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2ème Bac SMMahdade Allalannée scolaire 2016-2017Systèmes mécaniques oscillants : exercices

Exercice 1 :

Définir les notions suivantes :

Oscillateur mécanique - mouvement oscillatoire - oscillation libre - amplitude de mou- vement - élongation du mouvement - période propre - amortissement des oscillations mécaniques - oscillations forcées - oscillations entretenues - pendule élastique - pendule pesant - pendule simple - pendule de torsion . 2.

Choisir la bonne réponse :

(a) Plus la raideur d"un ressort est grande , plus la période du pendule élastique horizontal est : (a) grande (b) petite (b) La formule de la période des oscillations du pendule élastique horizontal n"est valable que pour des petites élongations : (a) vrai (b) faux (c) En présence de frottements , l"amplitude d"un pendule de torsion : (a) croit (b) décroît (c) reste constante (d) Plus la longueur du fil d"un pendule simple est grande , plus sa période est : (a) courte (b) longue (e) Plus la constante de torsion est grande , plus la période du pendule de torsion est : (a) grande (b) petite

Pendule élastique

Exercice 2 : résolution analytique de E.D

Un oscillateur mécanique élastique est consti- tué d"un ressort de constante de raideur

K= 10N/massocié à un solide de masse

m= 250g. On écarte le système de sa position d"équilibre de2cmet on l"abandonne sans vitesse initiale. x x O i G -Xm X m K (S) x On considère un axe(O,-→i), avec O coïncide avec la position du centre d"inertie G du solide à l"équilibre et le vecteur unitaire-→iparallèle au déplacement du solide. On repère la position G du solide à chaque instant par l"élongationOG=x(t). 1. Montrer que le mouvement du centre d"inertie G du solide obéit, en absence de frot- tement , à l"équation différentielle suivante :

¨x+K

m .x= 0 1/ 20 http://www.chimiephysique.ma

2ème Bac SMMahdade Allalannée scolaire 2016-20172.La solution de cette équation différentielle est de la forme :

x(t) =Xmcos?2π T 0t+?? (a) Déterminer l"expression de la période propreT0des oscillations du pendule élas- tique et calculer sa valeur . (b) Déterminer les paramètresXmet?, sachant qu" à l"instant t=0 , G passe par la position d"équilibre du pendule dans le sens positif .Écrire cette solution. (c) Déterminer la vitesse des oscillation à l"instant t , en déduire la vitesse maximale du système en précisant sa positions . (d)

Déterminer les caractéristiques de la force

-→Fexercée par le ressort sur le solide dans les deux cas suivant : * lorsque le solide passe par sa position d"équilibre stable; * lorsquex=Xmetx=-Xm

Solution : exercice 2

1. Établissement de l"équation différentielle

du mouvement : Référentiel lié au laboratoire considéré comme Galiléen;

Système étudié : le solide (S);

Bilan des forces exercées sur le système :

le poids?P, la réaction du plan horizontal?Ret la tension du ressort?F=-K.?Δl; x x O i G -Xm X m K (S) x R P F On applique la deuxième loi de Newton sur (S) :

P+?R+?F=m.?aG

On projette la relation surx?Ox:

0 + 0-K.Δl=m.d2x

dt 2 d"où d 2x dt 2+K m .x= 0

2. La solution de cette équation différentielle est de la forme :

x(t) =Xmcos?2π T 0t+??

2.1 L"expression de la période propreT0des oscillations du pendule élastique :

x(t) solution de l"équation différentielle , donc elle la vérifie , i.e on dérive deux fois

x(t) par rapport au temps : 2/ 20 http://www.chimiephysique.ma

2ème Bac SMMahdade Allalannée scolaire 2016-2017

d 2x dt

2=-4π2

T 20X mcos?2π T 0t+?? d 2x dt

2+4π2

20x(t)

Pour que x(t) soit solution de l"E.D il suffit que K m =4π2 T 20 T

0= 2π?

m K

Application numérique :T0≈1s

2.2 On détermine les paramètresXmet?, sachant qu" à l"instant t=0 , G passe par

la position d"équilibre du pendule dans le sens positif : D"après les données de l"exercice onXm= 2.10-2mquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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