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Exercice : Calculer avec des coordonnées dans l'espace Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est alors orthogonale à l'autre 3 2

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Orthogonalité de l'espace Exercice ABCDA'B'C'D' est un cube 1 Démontrer que la droite (AB') est orthogonale au plan (A'BC) En déduire que les droites

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Exercice : Calculer avec des coordonnées dans l'espace Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est alors orthogonale à l'autre 3 2

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Orthogonalité et distances dans l'espace – Exercices d'application Exercice 01 : Soit un cube, Montrer que Exercice 02 : Soit ABCDEFGH un cube

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Exercice 1 On donne A(2 ; -1 ; 3), 2) Démontrer que deux arêtes opposées sont orthogonales L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; Quel est le point d'intersection du plan (ABC) avec la droite (KL)? Corrigé A B C

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30 jui 2015 · La droite (DE) est orthogonale au plan (ABC) Exercice 4 Ph DEPRESLE: Notes de cours Page 10 sur 16 Page 11

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Montrer que les droites et sont orthogonales Page 2 Géométrie dans l'espace – Exercices – Terminale S – G AURIOL, Lycée Paul

[PDF] 1 Voici quelques exercices de géométrie synthétique de lespace

a) Démontrez que la droite AB est perpendiculaire au plan CMD b) Démontrez que les droites AB et CD sont orthogonales c)

Terminale S

4 5

1.1. Plan de l'espace ...................................................................................................................................... 51.2. Position relative de deux droites ............................................................................................................... 6

1.3. Exercice ................................................................................................................................................. 61.4. Position relative de deux plans ................................................................................................................. 71.5. Exercice ................................................................................................................................................. 7

2.1. Droites parallèles à un plan ..................................................................................................................... 72.2. Exercice : Montrer qu'une droite est parallèle à un plan .............................................................................. 82.3. Exercice : Utiliser le théorème du toit dans un tétraèdre .............................................................................. 9

2.4. Plans parallèles ..................................................................................................................................... 102.5. Exercice : Demontrer que deux plans sont paralleles ............................................................................. 10

2.6. Exercice : Construire la section d'un solide par un plan ............................................................................. 10

3.1. Droites orthogonales .............................................................................................................................. 113.2. Orthogonalité Droite-Plan ...................................................................................................................... 11

3.3. Plan médiateur ..................................................................................................................................... 123.4. Exercice : Démontrer une orthogonalité .................................................................................................... 12

13 19 23
27
30

Rappel

Fondamental

Définition

coplanaires coplanaires On considère le parallélépipède suivant : Fondamental : Dans l'espace, deux plans peuvent être ... On considère le parallélépipède suivant :

Fondamental

Fondamental : Théorème du toit

Attention

d d' d//d' [Solution n°1 p 30] (IK)(ABC)

Indice :

On pourra montrer que est parallèle à une droite du plan (IK)(ABC) [Solution n°2 p 30] [Solution n°3 p 30]

Indice :

On pourra utiliser le théorème du toit

Fondamental : Premier théorème

Fondamental : Second théorème

[Solution n°4 p 30]

Indice :

Pour prouver que deux plans sont paralleles, il suffit de trouver deux droites secantes d'un plan qui

sont paralleles a l'autre plan. [Solution n°5 p 31]

Définition

orthogonales

Remarque

perpendiculaire

Exemple

ABCDEFGH(AE)(GH)

(AE)(GH)

Fondamental

Définition

orthogonale à un plan

Complément

Exemple

(d)BCGF(BM)(CM)

Fondamental : Propriétés

Définition

[AB]AB

Fondamental

[AB](AB) [AB] [Solution n°6 p 32] ABCD (CD)(AB)

Indices :

Dans un tétraèdre régulier, toutes les arrêtes sont de la même longueur.

On pourra construire le point milieu de I[CD]

Définition

colinéairest

Remarque

Complément

dépendants indépendantslibres [Solution n°7 p 32] [Solution n°8 p 33]

Indice :

On pourra remarquer que

[Solution n°9 p 33]

IJKL(AC)(IJKL)

Indice :

On pourra exprimer en fonction de

[Solution n°10 p 33] (BD)(IJKL)

Fondamental : Caractérisation d'une droite

M vecteur directeur

Fondamental : Caractérisation d'un plan

M xyA

Fondamental : Conséquences

[Solution n°11 p 34]

Indice :

On pourra utiliser de manière astucieuse la relation de Chalses [Solution n°12 p 34] [Solution n°13 p 34]

Indice :

Si une droite est incluse dans un plan , tout vecteur directeur de la droite est un vecteur du plan Cela est une conséquence directe de la . dernière propriété vue sur cette page* - p.27 [Solution n°14 p 34] [Solution n°15 p 35]

Indice :

On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.

Définition

coplanaires ABCD

Exemple

coplanaires

Fondamental

coplanaires

Complément : Démonstration

ABCD ABC ABCD D

Attention

Définition

indépendantslibres Dans le cube ci-contre, cochez les triplets de 3 vecteurs

Fondamental

coordonnéesMA

Complément : Démonstration

ABCDM ABC A M (ABC)H xyz AB

Fondamental : Coordonnées d'un vecteur

Fondamental : Coordonnées du milieu d'un segment [AB]

Fondamental : Norme d'un vecteur

Complément : Avec les coordonnées de vecteur [Solution n°16 p 35] [Solution n°17 p 35]

ABCDABCD

Fondamental

A A

Définition

représentation paramétrique

Exemple

Remarque

[Solution n°18 p 35] (AB)

Indice :

Un vecteur directeur de la droite est (AB)

[Solution n°19 p 35] [Solution n°20 p 36]

Indice :

Il faut déterminer s'il existe deux paramètres et permettant à un même triplet de coordonnées tt'

de vérifier les deux représentations paramétriques.(x ;y ;z) [Solution n°21 p 36] [Solution n°22 p 36] [Solution n°23 p 37]

Indice :

On pourra montrer qu'elles sont perpendiculaires

On pourra trouver deux points et respectivement sur et [Solution n°24 p 37]

Soit ABCD un tétraèdre.

I est le milieu du segment [BD] et J est le milieu du segment [BC]

L'intersection des plans (ACD) et (AIJ) est

ABCDEFGH

[EH][BF] (BIG) (AE)

Le point K

[AE] [AE] E est égal à

Les vecteurs , et sont

Le milieu du segment est :[KG]

[IB] [HJ] passe par le point de coordonnées a un vecteur directeur de coordonnées :

Les droites et sont

Le point est

Les vecteurs , et sont coplanaires

La droite est parallèle au plan (AB)(xOz)

La droite est parallèle à l'axe des ordonnées.(AB) La droite passant par le point et dirigée par et la droite (AB) sont coplanaires.

Fondamental : Caractérisation d'une droite

M vecteur directeur

Fondamental : Caractérisation d'un plan

M xyA

Fondamental : Conséquences

Fondamental

Fondamental : Théorème du toit

Attention

d d' d//d'

Exercice p. 10

Exercice p. 9

Exercice p. 8

(SAC)

IK[SA][SC](IK)

(AC) (IK)(ABC)

Exercice p. 10

Pour la face AEFB

Pour la face EFGH

Pour la face CDHG

Pour la face ABCD

Pour finir

Exercice p. 14

Exercice p. 12

Méthode : 1ère méthode : A l'aide du plan médiateur ABI [CD] (CD)(AB) (AB)(CD) Méthode : 2ème méthode : Montrer que (CD) orthogonale à (ABI)

ADC(AI)A

BCD (AI)(BI)(ABI) (CD) (ABI)(CD) (AB)(CD)

Exercice p. 14

IJKL (AC)(IJKL)on peut affirmer - p.28 (AC)(IJKL)

Exercice p. 16

Exercice p. 15

(BD)(IJKL)

Utilisation de la relation de Chasles

propriétés vues précédemment - p.27

Exercice p. 21

Exercice p. 20

Exercice p. 16

les propriétés vues précédemment - p.27 B (AB)(CD)donc coplanaires - p.28 ABCD (AB)

Exercice p. 22

Exercice p. 21

(x ;y ;z) (AB) t tquotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

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Terminale S

2.4. Plans parallèles ..................................................................................................................................... 102.5. Exercice : Demontrer que deux plans sont paralleles ............................................................................. 10

2.6. Exercice : Construire la section d'un solide par un plan ............................................................................. 10

Rappel

Fondamental

Définition

Fondamental

Fondamental : Théorème du toit

Attention

Indice :

Indice :

On pourra utiliser le théorème du toit

Fondamental : Premier théorème

Fondamental : Second théorème

Indice :

Définition

Remarque

Exemple

ABCDEFGH(AE)(GH)

Fondamental

Définition

Complément

Exemple

Fondamental : Propriétés

Définition

Fondamental

Indices :

On pourra construire le point milieu de I[CD]

Définition

Remarque

Complément

Indice :

On pourra remarquer que

IJKL(AC)(IJKL)

Indice :

On pourra exprimer en fonction de

Fondamental : Caractérisation d'une droite

Fondamental : Caractérisation d'un plan

Fondamental : Conséquences

Indice :

Indice :

Indice :

On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.

Définition

Exemple

Fondamental

Complément : Démonstration

Attention

Définition

Fondamental

Complément : Démonstration

Fondamental : Coordonnées d'un vecteur

Fondamental : Norme d'un vecteur

ABCDABCD

Fondamental

Définition

Exemple

Remarque

Indice :

Un vecteur directeur de la droite est (AB)

Indice :

Indice :

On pourra montrer qu'elles sont perpendiculaires

Soit ABCD un tétraèdre.

L'intersection des plans (ACD) et (AIJ) est

ABCDEFGH

Le point K

Les vecteurs , et sont

Le milieu du segment est :[KG]

Les droites et sont

Le point est

Les vecteurs , et sont coplanaires

La droite est parallèle au plan (AB)(xOz)

Fondamental : Caractérisation d'une droite

Fondamental : Caractérisation d'un plan

Fondamental : Conséquences

Fondamental

Fondamental : Théorème du toit

Attention