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ALG
Module 2
PAD - Exercices
January 2, 2009
Table des Matiµeres
1 Espaces euclidiens 1
31-1.1 Exercice 1a - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31-1.2 Exercice 2a. Orthogonalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41-1.3 Exercice 3a - Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . .
61-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81-2.1 Exercice 1b - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 81-2.3 Exercice 3b - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111-3.1 Exercice 1c - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 111-3.3 Exercice 3c - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 15 15 192-1.3 Exercice 6a { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242-2.1 Exercice 4b { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242-2.2 Exercice 5b { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2425
2-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2626
2-3.2 Exercice 5c { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262-3.3 Exercice 6c { Diagonalisation des endomorphismes
2731
3-1.1 Exercice 7a { Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . .
3132
3-1.3 Exercice 9a { Polyn^omes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . .
35i iiTABLE DES MATIµERES
3-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
403-2.1 Exercice 7b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4040
42
3-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
453-3.1 Exercice 7c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
453-3.2 Exercice 8c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
453-3.3 Exercice 9c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46Chapitre 2
13 2-1 2-1.1 1. f1(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3¡x1y2¡x2y1¡x1y3¡x3y1¡x2y3¡x3y2
f2(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+x1y2+x2y1+x1y3+x3y1+x2y3+x3y2
f3(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+ 2x1y2+ 2x1y3+ 2x2y3
(a) deR3. (b) (c) (d) 2. A=0 @2¡1 0¡1 2¡1
0¡1 21
A dans la base canonique deR3. (a) (b) En partant des vecteurs de la base canoniquefe1;e2;e3g, et en utilisant le f-orthogonale. 1. canonique deR3: f1(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3¡x1y2¡x2y1¡x1y3¡x3y1¡x2y3¡x3y2
¡x1x2x3¢0
@2¡1¡1¡1 2¡1
¡1¡1 21
A0 @x 1 x 2 x 31A f
2(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+x1y2+x2y1+x1y3+x3y1+x2y3+x3y2
¡x1x2x3¢0
@2 1 1 1 2 11 1 21
A0 @x 1 x 2 x 31A f
3(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+ 2x1y2+ 2x1y3+ 2x2y3
¡x1x2x3¢0
@2 2 2 0 2 20 0 21
A0 @x 1 x 2 x 31A q
1(x) = 2x21+ 2x22+ 2x23¡2x1x2¡2x1x3¡2x2x3
q2(x) = 2x21+ 2x22+ 2x23+ 2x1x2+ 2x1x3+ 2x2x3
q3(x) = 2x21+ 2x22+ 2x23+ 2x1x2+ 2x1x3+ 2x2x3
On a :
q1(x) = 2³
x1¡x2
2¡x3
2 2+3 2 (x2¡x3)2 f1n'est pas un produit scalaire.
Faisons de m^eme pourq2:
q2(x) =x21+x22+x23+ (x2+x1+x3)2
qui est bien positive.Supposons :q2(x) = 0 on a :
8>>< >:x 21= 0x 22= 0
x 23= 0
(x2+x1+x3)2= 0 de m^eme pourf2puisqueq2=q3 produit scalaire. 2. (a) La matriceA=0 @2¡1 0