[PDF] (Alg`ebre 2) Formes bilinéaires Formes quadratiques Orthogonalité PDF ExAlg2.pdf

Exercices d'entraˆınement (Alg`ebre 2) Formes définissent une forme bilinéaire sur l'espace E indiqué Ecrire la forme quadratique q associée `a b 2

Exercices Corrigés Formes quadratiques 2009-2010 Exercice 1 Soit B une forme bilinéaire sur un espace vectoriel réel V et soit q sa forme quadratique

[PDF] ALG`EBRE LIN´EAIRE Module 2 PAD - Exercices - PédagoTech de

2 jan 2009 · 1-1 Exercices corrigés 2-1 1 Exercice 4a – Formes bilinéaires et quadratiques 15 2-1 3 Exercice 6a – Forme quadratique

[PDF] Formes bilinéaires et formes quadratiques, orthogonalité Cours

miné par une série des exercices, en plus diune section pour les examens des années passées et leurs corrigés types afin diéclairer le contenu et lienrichir liorthogonalité pour une forme bilinéaire les formes quadratiques as$ sociées aux

[PDF] Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques - SAMM

Correction de quelques exercices de la feuille no 5: forme bilinéaire symétrique sur E Montrer que la forme quadratique associée `a ψ est définie positive

[PDF] Corrigé du devoir surveillé no1

Exercice I Soit q: R3 → R la forme quadratique définie par la formule 1) Déterminer la forme bilinéaire symétrique associée `a q et sa matrice dans la base

[PDF] Feuille dexercices sur les formes bilinéaires symétriques et les

Quelle est sa signature ? Trouver une base orthogonale de R3 pour cette forme quadratique Exercice 6 Soit q la forme quadratique sur R3

[PDF] TD7 : formes quadratiques

Exercices ⋆ : `a préparer `a la maison avant le TD, seront corrigés en début de TD f) La forme polaire de f est la forme bilinéaire symétrique (A, B) ↦→ tr(AB)

[PDF] Examen premi`ere session - Corrigé - webusersimj-prgfr

13 mai 2015 · Exercice 1 1 formes quadratiques sur R4 suivantes : (b) Vérifier que la forme bilinéaire symétrique φ associée `a Q est donnée par :

[PDF] (Alg`ebre 2) Formes bilinéaires Formes quadratiques Orthogonalité

Exercices d'entraˆınement (Alg`ebre 2) Formes définissent une forme bilinéaire sur l'espace E indiqué Ecrire la forme quadratique q associée `a b 2

[PDF] TD n 5 : Formes bilinéaires et formes quadratiques

1 + 6x1x2 − 3x2 2 Exercice 7 Soit Q : R3 → R la forme quadratique dont la matrice dans la base canonique de R3 est

Exercices d'entra^nement (Algebre 2)

Formes bilineaires

Exercice 1

1. Parmi les expressions ci-dessous, determiner celles qui

denissent une forme bilineaire sur l'espaceEindique. (a)b1(u;v) = 2u1v14u2v2+ 3u1v2(E=R2) (b)b2(u;v) =u1v1+ 8u2v43u2(E=R4) (c)b3(u;v) = 2u1v1+ 3u1v2+ 6u2v2+ 3u2v1(E=R2) (d)b4(u;v) =u1v1+u2v2+u3v3(E=R3) (e)b5(u;v) =u1u28v1u2(E=R2) (f)b6(u;v) = 0 (E=R2) (g)b7(u;v) = 3 (E=R2)

2. Ecrire la matrice de chacune des formes bilineaires.

3. Quelles formes bilineaires sont symetriques?

4. Calculerb1(u;v) pouru= (2;3) etv= (4;1) de deux

facons : (a) en utilisant l'expression deb1 (b) avec des produits matriciels.

Exercice 2

Soient les matrices suivantes associees a des formes bilineaires : A=0 @1 0 0 0 1 1

1 1 21

A B=0 @1 0 4 0 1 1

4 1 01

A C=0 B

B@2 4 0 1

4 1 0 1

0 0 0 1

1 1 1 11

C CA Ecrire l'expression de la forme bilineaire associee a chacune de ces matrices. Lesquelles sont symetriques?

Formes quadratiques

Exercice 3

Soit la forme bilineaire (symetrique) deR3:

b(u;v) = 2u1v1+ 4u1v2+ 4u2v1u2v2+ 3u3v3

1. Ecrire la forme quadratiqueqassociee ab.

2. Ecrire la matrice deq.

3. La formeqest-elle denie positive?

Exercice 4

Soit la forme quadratique deR3:q(u) = 2u21+ 2u1u2+u22+u23.

1. Ecrire la forme bilineairebassociee, et la matrice deq.

2. Est-elle denie positive?

Orthogonalite

Exercice 5

1. Soient les vecteurs deR3:

u= (2;1;0)v= (3;6;1)w= (1;0;0) (a) Montrer qu'ils forment une base deR3. (b) Forment-ils une base orthogonale pour le produit scalaire usuel? (c) Calculerjjujj,jjvjjetjjuvjj.

2. Soit la formeb(u;v) = 2u1v1+u2v2surR2.

(a) Montrer quebdenit un produit scalaire<;>(c'est-a- dire qu'elle est denie positive).(b) Soient les vecteurs deR2: u= (2;1)v= (3;12) Ces deux vecteurs sont-ils orthogonaux pour le produit scalaire<;>? (c) Calculerjjujjpour la norme induite par<;>.

Exercice 6

Dans chacun des cas suivants, determiner la dimension deF, la dimension deF?, orthogonal deFdansEpour le produit scalaire usuel, et en donner une base.

1.E=R2;F= Vect((1;1))

2.E=R3;F= Vect((1;1;1))

Exercice 7

SoitFle sous-espace vectoriel deE=R3deni par

F=f(u1;u2;u3)2R3ju12u2+u3= 0g

1. Determiner une base deF.

2. Determiner une base orthonormee deFpour le produit

scalaire usuel.

3. Determiner une base deF?.

4. Calculer les coordonnees du projete orthogonal du vecteur

u= (1;3;2) surF.

5. Ecrire la matriceA(dans la base canonique) de la projection

orthogonale surF.

6. Sans calcul, donner les valeurs propres deA, et indiquer une

base deEdans laquelleAest diagonale.

Exercice 8

Soit dansR3, le produit scalaire :

< u;v >= 2u1v1+u2v2+u3v3: Orthonormaliser la base canonique deR3pour ce produit scalaire.

Diagonalisation en base orthonormee

Exercice 9

Soit la forme quadratique deR3denie par :

q(u) = 9u21+ 6u22+u234u1u2:

1. Ecrire sa matriceA.

2. DiagonaliserAdans une base orthonormee (pour le produit

scalaire usuel).

3. Ecrire la forme reduite deq.

4. En deduire siqadmet un minimum ou un maximum, et

eventuellement le point ou ce minimum (ou maximum) est atteint.

5. Determiner le minimum deqsurS=fu2R3;jjujj= 1g, et

le vecteur deSou ce minimum est atteint.

6. M^emes questions pour le maximum deqsurS.

M^emes questions pour

q(u) =u21+ 4u22+u23+ 4u1u2:

Exercice 10

1. Trouver une racine carree de la matrice :

A=13 4

4 5

2. En deduire comment simuler un couple (X;Y) de variables

gaussiennes centrees, dont la matrice de covariance estA.

Exercices supplementaires

Exercice 11

Soitjj:jjune norme induite par un produit scalaire<;>.

1. Calculerjju+vjj2en fonction dejjujj2,jjvjj2et< u;v >.

A quelle condition a-t-onjju+vjj2=jjujj2+jjvjj2?

3. Interpreter geometriquement cette condition en dimension 2,

pour le produit scalaire usuel. Quel theoreme retrouve-t-on?

Exercice 12

Soitbune forme bilineaire symetrique sur un espace vectorielE, qsa forme quadratique associee.

1. Pourx;y2E, calculerq(x+y),q(xy) etb(x+y;xy)

en fonction deb(x;y),q(x) etq(y).

2. Ecrire les resultats obtenus pourE=R,b(x;y) =xy. Que

retrouve-t-on?

Exercice 13

Soitjj:jjune norme induite par un produit scalaire<;>.

1. Pouru;v2E, exprimerjju+vjj2+jjuvjj2en fonction de

jjujj2etjjvjj2.

2. Interpreter geometriquement en dimension 2, pour le produit

scalaire usuel.

Revisions

Exercices de preparation a l'examen. La consigne de redaction sera : Sauf mention contraire, vos resultats doivent ^etre justies, par un calcul detaille et/ou un raisonnement clair s'appuyant sur les resultats donnes en cours. La qualite de la redaction et la precision des explications fournies entreront pour une part importante dans l'appreciation des copies.

Exercice 14

SoientAetBles deux matrices :

A=0 B

B@1=2 1=21=p2 0

1=21=2 0 1=p2

1=2 1=2 1=p2 0

1=21=2 01=p2

1 C CA B=0 @2 4 3 3 1 2

7 5 11

A Montrer queAest une matrice orthogonale, et queBne l'est pas.

Exercice 15

Soit la matriceA:

A=0 @7=2 0 7=2 0 7 0

7=2 0 7=21

A1. Ecrire l'expression de la forme quadratiqueqassociee aA, et de la forme bilineaire symetrique associee aA.

2. DiagonaliserAdans une base orthonormee (pour le produit

scalaire usuel), c'est-a-dire trouverDdiagonale etPorthog- onale telle queA=PDPT. Expliquer comment verier votre calcul.

3. Ecrire la forme reduite deq.

4. Montrer queAn'est pas denie positive.

5. Montrer queqn'a pas de maximum surR3.

6. Montrer queqa un minimum surR3. Donner un point ou ce

minimum est atteint.

7. Verier que le minimum deqsurS=fu2R3;jjujj= 1gest

0, et trouver un point deSou ce minimum est atteint.

8. Determiner le maximum deqsurS, et trouver un point de

Sou ce maximum est atteint.

9. Determiner une racine carree deA.

10. M^emes questions pour

A=0 @7 18 1 78

88 161

A (en cas de diculte de calcul des valeurs propres, on pourra admettre que les valeurs propres deAsont 0, 6 et 24).

Exercice 16

On se place dansE=R4, muni du produit scalaire usuel.

SoitFl'espace vectoriel engendre par :

8>>< >:e 1=0 B B@1 2 1 21
C

CA;e2=0

B B@3 7 1 21
C

CA;e3=0

B B@2 2 44
241
C CA9

1. Montrer quefe1;e2;e3gest une base deF.

2. Donner la dimension deF?, puis en determiner une base.

3. Montrer quefe1;e2;e3gn'est pas une base orthogonale de

4. Construire une basefg1;g2;g3gdeForthonormee.

5. Calculer la projection orthogonale du vecteuru= (1;2;4;5)

surF.

6. Ecrire la matrice de la projection orthogonale surF. On ap-

pellera cette matriceA.

7. Expliquer quel calcul eectuer pour retrouver le resultat de

la question 5. a partir de la matriceA.

8. Sans calcul, indiquer les valeurs propres deAet les espaces

propres associes.

9. Toujours sans calcul, trouver deux matricesP(orthogonale)

etD(diagonale) telle queA=PDPT.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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Exercices d'entra^nement (Algebre 2)

Formes bilineaires

Exercice 1

1. Parmi les expressions ci-dessous, determiner celles qui

2. Ecrire la matrice de chacune des formes bilineaires.

3. Quelles formes bilineaires sont symetriques?

4. Calculerb1(u;v) pouru= (2;3) etv= (4;1) de deux

Exercice 2

1 1 21

4 1 01

B@2 4 0 1

4 1 0 1

0 0 0 1

1 1 1 11

Formes quadratiques

Exercice 3

Soit la forme bilineaire (symetrique) deR3:

1. Ecrire la forme quadratiqueqassociee ab.

2. Ecrire la matrice deq.

3. La formeqest-elle denie positive?

Exercice 4

1. Ecrire la forme bilineairebassociee, et la matrice deq.

2. Est-elle denie positive?

Orthogonalite

Exercice 5

1. Soient les vecteurs deR3:

2. Soit la formeb(u;v) = 2u1v1+u2v2surR2.

Exercice 6

1.E=R2;F= Vect((1;1))

2.E=R3;F= Vect((1;1;1))

Exercice 7

SoitFle sous-espace vectoriel deE=R3deni par

F=f(u1;u2;u3)2R3ju12u2+u3= 0g

1. Determiner une base deF.

2. Determiner une base orthonormee deFpour le produit

3. Determiner une base deF?.

4. Calculer les coordonnees du projete orthogonal du vecteur

5. Ecrire la matriceA(dans la base canonique) de la projection

6. Sans calcul, donner les valeurs propres deA, et indiquer une

Exercice 8

Soit dansR3, le produit scalaire :

Diagonalisation en base orthonormee

Exercice 9

Soit la forme quadratique deR3denie par :

1. Ecrire sa matriceA.

2. DiagonaliserAdans une base orthonormee (pour le produit

3. Ecrire la forme reduite deq.

4. En deduire siqadmet un minimum ou un maximum, et

5. Determiner le minimum deqsurS=fu2R3;jjujj= 1g, et

6. M^emes questions pour le maximum deqsurS.

M^emes questions pour

Exercice 10

1. Trouver une racine carree de la matrice :

A=13 4

2. En deduire comment simuler un couple (X;Y) de variables

Exercices supplementaires

Exercice 11

1. Calculerjju+vjj2en fonction dejjujj2,jjvjj2et< u;v >.

A quelle condition a-t-onjju+vjj2=jjujj2+jjvjj2?

3. Interpreter geometriquement cette condition en dimension 2,

Exercice 12

1. Pourx;y2E, calculerq(x+y),q(xy) etb(x+y;xy)

2. Ecrire les resultats obtenus pourE=R,b(x;y) =xy. Que

Exercice 13

1. Pouru;v2E, exprimerjju+vjj2+jjuvjj2en fonction de

2. Interpreter geometriquement en dimension 2, pour le produit

Revisions

Exercice 14

SoientAetBles deux matrices :

B@1=2 1=21=p2 0

1=21=2 0 1=p2

1=2 1=2 1=p2 0

1=21=2 01=p2

7 5 11

Exercice 15

Soit la matriceA:

7=2 0 7=21

2. DiagonaliserAdans une base orthonormee (pour le produit

3. Ecrire la forme reduite deq.