérateur de projection définie à la proposition 3.40 page270. Montrer que pour touty?IRn, on

a : (pK(y))i= max(αi,min(yi,βi)),?i= 1,...,n.

Analyse numérique I, télé-enseignement, L3267Université d"Aix-Marseille, R. Herbin, 16 septembre 2016

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