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Corrigé : Exercices de dérivation
(Première ES)Exercice 1 : (Utilisation des formules)
Dériver les fonctions suivantes en précisant le domaine de dérivabilité :1) f(x) = -5x + 2f est dérivable sur ℝ et f '(x) = - 5
2) g(x) = 2x2 - 4x + 3g est dérivable sur ℝ et g '(x) = 2(2x) - 4
= 4x - 43) h(x) = 6
xh est dérivable sur ℝ\{0} et h '(x) = -6 x2 15) j(x) = (3x + 2)2
= 9x2 + 12x + 4j est dérivable sur ℝ et j '(x) = 9×2x + 12 = 18x + 126) k(x) = 7x+1
x-3k est dérivable sur ℝ\{3}. On pose u(x) = 7x + 1 v(x) = x - 3 u '(x) = 7 et v '(x) = 1. On applique la formule (u v) ' = u'v-uv' v2D'où : k '(x) = 7(x-3)-(7x+1)
(x-3)2 = 7x-21-7x-1 (x-3)2 = -22 (x-3)27) l(x) = 5
x2+1l est dérivable sur ℝ . On pose : u(x) = 5 et v(x) = x2 + 1 u '(x) = 0 v '(x) = 2x . On applique la formule (u v) ' = u'v-uv' v2 l '(x) = -5×2x (x2+1)2 = -10x (x2+1)28) m(x) = 4x
u '(x) = 4 et v '(x) = 1 2D'où : m '(x) = 4
49) n(x) = 2
3x3 - 5
4x2 + 2n est dérivable sur ℝ et n '(x) = 2
3×3x2 - 5
4×2x = 2x 2 - 2,5x
10) o(x) =
9x x2+3o est dérivable sur ℝ. On pose u(x) = 9x et v(x) = x2 + 3 u '(x) = 9 et v '(x) = 2x.On utilise (u
v) ' = u'v-uv' v2 o '(x) = 9(x2+3)-2x(9x) (x2+3)2 = 9x2+27-18x2 (x2+3)2 = -9x2+27 (x2+3)2Exercice 2 : Tangente + Variations
Soit la fonction f définie par f(x) = 5x+9
3x-41)Ensemble de définition de f :
f est définie si et seulement si 3x - 4 ≠ 0Or, 3x - 4 = 0 si et seulement si x = 4
3Donc :
Df = ℝ\{4
3}2)f est dérivable sur Df . On pose u(x) = 5x + 9 et v(x) = 3x - 4
u '(x) = 5 et v '(x) = 3 . On utilise la formule : (u v) ' = u'v-uv' v2D'où : f '(x) =
5(3x-4)-3(5x+9)
(3x-4)2 = 15x-20-15x-27 (3x-4)2 = -47 (3x-4)23) L'équation réduite de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse - 1 :
(T-1) : y = f '(-1)(x - (-1)) + f(-1) (T-1) : y = -47 (3(-1)-4)2(x + 1) + 5×(-1)+93×(-1)-4
(T-1) : y = - 47 49x -47
49 +
4 -7Donc : (T-1) : y = - 47 49x -
75
49
4) Variations de f sur ]
43;+[ :
On sait que f '(x) = -47
(3x-4)2. - 47 < 0 et (3x - 4)2 > 0 sur ]43;+[
D'où : f '(x) < 0 sur ]4
3;+[ c'est-à-dire : f est strictement décroissante sur ]
43;+[
Tableau de variations de f sur ]
43;+[ :
x 43+ ∞
Signe de f '(x)-
Variations de f
Exercice 3 : Max ou Min
Soit la fonction g définie sur ℝ par g(x) = 4x3 - 5x2 + 11) Dérivée de g :
g est dérivable sur ℝ et g '(x) = 4(3x2) - 5(2x) = 12x 2 - 10x2) Signe de g ' :
g '(x) = 12x2 - 10x = 2x(6x - 5)2x > 0 alors x > 0 6x - 5 > 0 alors x > 5
6Etude du signe de la dérivée :
x- ∞ 056+ ∞
Signe de g'+0-0+
3) D'où les variations de g :
x- ∞ 056+ ∞
Signe de g '(x)+0-0+
Variations de g1
- 17 1084)g(5