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n'est pas un nombre rationnel Allez à : Exercice 7 : Correction exercice 8 : 2 = (√7 + 4√3 + √7 

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Nombres réels Bernard Ycart Vous savez déjà compter, et vous connaissez les propriétés des réels Une seule 2 5 Corrigé du devoir forcément des nombres décimaux, donc rationnels, que l'on manipule Pourtant l'en- que A:B = R+∗ Exercice 2 : Dans tout l'exercice, x ∈ R+ \ Q désigne un irrationnel positif 1

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Exercices – Chapitre 1: Les nombres réels ♢ Exercice corrigé - ♥ A savoir refaire Ordre sur Soit a et b deux réels strictement positifs On pose a b m 2 +

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Exercice 14 28 Soit un = n(2n + 1), et k ∈ N, montrer qu'il existe un unique entier n tel que un ≤ k < un+1 Calculer n en fonction de k Exercice 14 29 Soient a, b, c  

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Feuille d'exercices : Nombres réels MPSI-Maths Exercice 1 Montrer que : √2 2) Soit n ∈ N et (xi)0≤i≤n une famille de réels tous dans l'intervalle [0, 1]

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7 fév 2016 · 1 4 Propriétés caractéristiques de lrensemble des nombres réels 37 1 4 1 Propriété Exercice 1 4 : Soit E - R une partie majorée et non vide montrez que : M( φ sup (E) φ3 - a) ;x 7 E Corrigé Exercice N"1 Remarquons 

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7 Corrigé des exercices 69 pour les exercices de TD Théor`eme 1 2 1 Un nombre réel est rationnel si et seulement si son développement décimal est

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Or, par définition, sup(A) est le plus petit des majorants de A donc sup(A) ≤ sup( B) Exercice 7: Soient A et B deux parties non vides et majorées de R Puisque A  

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Nombres réels 1 Points importants 3 Questions de cours 6 Exercices corrigés 2 Plan du c) Si A est dense dans R alors tout réel est limite d'une suite de A 2 

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Feuilled'exercices:

Nombresr´eels

MPSI-Maths.

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Exercice

1.Montrerque:p

2+p 3=2Q.

Exercice

2.Soit(x;y)2R

2 .Montrerque:

1)jxj+jyjjx+yj+jxyj.

2)1+jxy1j(1+jx1j)(1+jy1j).

Exercice

3.InegalitedeCauchy-Schwarz.

Soitn2N

;x 1 ;x 2 ;::::;x n ;y 1 ;y 2 ;:::::;y n desnombresreels. n X i=1 x i y i 2 n X i=1 x 2 i n X i=1 y 2i

Indication:Ecrire

n X i=1 (tx i +y i 2 souslaformeat 2 +bt+c,etudier

2)Endeduirel'inegaliteditedeHolder:

n X i=1 (x i +y i 2 12 n X i=1 x 2 i 12 n X i=1 y 2i 12

Indication:Ecrire

n X i=1 (x i +y i 2 n X i=1 x i (x i +y i n X i=1 y i (x i +y i

Exercice

4.Inegalitearithmico-geometrique.

lapropriete suivante:8(x i 1in 2R n n X i=1 x i n=) n Yi=1 x i 1

1)Verierleresultatpourn=1.

soit(x i 1in+1 2R n+1+ telque n+1X i=1 x i n+1. a)Montrerque:9i2[j1;n+1j]telquex i 1.

Onprendi=n+1,quitteachangerlesindices..

y i =n n+1x n+1 x i ou1in,puisendeduireque: n+1Yi=1 x i x n+1 n+1x n+1 n n c)Etudiersur[0;1],lafonctionf(t)=tn+1t n n d)Conclure.

3)Endeduireque

n p x 1 :::x n x 1 +:::+x n n.

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Exercice

5.Soit(a;b)2R

2 telque:8">0onait:aMontrerque:ab. repondre\onfaittendre"verszero".

Exercice

6.Principedespigeoniers.

1)Enoncerlelemmedestiroirs.

2)Soitn2Net(x

i 0in unefamilledereelstousdansl'intervalle [0;1].Montrerque:9(i;j)2[0;1] 2 telquei6=jetjx i x j j1 n.

3)Soit(x;n)2RN

.Montrerque:

9(p;q)2N[j1;nj]telque

xp q 1 q 2

Indication:Prendrex

i =ixE(ix)aveci2[j0;nj].

Exercice

7.Manipulationdessommes.

Soitn2N

et(a i 1in ;(b i 1im deuxfamillesdereels.

1)Demontrerque:

n X i=1 a i n X i=1 b i =n n X i=1 a i b i X 1j2)Endeduireque: a)Silesdeuxsuitessontcroissantes,alors: n X i=1 a i n X i=1 b i n n X i=1 a i b i alors n X i=1 a i n X i=1 b i n n X i=1 a i b i

Exercice

8.Operationssurlesmaxetmin.

1)OnsupposeAB,montrerque:sup(A)sup(B)

inf(A)inf(B).

2)OnsupposeA\B6=;,montrerque:

sup(A[B)=maxfsup(A);sup(B)g; sup(A\B)minfsup(A);sup(B)g inf(A[B)=minfinf(A);inf(B)g inf(A\B)maxfinf(A);inf(B)g a2A;b2B.Montrerquesup(A+B)=sup(A)+sup(B) inf(A+B)=inf(A)+inf(B).

Montrerque:sup(A)=inf(A)

inf(A)=sup(A). a2A;b2B.Montrerque:sup(AB)=sup(A)inf(B) inf(AB)=inf(A)sup(B). a2A;b2B.

OnsupposeAR

;BR ,montrerque: sup(AB)=sup(A)sup(B)quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25