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Exercice 2

Corrigé

BACCALAUR´EAT G´EN´ERAL

SESSION 2016

MATH´EMATIQUES - S´erie ES

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

Dur´ee de l"´epreuve : 3 heures Coefficient : 5

MATH´EMATIQUES - S´erie L

ENSEIGNEMENT DE SP

´ECIALIT´E

Dur´ee de l"´epreuve : 3 heures Coefficient : 4 Les calculatrices ´electroniques de poche sont autoris´ees, conform´ement `a la r´eglementation en vigueur.

Le sujet est compos´e de 4 exercices ind´ependants. Le candidat doit traiter tous les exercices.

Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un r´esultat pr´ec´edemmentdonn´e dans le texte

pour aborder les questions suivantes.

Le candidat est invit´e `a faire figurer sur la copie toute trace de recherche, mˆeme incompl`ete ou

non fructueuse, qu"il aura d´evelopp´ee.

Il est rappel´e que la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements seront

prises en compte dans l"appr´eciation des copies. Avant de composer, le candidat s"assurera que le sujet comporte bien 7 pages num´erot´ees de 1/7 `a 7/7 .

16MAELPO1page 1/7

EXERCICE 2 (7 points)Une entreprise s"int´eresse au nombre d"´ecrans 3D qu"ellea vendus depuis 2010 :

Ann´ee201020112012

Nombre d"´ecrans 3D vendus0500011000

Le nombre d"´ecrans 3D vendus par l"entreprise l"ann´ee(2010+n)est mod´elis´e par une suite(un),

arithm´etico-g´eom´etrique, de premier termeu0=0.

On rappelle qu"une suite arithm´etico-g´eom´etrique v´erifie, pour tout entier natureln, une relation

de r´ecurrence de la formeun+1=a×un+bo`uaetbsont deux r´eels.

1.(a)En supposant queu1=5000, d´eterminer la valeur deb.

(b)En supposant de plus queu2=11000, montrer que pour tout entier natureln, on a : u n+1=1,2×un+5000.

2.(a)Calculeru3etu4.

(b)En 2013 et 2014, l"entreprise a vendu respectivement 18000 et 27000 ´ecrans 3D.

La mod´elisation semble-t-elle pertinente?

Dans toute la suite, on fait l"hypoth`ese que le mod`ele est une bonne estimation du nombre d"´ecrans 3D que l"entreprise va vendre jusqu"en 2022.

3. On consid`ere la suite(vn)d´efinie pour tout entier naturelnpar :

v n=un+25000. (a)D´emontrer que la suite(vn)est une suite g´eom´etrique de raison 1,2.

Pr´eciser la valeur de son premier termev0.

(b)Montrer que pour tout entier natureln,un=25000×1,2n-25000.

16MAELPO1page 4/7

4. On souhaite connaˆıtre la premi`ere ann´ee pour laquelle le nombre de ventes d"´ecrans 3D

d´epassera 180000 unit´es.

(a)Prouver que r´esoudre l"in´equationun>180000 revient `a r´esoudre l"in´equation 1,2n>8,2.

(b)Recopier et compl´eter l"algorithme ci-dessous pour qu"ild´etermine et affiche le plus petit

entier natureln, solution de l"in´equation 1,2n>8,2.

Variables :Nest un entier naturel

West un nombre r´eel

Initialisation :Nprend la valeur 0

Wprend la valeur...

Traitement :Tant que............

Wprend la valeurW×1,2

Fin du Tant que

Sortie :Afficher...

(c)D´eterminer cet entier natureln.

3D. Combien d"´ecrans 3D peut-elle pr´evoir de vendre en 2025?

16MAELPO1page 5/7

1 alainpiller. fr 1. a. En supposant que U 1 = 5

000, déterminons b:

D'après l'énoncé, nous savons que:

U n 1 = a x U n + b U 0 = 0 U 1 = 5 000.

Ainsi: U

1 = 5

000 <=> 5 000 = a x U

0 + b <=> 5 000 = a x 0 + b => b = 5 000.

Au total: U

n 1 = a x U n + 5 000. 1. b. Montrons que, pour tout entier naturel n, a = 1, 2:

A présent, nous savons que:

U n 1 = a x U n + 5 000 U 1 = 5 000 U 2 = 11 000.

Ainsi: U

2 = a x U 1 + 5

000 <=> 11 000 = a x 5 000 + 5 000

=> a = 1, 2 .

Au total, nous avons bien: U

n 1 = 1, 2 x U n + 5 000.

EXERCICE 2

[ Polynésie 2016 ] 2 alainpiller. fr 2. a. Calculons U 3 et U 4

Il s'agit de calculer U

3 U 3 = 1, 2 x U 2 + 5 000 U 3 = 18

200 écrans 3D.

Il s'agit de calculer U

4 U 4 = 1, 2 x U 3 + 5 000 U 4 = 26

840 écrans 3D.

2. b.

La modélisation semble-t-elle pertinente

En 2013, l'entreprise a vendu 18 000 écrans 3D. Or, pour 2013, le modèle nous donne 18 200 écrans 3D. Donc, à 200 écrans près, oui la modélisation est pertinente. En 2014, l'entreprise a vendu 27 000 écrans 3D. Or, pour 2014, le modèle nous donne 26 840 écrans 3D. Donc, à 160 écrans près, oui la modélisation est pertinente. 3. a.

Montrons que (

V n ) est géométrique et déterminons V 0 et q: V n = U n + 25 000 V n 1 = U n 1 + 25 000 <=> V n 1

1, 2 x U

quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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Exercice 2

Corrigé

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SESSION 2016

MATH´EMATIQUES - S´erie ES

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

MATH´EMATIQUES - S´erie L

ENSEIGNEMENT DE SP

´ECIALIT´E

16MAELPO1page 1/7

Ann´ee201020112012

Nombre d"´ecrans 3D vendus0500011000

1.(a)En supposant queu1=5000, d´eterminer la valeur deb.

2.(a)Calculeru3etu4.

La mod´elisation semble-t-elle pertinente?

3. On consid`ere la suite(vn)d´efinie pour tout entier naturelnpar :

Pr´eciser la valeur de son premier termev0.

16MAELPO1page 4/7

4. On souhaite connaˆıtre la premi`ere ann´ee pour laquelle le nombre de ventes d"´ecrans 3D

Variables :Nest un entier naturel

West un nombre r´eel

Initialisation :Nprend la valeur 0

Wprend la valeur...

Traitement :Tant que............

Wprend la valeurW×1,2

Fin du Tant que

Sortie :Afficher...

3D. Combien d"´ecrans 3D peut-elle pr´evoir de vendre en 2025?

16MAELPO1page 5/7

000, déterminons b:

D'après l'énoncé, nous savons que:

Ainsi: U

000 <=> 5 000 = a x U

Au total: U

A présent, nous savons que:

Ainsi: U

000 <=> 11 000 = a x 5 000 + 5 000

Au total, nous avons bien: U

EXERCICE 2

Il s'agit de calculer U

200 écrans 3D.

Il s'agit de calculer U

840 écrans 3D.

La modélisation semble-t-elle pertinente

Montrons que (

1, 2 x U