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Terminale S spé

Contrôle de mathématiques

Lundi 31 janvier 2011 correction

Exercice 1

Question de cours. (4 points)

Cf cours

2) T outnombre entier nnon premier supérieur à 2 possède un diviseur premierptel que :

26p6pn.

Application : on a 2021 soit : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

D"après les critères de divisibilité, 401 n"est pas divisible par 2, 3, 5, 11. On teste alors

les autres :

401=757+2

401=1330+11

401=1723+10

401=1921+2

donc 401 est premier.

On peut alors résoudre l"équation :

2y2=401,(xy)(x+y)=401

(xy) et (x+y) sont donc des diviseurs de 401. Commexetysont des entiers naturels alorsxy6x+y. On a donc le système suivant : (xy=1 x+y=401,(x=201 y=200 3)

On décompose : 13 230 =233572

il y a donc : (1+1)(3+1)(1+1)(2+1)=48 diviseurs.

Exercice 2

Divisibilité (4 points)

1) Un nombre aet sa puissance non nulansont de même parité. Donc 237et 337sont respectivement pair et impair. La diérence de deux entiers de même parité est paire. Donc 3375 est pair. 2

37+3375 est donc pair.Paul Milan 1 sur3 5 février 2011

contr

ˆole de math´ematiquesTerminale S spé2)Théorème de Fermat : soit ppremier etanon divisible parpalors on a :

a p11 mod 37.

2 et 3 ne sont pas divisible par 37, donc on a :

361 mod 37 et 3361 mod 37.

Donc 2

361 et 3361 sont divisible par 37.

3) 2

361 mod 37 et 3361 mod 37 alors 2372 mod 37 et 3373 mod 37.

Par la compatibilité avec la congruence on a : 2

37+33752+35 mod 37 donc

37+33750 mod 37.

donc 2

37+3375 est divisible par 37, comme 237+3375 est pair et comme 2 et

37 sont premiers entre eux alors 2

37+3375 est divisible par 237=74.

Exercice 3

Trouver un nombre premier quad (3 points)

On considère un carré de la forme 17p+1 oùpest premier. 1)

On a : 17 p+1=a2soit 17p=a21=(a1)(a+1)

2) Théorème de Bezout : ppremier divise le produitabsi et seulement sipdiviseaoup diviseb.

On en déduit que 17 divise alorsa1 oua+1.

Si 17 divisea1 alorsa1=17ket doncp=k(a+1). Commepest premier alorsk=1. On en déduit : a1=17 donca=18 doncp=a+1=19 De même si 17 divisea+1 alorsa+1=17ket doncp=k(a1). Commepest premier alorsk=1. On en déduit : a+1=17 donca=16 doncp=a1=15 non premier

Conclusion :p=19

Exercice 4

Nombre de diviseurs (3 points)

Un nombrens"écrit 23. Le nombre de diviseurs de 12nest le double du nombre de diviseurs den 1)

On a : 12 n=22323=2+23+1. On doit donc avoir :

(+2+1)(+1+1)=2(+1)(+1) +2+3+6=2+2+2+2 =62 (1)=4Paul Milan 2 sur3 5 février 2011 contr

ˆole de math´ematiquesTerminale S spé2)Les deux décomposition de 4 sont : 1 4 et 22. On a donc les systèmes suivants :

(=1

1=4,(=1

=5;(=4

1=1,(=4

=2et(=2

1=2,(=2

=3 On obtient les solution suivante :n=2531=96,n=2234=324, etn=2332=72.

Exercice 5

Polynésie sept 2003 (6 points)

1) Si p>7 etppremier, alorspn"est pas divisible par 3. On en déduit que : p1 mod 3 oup2 mod 3,p 1 mod 3 On en déduit alors quep41 mod 3 et doncp410 mod 3. nest donc divisible par 3.

2)pest impair donc il existe un entierktel que :p=2k+1. On a donc :

21=(2k+1)21=4k2+4k+11=4k(k+1)

Doncn=p41=(p21)(p2+1)=4k(k+1)(p2+1)

ketk+1 sont deux entiers consécutifs donc l"un des deux est pair. De plus commep est impair,p2+1 est pair (un nombre et son carré ont même parité).

Conclusionnest divisible par 16.

3) Comme p>7 etppremier,pn"est pas divisible par 5. On a donc les cas suivants : p1 mod 5 doncp4111 mod 5,n0 mod 5 p2 mod 5 doncp4116115 mod 5,n0 mod 5 p3 mod 5 doncp4181180 mod 5,n0 mod 5 p4 mod 5 doncp412561255 mod 5,n0 mod 5

Doncnest divisible par 5.

Autre méthode mais non demandée : 5 premier etpest non multiple de 5, d"après le théorème de Fermat :p41 mod 5 4) a) Si aetbdivisec, alors il existe deux entiersk1etk2tels que :c=k1aetc=k2b. On a donck1a=k2b, doncadivisek2bet commeaetbsont premier entre eux, d"après le théorème de Gauss,adivisek2. Il existe alorsk3tel quek2=k3a.

On a doncc=k2b=k3ab.abdivisec.

3, 16 et 5 di visenet 3, 16 et 5 sont premiers entre eux, donc 3165=240 divise

n. 5) D"après ce qui précède 8i2f1;2;:::;15gp4i1 mod 5. On en déduit que :

A15 mod 5,A0 mod 5

DoncAest toujours divisible par 5. Il n"existe pas de tels nombres.Paul Milan 3 sur3 5 février 2011

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