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11 jan 2011 · La fonction dérivée Exercices Exercice I : Nombre dérivé 1) La courbe représentative f est donnée ci-dessous En chacun des points indiqués

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Continuité et dérivabilité - Exercices Continuité Exercice 1 Exercice 2 La fonction donnée ci dessous représente une fonction définie sur [0 ;4] 1 a http ://physique-et-maths Montrer que f est dérivable sur ℝ et calculer sa dérivée 4

Premi`ereSLa fonction dérivée

Exercices

Exercice I :

Nombre dérivé

1) La courbe représentati vefest donnée ci-dessous. En chacun des points indiqués, la courbe admet une tangente qui est tracée. Lire, en vous servant du quadrillage les nombres suivants :

f(4) ;f0(4) ;f(2) ;f0(2) ;f(6) etf0(6)2)La courbe représentati vegest donnée ci-dessous. En chacun des points indiqués, la

courbe admet une tangente qui est tracée. Lire, en vous servant du quadrillage les nombres suivants : g(2) ;g0(2) ;g(0) ;g0(0) ;g(1) etg0(1)paul milan1/911 jan vier2011 exercicesPremi`ereSExercice II : Pour les fonctions suivantes calculer la fonction dérivée en précisant les valeur pour lesquelles le calcul est valable.

1)f(x)=5x3+4x29x5

2)f(x)=12

x4+3x34x2+p3x+1

3)f(x)=px+x22

4)f(x)=(x2)px

5)f(x)=x3+12x14

6)f(x)=(7x2)2

7)f(x)=(px+1)2

8)f(x)=x+sinx

9)f(x)=xsinx

10)f(x)=4x

11)f(x)=23x5

12)f(x)=12xx213)f(x)=4x+7x

14)f(x)=2x22+x2

15)f(x)=1px

16)f(x)=25x3x4

17)f(x)=1(2x1)2

18)f(x)=x24x+82x5

19)f(x)=4x1+14x

20)f(x)=1x

2sinx

21)f(x)=1cosx

22)f(x)=px4

23)f(x)=(2x+3)4

Exercice III :

fetgsont les fonctions définies surRf1gpar : f(x)=3x2x+1etg(x)=5x+1 1) Déterminer les fonctions déri véesdes fonctions fetg. Que remarque t-on? 2) Calculer f(x)g(x). Justifier alors la remarque de la question 1)

Exercice IV :

fest la fonction définie surRf1gpar : f(x)=2x1+xetCfest sa courbe représentative 1) Déterminer lespointsdeCfenlesquelslatangenteàCfestparallèleàladroited"équa- tiony=4x. 2) Existe-t-il des tangentes à Cfpassant parO(0;0)?paul milan2/911 jan vier2011 exercicesPremi`ereSExercice V :

Tangente

Pour les fonctions suivantes déterminer une équation de la tangente à la courbeCfau point d"abscissea.

1)f(x)=x2+2x8;a=2

2)f(x)=x+312x;a=1

3)f(x)=x2+11x

2+1;a=1

Exercice VI :

1) la courbe Cfreprésentative de la fonctionfdéfinie par : f(x)=x33x2+3x+4 admet une tangente en chacun de ses points. Pourquoi? 2) a)

Résoudre l"équation f0(x)=0

b) Interpréter géométriquement le résultat. 3) Déterminer les abscisses des points de Cfen lesquels la tangente àCfa un coecient directeur égal à 3. 4) Existe-t-il des points de Cfen lesquels la tangente àCfest parallèle à la droite d"équa- tiony=cx+d(oùcetdsont deux réels)? Discuter en fonction dec.

Exercice VII :

Point de vue!

Sur la figure ci-dessous, "l"arc" de paraboleABCreprésente une colline, le sol est symbolisé par l"axe des abscisses. Un observateur est placé enEde coordonnée 2;114 dans le repère choisi. Le but de cet exercice est de déterminer les point de la colline et ceux du sol (au-delà de la colline) qui ne sont pas visibles de point d"observationE.paul milan3/911 jan vier2011 exercicesPremi`ereS1)On note fla fonction définie sur [1;3] parf(x)=ax2+bx+c. Déterminera,b,c pour que "l"arc"ABCsoit la représentation def. 2) a) Reproduire la figure et indiquer sur la figure les points de la colline et ceux du sol qui ne sont pas visible deE. b) F aireles calculs nécessaires pour trouv erles abscisses de ces points.

Exercice VIII :

Pour les fonctions suivantes, déterminer la fonction dérivée en précisant l"ensemble pour

lequel le calcul est valable. Déterminer ensuite le signe def0(x) suivant les valeurs dex.

1)f(x)=x4+x2+1

2)f(x)=2x43x3+12

3)f(x)=x2+x1x

2+x+1

4)f(x)=x2+3x+2x

25x+6

5)f(x)=x+12xx+3

6)f(x)=x2+2x+6x17)f(x)= x3x2!

8)f(x)=x2+12xx+3

9)f(x)=px1p3x

10)f(x)=x1x+3px

11)f(x)= x+3px1!

Exercice IX :

Cinématique

La cinématique est l"étude du mouvement : position, vitesse, accélération d"un solide en physique. Deux mobilesM1etM2sont sur l"axe des abscisses animé d"un mouvement dont les lois horaires (position en fonction du tempst) en fonctiontsont respectivement x

1(t)=2t2+t+4 etx2=t2+5t+8

1) Calculer l"instant auquel les deux mobiles se rencontrent. 2) Calculer les vitesses respecti vesde ces deux mobiles à cet instant. 3) En déduire si lors de la rencontre, les deux mobiles se croisent ou si l"un dépasse l"autre. Travail informatique :simuler(position et vitesse) des deux mobiles en fonction du temps avec "Géogébra". Par exemple ces deux moments àt=0 ett=1.paul milan4/911 jan vier2011 exercicesPremi`ereSExercice X : Pour les fonctions suivantes, étudier les variations sur leur ensemble de définition. On dressera le tableau de variation

1)f(x)=x3+3x24

2)f(x)=x3+3x2+9x4

3)f(x)=x44x2+5

4)f(x)=2x32x+4

5)f(x)=2xx

296)f(x)=2x+12x3

7)f(x)=3x1+x2

8)f(x)=1x1x1

9)f(x)=x2+2x+11x

22x3

10)f(x)=xpx+3

Exercice XI :

Reconnaître une courbe

La figure ci-contre est la représentation

graphiqueCfd"unefonctionfdérivablesur ]0;+1[

Parmi les trois courbes ci-dessous,

quelle est celle qui est susceptible de repré- senter la fonction dérivéef0def.Exercice XII :

On donne le tableau de variation de la fonctionfsuivant :1)Quel est l"ensemble de définition de f? Quel est celui def0?paul milan5/911 jan vier2011

exercicesPremi`ereS2)fpossède-t-elle des extremums locaux? 3)

Esquisser une courbe possible pour f.

2 est-il le maximum de f?

Exercice XIII :

Théorème des valeurs intermédiaires

1)fest la fonction définie par :f(x)=x33x2+4x1

Démontrer que l"équationf(x)=0 admet dans [0;1] une unique solution. Déterminer un encadrement à 10

3de cette solution.

2)fest la fonction définie par :f(x)=23

xpx2x+1 solution dans [7;8] . Déterminer un encadrement à 103de ces solutions. 3)

Soit la fonction fdéfinie par :f(x)=2x33x21

a) Etudier les v ariationde fet dresser son tableau de variation. b) En déduire que l"équation f(x)=0 admet une unique solutiondans ]1;2[ c) Démontrer que est l"unique solution de l"équationf(x)=0 surR

Exercice XIV :

Trouver une solution

On considère une fonctionfdont on ne connaît que quelques propriétés.

êfest définie sur l"ensembleDf=[2;1[[]1;+1[

êfest dérivable surDf.

êsurDfsa dérivée s"annule en2 et en 0.

êle signe de sa dérivée est donné par le tableau suivant :x21 0+1f

0(x)0+1)a) Donner les v ariationde f.

b) si 1Minimum 1) Etudier les v ariationsde la fonction fdéfinie par :f(x)=2x2+4x3 2) En déduire le minimum sur [ 2;2] de la fonctiongdéfinie par; g(x)=1x2+4x3

Exercice XVI :

Fonction auxiliaire

1) Démontrer que l"équation 2 x33x21=0 a une unique solutiondansRet que

1< <2.

2) Exploiter les résultats du 1) pour résoudre les questions sui vantes: a) Etudier les v ariationsde la fonction gdéfinie surRf1gpar : g(x)=1x1+x3 b) Etudier les positions des courbes CfetCgreprésentatives des fonctions suivantes définies respectivement surRetRpar : f(x)=x(x1) etg(x)=12 x+1x

Exercice XVII :

Fonction auxiliaire bis

1) Etudier les v ariationsde la fonction fdéfinie surRpar f(x)=6x33x2+12 x+24 2) a) Démontrer que l"équation f(x)=0 admet une unique solutionet que

2]2;1[

Déterminer un encadrement de à 103près.

3) En déduire les v ariationsde la fonction gdéfinie par : g(x)=32 x4x3+14 x2+24x10

Exercice XVIII :

Problème d"immersion

On dispose d"un récipient cylindrique de rayon 40 cm contenant de l"eau dont la hau- teur est 20 cm. On y plonge une bille sphérique de diamètred(en cm) et on constate que le niveau de l"eau est tangent à la bille. Le but de cet exercice est de calculer le diamètre dde la bille.paul milan7/911 jan vier2011 exercicesPremi`ereS1)Vérifier que dest solution du système

8>><>>:06d680

39 600d+192 000=0

2)fest la fonction sur [0;80] par :

f(x)=x396 000x+192 000 a)

Etudier les v ariationsde f

b) Démontrer que l"équation f(x)=0 a une solution unique sur [0;80]. c)

Déterminer un encadrement d"amplitude 10

2ded.

Exercice XIX :

Optimisation

1) Un stade olympique a la forme d"un rectangle a vecdeux demi-cercles aux e xtrémités. La longueur de la piste intérieur est imposée et mesure 400 m. Quelle dimensions doit-on donner au stade pour que la surface rectangulaire hachurée soit maximale?2)Le problème de l"éditeur Un éditeur doit produire un livre avec les contraintes suivantes : sur chaque page le texte imprimé doit être contenu dans un rectangle de 300 cm

2, les marges doivent

mesurer 1,5 cm sur les bords horizontaux et de 2 cm sur les bords verticaux. Quelles doivent être les dimensions d"une page pour que la consommation de papier soit minimale?

3)CasserolePourquoi la hauteur d"une casserole est approximativement égale à son

rayon quelque soit sa contenance?paul milan8/911 jan vier2011

exercicesPremi`ereSPour répondre à cette question, on se propose de résoudre le problème suivant :

Comment fabriquer une casserole de volume v donné avec le moins de matière pos- sible? On suppose que le prix de revient du manche ne dépend pas des dimension de la casserole. L"unité est le centimètre. On notexle rayon du cercle du fond,hla hauteur etSl"aire totale égale à l"aire latérale plus l"aire du fond. a)

Exprimer hen fonction devetx

Exprimer Sen fonction devet dex.

c) Étudier sur ]0; +1[ les variations de la fonctionfdéfinie parf(x)=x2+2vx d)

En déduire la réponse à la question

4)cylindre inscrit dans une sphère

Dans une sphère de rayonR, on inscrit un cylindre de hauteurh. Les deux bases du

cylindre sont des cercles de la sphère de rayonr.Pour quelle valeur dehle volume est-il maximal?paul milan9/911 jan vier2011

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