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Chapitre 14
NOMBRES RÉELS
Enoncé des exercices
1Les basiques
Exercice 14.3Soitf(x) =x
2+ 2x+ 1
x2+ 2x+ 4déterminersupRfetinfRf. Exercice 14.5Soientxetydes réels, montrer que : Exercice 14.6Montrer que pourn≥1etx1,x2,···,xndes réels positifs on a n? k=1 (1 +xk)≥1 + n? k=1 xk En déduire que pourn≥1eta1,a2,···,andes réels supérieurs à1,on a n+ n? k=1 ak≥1 + n? k=1 akExercice 14.7Soitnun entier non nul, donner une formule simple (utilisant la fonction partie entière) pour déter-
miner le nombre de chiffres den. Comment obtenir le premier chiffre et le dernier chiffre den(en utilisant la partie entière).Exercice 14.8Calculer, pour(m,n)?Z2,E?n+m2?
+E?n-m+ 12? Exercice 14.9Montrer que pourxréel etn≥1,on aE?E(nx)n? =E(x)2. LES TECHNIQUESCHAPITRE 14. NOMBRES RÉELS
Exercice 14.10Soit la fonctionfdéfinie par
f(x) =E(2x)-2E(x)Calculerf(x)pourx??
0,1 2? puis pourx??12,1?Exercice 14.11
1. Soitx?R, calculerE(x) +E(-x).
2. Soit
p qune fraction irréductible avecq >0,montrer que q-1? k=1 E? kpq? =(p-1)(q-1)2On pourra utiliser le fait que sia
1,···,an-1sontn-1réels alors?n-1
k=1ak=?n-1 k=1an-k. Exercice 14.12Soita?Rque dire de la parité de l"entierE? a+12? +E? a-12?Exercice 14.13Montrer que?x?R,E?x+1
2 ?+E(x+ 1) +E?2x+1 2 ?=E(4x+ 1). Exercice 14.14Montrer les résultats suivants (qui sont dans le cours, sanspreuve)1. Soitx?RalorsE(x+ 1) =E(x) + 1.
2. Soient(x,y)?R
Exercice 14.15Soitx?RcomparerE(x)etE(-x).
x=E(x) +aety=E(y) +b, en précisant dans quel(s) intervalle(s) se trouventaetb.Exercice 14.18RésoudreE(2x+ 3) =E(x+ 2)(Indication, à l"aide de la caractérisation de la partie entière,
déterminer un intervalle dans lequel se trouve les solutions, puis étudier les deux fonctionsx?-→E(2x) + 1et
x?-→E(x)).2Les techniques
Exercice 14.19Montrer que
3?2 +⎷5-
3?-2 +⎷5 = 1
Exercice 14.20Montrer que(n!)2=
n? k=1 k(n-k+ 1).En déduire que sin≥1, on a⎷
Exercice 14.21Soitnun entier supérieur ou égal à3.1. Montrer que?k? ?2,...,n?,1
2. En déduire que?k? ?2,...,n?,C
kn -2/23-G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009CHAPITRE 14. NOMBRES RÉELS3. LES EXOTIQUES
3. Etablir alors que?n?N?,?
1 +1n?
nExercice 14.22Montrer que?x?R,?n?N?,
n-1? k=0 E?x+k n ?=E(nx) Exercice 14.23On définit la fonctiong:R→Rpar?x?R,g(x) =|x|1 +|x|, montrer que Exercice 14.24SoitAune partie non vide et bornée deR, montrer quesup (x,y)?A2|x-y|= supA-infA.Exercice 14.25RésoudrexE(x) =x2-E(x)2.
Exercice 14.26Montrer que pour toutn?N,n≥3, on aE?n(n+ 1)2(2n-1)? =E?n+ 14?3Les exotiques
Exercice 14.27Soienta=11···1211···13etb=11···1411···15où le nombre de1est égal à2002,compareraetb
Calculernen fonction dek.
Exercice 14.29Soienta,b,ctrois réels de[0,1], montrer que l"un des trois réelsa(1-b), b(1-c), c(1-a)est
inférieur ou ègal à 1 4. Exercice 14.30Montrer que six >1etx?R\Qalors pourn≥1,E?E(nx)x? =n-1 Exercice 14.31On considère la suite1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6.... Donner une formule simple pour calculer le énième terme. (Indication, on noteu nle énième terme de la suite. Soitk?N?donné, on posef(k)le premier rang pour lequel u f(k)=k(et doncuf(k)-1=k-1). Calculerf(k)puis chercher une CNS surnpour queun=k)Exercice 14.32Soienta < bdeux entiers tels que si les réelsxetysont dans l"intervalle[a,b]alors1x+1yy est
également. Détermineraetb.
Exercice 14.33 (Olympiades Panafricaines 2005)Soitx?R, on définit{x}=x-E(x), résoudreE(x){x}=2005x.
Exercice 14.34Calculer la somme
n2? k=1E?⎷k?
(pour mémoire, n-1? i=1 i2=n(2n-1)(n-1)6).Exercice 14.35Résoudre l"équation
E ?x+ 1 3? +E?x+ 23? =E?x+ 12? +x-12Exercice 14.36ComparerE??E(x)?
etE(⎷x)pourx≥0. -3/23-G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009
4. LES OLYMPIQUESCHAPITRE 14. NOMBRES RÉELS
Exercice 14.37On considère la suite(un)n?Ndéfinie parun=?1 +?1 +1n?
2 +?1 +? 1-1n? 2 oùn≥1.Calculer n? k=1 1 uk.4Les olympiques
Exercice 14.38Montrer l"égalité
3?2000 + 1998 +⎷19980005 +
3?2000 + 1998-⎷19980005 =
3⎷1999
où3⎷xdésigne l"unique réel dont le cube vautx.
Exercice 14.39Soienta,b,ctrois réels compris entre0et1, montrer que aDiscuter le cas d"égalité.
Exercice posé dans la revue Tangenten
◦69.Exercice 14.40 (Olympiades des pays Baltes (Baltic Way) 1995)Soienta,b,cetdquatre réels strictement
positifs, montrer que a+c a+b+b+db+c+c+ac+d+d+bd+a≥4Exercice 14.41 (The 1991 Asian Pacific Mathematical Olympiad)Soienta1,...,anetb1,...,bn2nréels stric-
tement positifs tels quea1+a2+···+an=b1+···+bn, montrer que
a 2 1 a1+b1+a 2 2 a2+b2+···+a 2 n an+bn≥a1+a2+···+an 2Exercice 14.42 (Olympiades Austro-polonaise 1996)Les nombres réelsx,y,zettvérifientx+y+z+t= 0et
x2+y2+z2+t2= 1.
Exercice 14.43 (Baltic Way 1995)Soienta,b,ctrois réels tels que|a| ≥ |b+c|,|b| ≥ |a+c|et|c| ≥ |a+b|.
Montrer quea+b+c= 0.
Exercice 14.44 (Baltic Way 1997)Soientx1,...,xndes réels, on notealeur moyenne arithmétique, montrer que
(xExercice 14.45 (Olympiades polonaises 1995)Soienta,b,c,dquatre nombres irrationnels positifs tels quea+b=
1. Montrer quec+d= 1?? ?n?N,E(na) +E(nb) =E(nc) +E(nd) Exercice 14.46Démontrez qu"il existe un unique réelatel que ?n?N ?,E(aE(na))-E(na) =n-1 On pourra utiliser l"exercice "les exotiques" 14.30. -4/23-G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009
CHAPITRE 14. NOMBRES RÉELS5. LE GRENIER
Exercice 14.47 (Olympiades ex URSS)Montrer que pourn≥2,on a E n?+E?2⎷n?+···+E?n⎷n?=E(log2n) +E(log3n) +···+E(lognn)Exercice 14.48 (Adapté du Putnam 2007)
1. Soitk?N?,montrer que pour tout entiern?N, on a
k-1? i=0 E?n k? -n-ik? = 02. En déduire qu"il existe des polynômesP
0(X),···,Pk-1(X)(qui dépendent dek) tels que pour tout entiern
dansN E?n k? k=P0(n) +E?nk?P1(n) +···+E?nk?
k-1Pk-1(n)Les déterminer pourk= 2.
5Le grenier
Exercice 14.49RésoudreE(⎷x) =E?x2?
-5/23-G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009
5. LE GRENIERCHAPITRE 14. NOMBRES RÉELS
-6/23-G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009Chapitre 8
NOMBRES RÉELS
Solution des exercices
1Les basiques
Exercice 8.1n! =
n? k=1 k= n? k=2 n? k=2Exercice 8.2f(x) =x(2n-x)est un trinôme du second degré a coefficient dominant positif,il est maximal lorsque
fRemarque :Retenir que le produit de deux nombres dont la somme est constante est maximal quand ces deux nombres
sont égaux.Ensuite sin≥2,on peut écrire
(2n!) = 1×2× ··· ×2n= 2n×[(2n-1)×1]×[(2n-2)×2]× ··· ×[(2n-(n-1))×(n-1)]×n
2n-2×n= 2n2n. L"inégalité est encore vraie sin= 0oun= 1.
Exercice 8.3f(x) =x
2+ 2x+ 2
Montrons quesup
Rf= 1. En effet1est bien un majorant def,et siε >0, on peut trouverxtel que1-ε < 1-3 x2+ 2x+ 4. Il suffit de prendrextel quex2+ 2x+ 4≥1εce qui est vrai dès quex >12εcarx
2+ 2x+ 4≥2x.
Déterminonsinf
Rf. Pour cela on minore1-2x2+ 2x+ 4,on majore donc1x2+ 2x+ 4,ce qui en définitive revient à minorerx2+2x+4 = (x+ 1)2+3. En conclusionf(x)≥1-23=f(-1) =13. On a doncminRf=f(-1) =13= infRf.
Exercice 8.4
les deux inégalités, on a le double du résultat demandé.2. On a(1 +|x-1|)(1 +|y-1|) =|x-1|+|y-1|+|x-1||y-1|+ 1.Il s"agit donc de prouver que
Ce qui s"écrit
ou encoreOr la seconde inégalité triangulaire donne
1. LES BASIQUESCHAPITRE 8. NOMBRES RÉELS
aveca=xy-1, b=x+y-xy-1,on aa+b=xy-1 +x+y-xy-1 = (x-1) + (y-1)d"oùExercice 8.5
n? k=1 (1 +xk) = (1 +x1)(1 +x2)···(1 +xn) = 1 + (x1+x2+···+xn) + (x1x2+x1x3+···) + (x1x2x3+···) +···= 1 +
n? k=1 xk+ (···) >0. En utilisant ce qui vient d"être prouvé, on a n? k=1 ak= n? k=1 (1 + (ak-1)????) =xk ≥1 + n? k=1 (ak-1) = 1-n+ n? k=1 ak. Exercice 8.6Sikest le nombre de chiffre den?N?, alors 10Par définition, on ak=E?
ln(n) ln(10) + 1. Pour le dernier chiffre : sin=a+ 10boùaest le dernier chiffre, alorsb=E? n 10 ?eta=n-10×E?n 10Pour le premier chiffre, sinàk=E?
ln(n) ln(10) + 1chiffres alors le premier chiffre estE? n10k+1?=E?
n10E(ln(n)
ln(10))?Exercice 8.7Si on examine quelques cas particuliers (le faire), on conjecture que le résultat vautn.
On sépare en deux cas, suivant la parité dem+n.