CORRIGE DES EXERCICES : Estimation ponctuelle et estimation par intervalle 3) Echantillon de taille n=1 000 de X issu de P avec une fréquence (proportion )
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U.F.R. S.P.S.E.UNIVERSITE PARIS X NANTERRE
Licence de psychologie L3
PLPSTA02 Bases de la statistique inférentielle
CORRIGE DES EXERCICES : Estimation ponctuelle et estimation par intervalleExercice 1
P={étudiants}
X= résultat au test de QI, variable quantitative de moyenne inconnue et d'écart-type =13 connu dans
PEchantillon de X issu de P de taille n=30 sur lequel on observe 111x qui est l'estimation ponctuelle de la moyenne
inconnue .1) X suit une loi
N(, =13) donc quel que soit n,
nX suit une loi normale
n13 n,µ N; pour n=303723013
n, - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% (au risque =5%) de dans P s'écrit :97509750
95,;,,,,
où z 1(/2) = z 0,975 = 1,96 est le quantile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1).l'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% du résultat moyen des étudiants est d'environ 106,3 à 115,7 ; la
précision (ou marge d'erreur) de l'estimation à 95% est d'environ 4,7. - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 90% (au risque =10%) de dansP s'écrit :
95095090
où z 1(/2) = z 0,95 =1,645 est le quantile d'ordre 0,95 de la loi N(0,1).l'estimation par intervalle de confiance au niveau 90% du résultat moyen des étudiants est d'environ 107,1 à 114,9 ; la
précision (ou marge d'erreur) de l'estimation à 90% est d'environ 3,9. - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 99% (au risque =1%) de dansP s'écrit :
9950995099
où z 1(/2) = z 0,995 = 2,575 est le quantile d'ordre 0,995 de la loi N(0,1).l'estimation par intervalle de confiance au niveau 99% du résultat moyen des étudiants est d'environ 104,9 à 117,1 ; la
précision (ou marge d'erreur) de l'estimation à 99% est d'environ 6,1. remarque : IC99% () contient IC 95%() qui contient IC 90%
2) Pour n=50 83815013
n,: - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% (au risque =5%) de dansP s'écrit :
>@>@>@611441076311183819611115013z111IC975095
,% où z 1(/2) = z 0,975 = 1,96 est le quantile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1). - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 90% (au risque =10%) de dansP s'écrit :
>@>@>@1141083111838164511115013z111IC 95090où z 1(/2) = z0,95 =1,645 est le quantile d'ordre 0,95 de la loi N(0,1). - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 99% (au risque =1%) de dans
P s'écrit :
>@>@>@7115310674111838157521115013z111IC995099
où z 1(/2) = z 0,995 = 2,575 est le quantile d'ordre 0,995 de la loi N(0,1).2 Pour n=100
3110013
n,: - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% (au risque =5%) de dansP s'écrit :
>@>@>@51135108521113196111110013z111IC975095
où z 1(/2) = z 0,975 = 1,96 est le quantile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1). - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 90% (au risque =10%) de dansP s'écrit :
>@>@>@111391081211131645111110013z111IC 95090où z 1(/2) = z 0,95 =1,645 est le quantile d'ordre 0,95 de la loi N(0,1). - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 99% (au risque =1%) de dans
P s'écrit :
>@>@>@311471073311131575211110013z111IC995099
où z 1(/2) = z 0,995 = 2,575 est le quantile d'ordre 0,995 de la loi N(0,1).remarque : plus la taille n augmente plus les intervalles de confiance pour un même niveau de confiance sont étroits
(meilleure précision).3) La demi-longueur de l'intervalle IC
95%(), correspondant à la marge d'erreur dans l'estimation du résultat moyen à 95%,
est de 2,5 pour un échantillon de taille n=100 ; pour obtenir une marge d'erreur (demi-longueur) plus faible, égale à 1, il
faudra augmenter la taille de l'échantillon n. Pour n inconnu, =13 et =5% connus, la demi-longueur de l'intervalle
IC 95%() s'écrit : n1396,1nz 975,0
on cherche n tel que : 1n1396,1 c'est à dire n1396,1 d'où 23,6491396,1n 2
on choisira donc une taille d'échantillon au moins égale à 650 pour que demi-longueur de l'intervalle de confiance à
95% (la marge d'erreur dans l'estimation du résultat moyen à 95%) soit inférieure à 1.
Exercice 2
P={enfants fréquentant la maternelle}
X= score au test de Pensée Créative de Torrance, variable quantitative de moyenne et d'écart-type inconnus dans
PEchantillon de X issu de P de taille n=30
1) L'estimation ponctuelle du score moyen est donnée par la moyenne observée
32130639x,
le score moyen des enfants de maternelle est estimé à 21,3 (points de score).2) L'estimation ponctuelle sans biais de la variance ² est donnée par la variance observée sans biais :
25372931080
293213069114s
22(autre calcul : 01363213069114s 22
,, et 253701360341s2930s 22
l'estimation ponctuelle sans biais de l'écart-type est donnée par l'écart-type observé sans biais
162537s,,*
la variance du score des enfants de maternelle est estimée à 37,25 et son écart-type à 6,1 (points de score).
3) La loi de X étant quelconque et n=3030,
nX suit approximativement une loi normale
n ,N et est estimé par s*. L'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% (au risque =5%) de dansP s'écrit :
>@>@5231191823213016961321nszxIC975095
où z 1(/2) = z 0,975 = 1,96 est le quantile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1).l'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% du score moyen des enfants de maternelle est d'environ 19,1 à
23,5 (points de score) ; la précision (ou marge d'erreur) de l'estimation à 95% est d'environ 2,2 (points de score).
3Exercice 3
P={individus âgés de 20 à 30 ans}
X= temps nécessaire pour reproduire 16 modèles (mesuré en secondes), variable quantitative de moyenne et d'écart-type
inconnus dans PEchantillon de X issu de P de taille n=60
1) L'estimation ponctuelle du temps moyen est donnée par la moyenne observée
94006005624x, secondes
le temps moyen des individus âgés de 20 à 30 ans est estimé à 400,9 secondes.2) L'estimation ponctuelle sans biais de la variance ² est donnée par la variance observée sans biais :
5345105994006063225310s
22(autre calcul : 061731094006063225310s 22
,, et 534510061731001691s5960s 22
l'estimation ponctuelle sans biais de l'écart-type est donnée par l'écart-type observé sans biais
7101534510s,,*
secondesla variance du temps des individus âgés de 20 à 30 ans est estimée à 10 345,5 et son écart-type à 101,7 secondes.
3) Estimation par intervalle de confiance au niveau 1 ou au risque du temps moyen dans
P :La loi de X étant quelconque et n=6030,
nX suit approximativement une loi normale
n ,N et inconnu est estimé par s* d'où : ur| r r|PDDDD1313z9400607101z9400nszxIC
2121211
- Pour 1 = 90% =10% z 1(/2) = z 0,95 = 1,645 quantile d'ordre 0,95 de la loi N(0,1) >@>@54223379621940060710164519400IC 90- Pour 1 = 95% =5% z 1(/2) = z 0,975 = 1,96 quantile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1) >@>@6426237572594006071019619400IC 95
- Pour 1 = 99% =1% z 1(/2) = z 0,995 = 2,575 quantile d'ordre 0,995 de la loi N(0,1) >@>@74341367833940060710157529400IC 99
remarque : IC 99%
() contient IC 95%
() qui contient IC 90%
Exercice 4
P={étudiants d'une promotion} X= temps de mémorisation d'un texte (mesuré en mn), variable quantitative de moyenne
et d'écart-type inconnus dans P Echantillon de X issu de P de taille n=37 pour lequel 25x et s=5