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Exercices supplémentaires : Application de la dérivation

Partie A : Variations

Exercice 1

On donne les courbes de quatre fonctions en rouge et celles de leurs dérivées en bleu. Associer chaque fonction à sa dérivée. Justifier.

Exercice 2

Dans chaque cas, calculer la dérivée de la fonction puis déterminer les variations de .

1) : ↦

sur

2) : ↦

3 1 sur

3) : ↦

2

5 sur

4) : ↦

pour 1

5) : ↦

pour 0

6) : ↦

pour 1

7) : ↦

pour 1 et 3

8) : ↦

9) : ↦

sur 0;∞

Exercice 3

On considère la fonction : ↦

12 sur 10;10.

1) Calculer ′ et dresser le tableau de variations de .

2) Donner un encadrement de pour ∈5;2.

3) On considère un réel ". Donner, suivant les valeurs de ", le nombre de solutions de l'équation # ".

OAB CD

Exercice 4

On considère la fonction définie par #

4 2 sur ℝ.

1) Montrer que

%= - 1 + 2

2) En déduire le sens de variations de .

3) Déterminer le nombre de solutions de l'équation = " suivant les valeurs de ".

Partie B : Extremums

Exercice 1

On considère la fonction définie sur ℝ par = - 6 + 9 + 1.

1) Etudier le sens de variations de .

2) possède-t-elle des extremums locaux ? des extremums globaux ?

Exercice 2

On considère la fonction définie sur ℝ -(2) par =

1) Etudier le sens de variations de .

2) possède-t-elle des extremums locaux ? des extremums globaux ?

Partie C : Exercices bilan

Exercice 1

Dans un tronc d'arbre circulaire, on découpe une poutre de forme parallélépipédique rectangle. La résistance à la flexion de cette poutre varie comme le produit ℓ × ℎ où ℓ = ./ et ℎ = /0 sur la figure ci-contre. On prend comme unité de longueur le rayon du tronc d'arbre (ce rayon est donc de 1).

1) Montrer que ℎ

= 4 - ℓ

2) En déduire que ℓ × ℎ

= -ℓ+ 4ℓ.

3) On considère la fonction : ↦ -

+ 4 pour ≥ 0. a. Etudier le sens de variations de . b. Comment choisir ℓ et ℎ pour que la poutre résiste au mieux à la flexion ? c. Quel est l'angle 2 correspondant à 0,1° près ?

Exercice 2

Un industriel doit fabriquer une boite fermée de volume 1ℓ, soit 13" , ayant la forme d'un pavé de hauteur ℎ dont la base est un carré de côté . L'unité de longueur est le 3".

1) Justifier que ℎ =

2) En déduire que l'aire totale des faces du pavé est 4= 2

3) Montrer que pour > 0, on a 4

%=67

4) En déduire les variations de 4.

5) Donner les dimensions de la boîte d'aire minimale.

Exercice 3

Avec un disque de rayon 8, on souhaite confectionner un cône de révolution ouvert (sans la base). Pour cela, on

enlève un secteur angulaire du disque.

La base du cône a pour rayon 9 et on pose : =

1) Fabriquer un tel cône

3) Montrer que le volume du cône est >:=

4) On veut déterminer le rapport : qui rend le volume > maximal.

a. Expliquer pourquoi la fonction > a le même sens de variations de la fonction > sur 0;1. b. Déterminer la valeur de : pour laquelle > est maximal. c. En déduire la hauteur du cône de volume maximal et son volume.

Exercice 4 On considère la fonction : ↦|

- 2 - 3| pour tout réel .

1) Etudier le signe de

- 2 - 3. 2) a. Etudier les variations de la fonction B définie sur ℝ par B= - 2 - 3. b. La fonction B possède-t-elle des extremums locaux ? c. Représenter graphiquement la fonction B. 3) a. Exprimer en fonction de B sans valeur absolue en distinguant plusieurs intervalles. b. Déterminer les variations de sur ℝ. c. Déduire la courbe de à partir de celle de B. d. La fonction possède-t-elle des extremums locaux ?

Exercice 5

1) Vérifier que pour tout réel , on a

+ 3 - 54 = - 3 + 6 + 18.

2) En déduire le signe du polynôme D défini par D=

+ 3 - 54.

3) Une entreprise produit E milliers de pièces par jour, E étant un réel de 0;5. Le prix de revient d'une pièce,

exprimé en euros, dépend de E et est donné par l'expression E= F@F FGH F

a. Quel est, à un euro près, le prix de revient d'une pièce lorsque l'entreprise produit 4200 pièces par

jour ? Quel est donc pour l'entreprise le coût engendré par la production de 4200pièces ? b. Démontrer que pour tout E ∈0;5, %E= JF F où D est le polynôme défini à la question 2. c. Dresser le tableau de variations de . d. En déduire le nombre E G d'unités à fabriquer pour que le prix de revient d'une pièce soit minimal. Quel est alors le montant en euros du coût total de production ? Correction exercices supplémentaires : Application de la dérivation

Partie A : Variations

Exercice 1

La fonction de la courbe rouge 1 est croissante sur -∞;0 et décroissante sur 0;+∞donc sa dérivée doit être

positive sur - ∞;0et négative sur 0;+∞. De plus, 0 est une valeur interdite. C'est donc la courbe 3 qui

correspond à la dérivée de

La fonction de la courbe rouge 2 est décroissante sur -∞;0 et décroissante sur 0;+∞donc sa dérivée doit être

négative sur - ∞;0et sur 0;+∞. De plus, 0 est une valeur interdite. C'est donc la courbe L qui correspond à la

dérivée de

La fonction de la courbe rouge 3 est croissante sur M-∞;0M et décroissante sur 0;+∞donc sa dérivée doit être

positive sur - ∞;0et négative sur 0;+∞. C'est donc la courbe N qui correspond à la dérivée de

La fonction de la courbe rouge 4 est donc associée à la courbe O par élimination.

Exercice 2

1) est un polynôme donc est dérivable sur ℝ et

%= 3 . Cette dérivée est bien évidemment positive sur ℝ donc est croissante sur ℝ.

2) est un polynôme donc est dérivable sur ℝ et

%= 3 - 3 = 3 - 1 Or - 1 est du signe de N = 1 sauf entre les racines = 1 et = -1. -∞ -1 1 +∞

Signe de % + 0 - 0 +

Variations de

N 3 -1

3) est un polynôme donc est dérivable sur ℝ et

%= -4- 4 = -4 + 1 + 1 est bien évidemment strictement positif donc % est du signe de -4. -∞ 0 +∞

Signe de % + 0 -

Variations de

5

4) est de la forme

P Q avec R: ↦ - 3 dérivable sur ℝ avec R%= 1 et S: ↦ - 1 dérivable et non nulle sur ℝ -(1) avec S %= 1 donc est dérivable sur ℝ -(1) et %=R %S- RS% S = - 1- - 3 - 1 =2 - 1

Cette expression est bien évidemment positive donc est croissante sur - ∞;1 et sur 1;+∞.

5) est de la forme

P Q avec R: ↦ 1 - dérivable sur ℝ et R%= -1 et S: ↦ dérivable et non nulle sur (0) avec S %= 2 donc est dérivable sur ℝ∗ et %=R %S- RS% S - 21 - - 2 + 2 - 2 = - 2 = - 2 -∞ 0 2 +∞

Signe de -2 - - 0 +

Signe de - 0 + +

Signe de % + 0 - 0 +

Variations de

-1 4

6) est de la forme P

Q avec R : ↦

- 3 + 6 dérivable sur ℝ avec R%= 2 - 3 et S : ↦ - 1 dérivable et no_1n nulle sur ℝ -(1) avec S %= 1 donc est dérivable sur (1) et %=R %S- RS%quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1