(x1,x2,x3,x4) → x1 +px2 +qx3 +rx4 atteigne son maximum sous les contraintes 0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ x4 au point (0,0, 1 3 , 2 3 )? Exercice 9 Les probl`emes
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Exercices sur le cours
\Optimisation et programmation dynamique"2018-2019
Master mention Math´ematiques appliqu´ees 1`ere ann´eeUniversit´e Paris Dauphine
1 Optimisation
1.1 Le theor`eme de Kuhn et Tucker
Exercice 1.On consid`ere le probl`eme
max g(x)0f(x) Montrer que, sixest un maximum du probl`eme et la contrainte est qualifi´ee enx, alors il existe0 tel que
rf(x) +rg(x) = 0:Exercice 2.On consid`ere le probl`eme de la boite
min x i0 x1x2x3= 2(x1x2+ 2x2x3+ 2x1x3)
1.Prop oserune in terpr´etationdu probl `eme.
2. On supp oseque le probl `emeadmet une solution. Ecrire le sconditions n ´ecessairesd"opti- malit´e et calculer cette solution. 3. (dicile) Mon trerque le probl `emeadmet bien une solutionExercice 3.On consid`ere probl`eme
max x3+y33xy+1=0(x+y) Calculer la solution de ce probl`eme (on admet l"existence d"un maximum).Exercice 4.On consid`ere le probl`eme
max 0xi42 x1+ 2x2+ 2x372(x1+x2)
Calculer la solution de ce probl`eme.
Exercice 5.On consid`ere le probl`eme
max 0x0y(1x)3(3x+y)
11.Mon trerque le p oint(0 ;1) est le seul point v´erifiant les conditions n´ecessaires.
2. Mon trerque le p oint(1 ;0) est le minimum du probl`eme. Exercice 6.SoitAune matrice sym´etrique de formatnn. 1.Mon trerque
m= minkxk=1xTAx est la plus petite valeur propre deA. 2. Soien tfvigi=1;:::;kune famille de vecteurs propres deA, deux `a deux orthogonaux. Montrer que la quantit´e min kxk= 1; vTix= 0;8i= 1;:::;kx
TAx est une valeur propre deA. Exercice 7.SoitPl"hyperplan deRNd"´equationcTx=d(o`uc2Rn,d2R). Calculer la projection orthogonale d"un pointydeRnsurP, c"est-`a-dire le minimum du probl`eme min cTx=d12 kxyk2Exercice 8.Quelles conditions doivent v´erifier les r´eelsp,q,rpour que la fonction lin´eaire
(x1;x2;x3;x4)!x1+px2+qx3+rx4atteigne son maximum sous les contraintes 0x1x2 x3x4au point (0;0;13
;23 Exercice 9.Les probl`emes suivants ont-ils a priori une unique solution? La (les) calculer. min x+y1 x+ 2y+z0 yzx2+y2+ 2z2min
y0 yx x+y+ 30x 2+y Exercice 10.Calculer, en fonction du param`etreu2R, la solution du probl`eme min 8< :0xyz x+y+z1(xy+uxz+u2yz)Exercice 11.D´eterminer les points v´erifiant les conditions n´ecessaires d"optimalit´e et trouver
la solution du probl`eme si celle-ci existe : max 8< :y0; yx x+y+ 30x 2+yExercice 12.SoientMla matrice
M=0 @2 1 1 1 2 11 1 21
A etSl"ensemble convexeS=f(x1;x2;x3)2R3jx1+ 2x2+ 3x31; xi0 pouri= 1;2;3g
2Montrer que le probl`eme
maxX2SXTMX admet une unique solution. La calculer.Ind. L"inverse deMestM1=14
0 @311 1 31 11 31 A Exercice 13.On cherche `a r´esoudre le probl`eme (P) min(x;y)2K(x2)2+y2o`uK=f(x;y)2R2j2xy21 etx0g: 1. Mon trerque le probl `emeadmet au moins une solution. 2. Mon trerque la con trainteest qualifi ´eeen tout p oint. 3. Ecrire les conditions n ´ecessairesd"optimalit ´edu probl `eme. 4. T rouvertous les p ointssatisfaisan tles conditions n ´ecessairesd"optimalit ´e. 5. En d ´eduirela (ou les) solution(s) du probl `eme( P).1.2 Dualite
Exercice 14.R´esoudre par dualit´e le probl`eme min x2+y21 y+z012 (x2)2+y2+z2Exercice 15.Calculer le probl`eme dual de
min log(x)y0 y1x+12 y2 Exercice 16.R´esoudre par dualit´e le probl`eme min 1? xTAx1cTx o`uAest une matrice sym´etrique d´efinie positive de formatnn, etcun vecteur deRn.Exercice 17.On s"int´eresse au probl`eme
(P) minCxd12 xTAx+bTx o`uAest une matricennd´efinie positive,best un vecteur deRn,Cest une matrice de format lnetdest un vecteur deRl. L"expressionCxdsignifie que toute composante deCxest inf´erieure ou ´egale `a la composante correspondante ded. Montrer que le probl`eme dual du
probl`eme (P) est le probl`eme suivant max2Rl+12
TCA1CT(bTA1CT+dT)
3 Exercice 18.On consid`ereai(i= 1;:::;n) des r´eels strictement positifs, etxtel quePn i=1x2i=a2i>1, c"est-`a-dire quexn"appartient pas `a l"ellipsode
E=fu2RnjnX
i=1x2i=a2i1g
Calculer le probl`eme duald() du probl`eme
min u2Ekuxk2Montrer que le maximum ded() v´erifie
n X i=1a2ix2i(a2i+)2= 1:
Exercice 19.R´esoudre par dualit´e le probl`eme min hs;xi012 kxk2 hc;xi o`usetcsont des vecteurs deRnnon nuls.Exercice 20.On consid`ere le probl`eme
minAx=b12
kxk2 o`uAest une matricemnetbun vecteur deRm. 1. Quelle est la signification g ´eom´etriquede ce probl `eme. 2.Calculer le probl `emedual ( D).
3. A quelle condition le probl `emed ualadmet-il une unique solution ? 4. Calculer dans ce cas ce ttesolution en fonction de Aetb.1.3 Methodes numeriques
1.3.1 Methodes de penalisation
Exercice 21(M´ethode de p´enalisation int´erieure).Soientf:Rd!Retg:Rd!Rdeux fonctions continues surRd, strictement convexes avecgcoercive. On suppose qu"il existe un pointx0tel queg(x0)<0. 1.Mon trerque le probl `emesous con trainte
min x2Kf(x) o`uK:=fx2Rd:g(x)0g poss`ede une unique solution x. L"objectif du probl`eme est d"approcher xpar une m´ethode de p´enalisation. Pour tout >0, on pose J (x) :=f(x)g(x)8x2Int(K) =fx2Rd:g(x)<0g: 42.Mon trerque Jposs`ede un unique minimumxdansInt(K).
3. Soit x2Int(K). V´erifiez queJ(x)J(x)f(x). En d´eduire que, si ~xest une valeur d"adh´erence de (x) lorsque!0, alorsf(x)f(~x). 4.Conclure que ( x) tend vers xlorsque!0.
5. On s upposeque fetgsont de classeC1surRd. Ecrire la condition d"optimalit´e pourx et red´emontrer l"existence d"un multiplicateur0 pour x. 6. Sugg ´ererune m ´ethoden um´eriqued"appro ximationde x. Exercice 22(M´ethode de p´enalisation ext´erieure).Soientf:Rd!Retg:Rd!Rdeux fonctions continues surRd, strictement convexes avecfcoercive. On note xl"unique solution du probl`eme sous contrainte min x2Kf(x) o`uK:=fx2Rd:g(x)0gL"objectif du probl`eme est d"approcher xpar une m´ethode de p´enalisation ext´erieure. Pour tout
>0, on pose J (x) :=f(x) +1 (maxf0;g(x)g)28x2Rd: 1.Mon trerque Jposs`ede un unique minimumxdansRd.
2. Mon trerque la famille ( x) est born´ee pour2(0;1). 3. Soit x2K. V´erifiez queJ(x)J(x)f(x). En d´eduire que, si ~xest une valeur d"adh´erence de (x) lorsque!0, alorsf(x)f(~x). 4.Conclure que ( x) tend vers xlorsque!0.
5. On supp oseque fetgsont de classeC1surRd. V´erifier queJest de classeC1et sugg´erer une m´ethode num´erique d"approximation de x. 6. On supp oseq uefetgsont de classeC1surRdet que la contrainteKest qualifi´ee. On dit que la p´enalisation est exacte si il existe0>0 tel quex= xpour tout2]0;0[. V´erifier que la p´enalisation est exacte, si et seulement si, le multiplicateur dans la condition n´ecessaire d"optimalit´e pour xest nul. 7.Comparer les r ´esultatsa vecla m ´ethodede p ´enalisationin t´erieurede l"exercice pr ´ec´edent.
Exercice 23(M´ethode de p´enalisation exacte).Soientf:Rd!Retg:Rd!Rdeux fonctions de classeC1surRd, strictement convexes avecfcoercive. On note xl"unique solution du probl`eme sous contrainte min x2Kf(x) o`uK:=fx2Rd:g(x)0g On suppose que la contrainteKest qualifi´ee et on notele multiplicateur dans la condition n´ecessaire d"optimalit´e pour x.