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EXERCICE 1(5 points)

Résoudre dansCles équations suivantes d"inconnuesz.

1. (2 + 4i)z+ 5 = (5 + i)z+ 3i.

2. 3(1 + i)z= 1-i

EXERCICE 2(6 points)

On considère le nombre complexeZdéfinie de la façon suivante :

Z=z2+ 4z+z

z+32oùzest le conjugué du nombre complexez.

1. Si l"on notex+ iyl"écriture algébrique dez(xetyréels), prouver que l"écriture algébrique deZest

2x2+ 4x+3

2+ i(2xy+ 4y).

2. Si Re(z) =-1

2, le nombre complexeZest-il imaginaire pur? Pour touty?R, le nombrez=-12+ iy

permet-il àZd"être imaginaire pur?

3. Donner tous les nombres complexeszrendantZimaginaire pur.

4. Déterminer les nombres complexeszqui permettent àZd"être réel.

EXERCICE 3(6+1 points)

Soitfla fonction définie sur [-1;2] par :f(x) =x⎷ 4-x2 On noteCfla courbe représentative defdans le repère orthonormé (O;-→i;-→j).

1. (a) Justifier que la fonctionfest dérivable sur [-1;2[.

(b)BONUS :Prouver quef(x)-f(2) x-2=-x? 2 +x

2-x, pour toutx?[-1;2[.

2. Montrer que, pour toutx?[-1;2[,f?(x) =2(2-x2)

⎷4-x2.

3. En déduire les variations defsur [-1,2].

4. Déterminer l"équation ded, la tangente àCfenO.

EXERCICE 4(14 points)

Soit la fonctionfdéfinie surR\{1}par :

f(x) =x2+1 x-1. On noteCfla courbe représentative defdans un repère orthonormé.

Partie A : Étude d"une fonction auxiliaire

Soitula fonction définie surRpar :u(x) = 2x3-4x2+ 2x-1.

Lycée Bertran de Born - Périgueux1 sur 3

Terminale SDevoir surveillé n°3 - 25/11/20162016 - 2017

1. Détermineru?, puis dresser le tableau de variation de la fonctionusurR. On donneu?13?

=-1927.

2. Démontrer que l"équationu(x) = 0 admet surRune unique solutionαcomprise entre 1 et 2.

3. Déterminer un encadrement à 10

-2près deα.

4. Déterminer le signe de la fonctionusurR.

Partie B : Étude de la fonctionf

1. Déterminer les limites defen +∞, en-∞et en 1.

2. Montrer que pour toutx?R\{1},f?(x) =u(x)

(x-1)2.

3. En déduire le tableau de variation def.

Partie C : Position de deux courbes à l"infini et position relative

1. On notePla parabole représentant la fonction carrée. Calculer limx→+∞f(x)-x2. Comment peut-on

interpréter graphiquement ce résultat? 2.

On considère l"algorithme ci-contre.

Que calcule cet algorithme? Qu"affiche-t-il

comme résultat?

Variables :Xnombre entier

Xprend la valeur 2

Tant que

X-1?10-3faire

Xprend la valeurX+ 1

Fin Tant que

AfficherX

EXERCICE 5(6.5+2 points)

On étudie les oscillations (supposées non amorties) d"un pendule élastique vertical constitué d"un ressort

à spires non jointives, de masse négligeable et de constantede raideurk, auquel on accroche un solide de

massem= 0,1 kg.

Le ressort s"allonge et un équilibre est atteint. Puis, on étire le ressort verticalement et on le lâche.

La position du centre d"inertie du solide est repérée parx(en mètres) en fonction det(en secondes).

Un enregistrement de 3 secondes a donné la représentation graphique suivante :

Lycée Bertran de Born - Périgueux2 sur 3

Terminale SDevoir surveillé n°3 - 25/11/20162016 - 2017 D"après le graphique ci-dessous, on prend comme valeur :x(0) = 0,1 etx?(0) = 0.

1. Pourt?0, on définit la fonctionxpar :

x(t) =αsin(2πt+?)avec0???πetαest un nombre réel strictement positif.

(a) Pour touttde [0;+∞[, calculerx(t+1). Que peut-on en déduire sur la périodicité de la fonction

x? (b) Déterminerαet?.

2. Étudier le signe dex?(t) sur [0;1]. En déduire les variations dexsur [0;1].

3.BONUS :L"équation que vérifie l"abscissexdu centre d"inertie du solide, appeléeéquation diffé-

rentielle, s"écrit : mx ??(t) +kx(t) = 0 , oùx??désigne la fonction dérivée de la fonctionx?. Calculer la valeur de la constante de raideurkdu ressort.

EXERCICE 6(2.5+2 points)

On considère la fonctionhdéfinie surRpar

h(x) = (sin(x) + cos(x))3

1. Après avoir justifié rapidement la dérivabilité dehsurR, calculerh?(x) pour toutxréel.

2.BONUS :Déterminer les valeurs de ]-π;π] pour lesquellesh?(x) s"annule.

Rappel : quelques formules de trigonométrie pouvant être utiles •?x?R,sin2(x) + cos2(x) = 1; •?x?R,sin(2x) = 2sin(x)cos(x); •?x?R,sin(x+π

2) = cos(x).

Lycée Bertran de Born - Périgueux3 sur 3

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