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Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

Fiche exercices

EXERCICE 1

✔Développer et réduire les expressions suivantes (On peut vérifier les résultats en utilisant le logiciel géogébra par exemple) ✔Factoriser les polynômes suivants : (On peut vérifier les résultats en utilisant le logiciel géogébra par exemple) ✔Transformation du polynôme du 2ième degré ◦Px=-3x25x-2 puis résoudre

Px=0

EXERCICE 2

f : RR xfx=-x23✔Étudier les variations de f dans R ✔Dresser le tableau des variations de f ✔Construire la courbe représentative de f sur [-3;3] dans un repère orthogonal. ✔Résoudre graphiquement les équations suivantes : fx=-1◦fx=0 Déterminer ensuite graphiquement le signe de fx

EXERCICE 3

Résoudre dans R, le système d'inéquation.

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

EXERCICE 4

f : RR xfx=-1

4x2-x1

✔Montrer que f admet un maximum pour x = -2 ✔Déterminer les variations de f sur R ✔Construire la courbe représentative de f sur [-6;4] dans le repère orthogonal

EXERCICE 5

✔Développer et réduire les expressions suivantes (On peut vérifier les résultats en utilisant le logiciel géogébra par exemple) ✔Factoriser les polynômes suivants : (On peut vérifier les résultats en utilisant le logiciel géogébra par exemple) ✔Résoudre dans R l'équation ◦2x2-5x-7=0

EXERCICE 6

✔Développer et réduire le polynôme

Px=1

2x-12-3✔Déterminer les variations de f définie par :

f : RR xfx=1

2x2-x-5

2Dresser le tableau de variations de f

✔Construire la courbe représentative de f sur [-3;5] dans un repère orthogonal. ✔Déterminer graphiquement le signe de fx sur l'intervalle [-3;5]

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

EXERCICE 7

EXERCICE 8

ABC est un triangle rectangle isocèle en A.

On choisit la longueur AB pour unité de longueur, c'est à dire AB = AC = 1 Pour x∈[0;1] on considère le point E de [AB] tel que BE=xF est le point d'intersection de la parallèle à (AC) passant par E et de la droite (BC). ✔Réaliser la figure ✔Calculer la valeur maximale de l'aire du triangle EAF (justifier le résultat).

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

CORRECTION

EXERCICE 1

Développer :

B=-30x106x2-2x-13x226

C=-612x218x-24x2-2736x

C=-12x254x-33Factoriser

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

C=5-7x13x-4

Transformation du polynôme du 2ième degré ✔Px=-3x25x-2

Px=-3[x2-5

3x2

3]x2-5

3x25

36=x-5

6

2Px=-3[x-5

62

-25

362

3]

Px=-3[x-5

62

-25

3624

36]

Px=-3[x-5

62

-1 36]

Px=-3x-5

62

1 12

Pour résoudre

62

-1

36]=-3[x-5

62

-1

62

Px=-3x-5

6-1

6x-5

61

6

3

Px=0un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des deux facteurs est nul. x-1=0Ou x-2 3=0

S={1;2

3}

EXERCICE 2

f : RR xfx=-x23✔Étudier les variations de f dans R a et b sont des nombres réels •si Donc -a23-b23 Soit fafb

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

f est strictement décroissante sur [0;∞[ -a23-b23 Soit fafb f est strictement croissante sur ]-∞;0] ✔Dresser le tableau des variations de f x-∞0∞ f(x)3 ✔Construire la courbe représentative de f sur [-3;3] dans un repère orthogonal. •S(0;3) est le sommet de la parabole. L' axe de la parabole est (y'y). •fx=-1

Les solutions de l'équation

fx=-1 sont les points d'intersection de la courbe représentative de f et de la droite d'équation y=-1Il y a 2 points d'intersection A et B d'abscisses respectives : - 2 et 2

S={-2;2}•fx=0

Les solutions de l'équation fx=0 sont les points d'intersection de la courbe représentative de f et de l'axe des abscisses. Il y a 2 points d'intersection E et F d'abscisses respectives : - 1,7 et 1,7

S={-1,7;1,7}✔Sur

[-1,7;1,7]la courbe représentative de f est au dessus de l'axe des abscisses donc si x∈[-1,7;1,7] alors fx≥0 ✔Sur [-3;-1,7] ou sur [1,7;3]la courbe représentative de f est en dessous de l'axe des abscisses donc si x∈[-3;-1,7]∪[1,7;3] alors

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

x-3-1,71,73 f(x)-0+0-

EXERCICE 3

x12≥2x-32 (2) 1 x=-1 23=x
x -∞-1

23∞2 x + 1-0++

3 - x++0-

P(x)-0+0-

S1=]-∞;-1

2]∪[3;∞[

-x4=03x-2=0x=4 x=2

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

x-∞2

34∞

- x + 4++0-

3x - 2-0++

R(x)-0+0-S2=[2

3;4]

S=S1∩S2=[3;4]EXERCICE 4

f : RR xfx=-1

4x2-x1

✔Montrer que f admet un maximum pour x = -2 Pour démontrer que f admet un maximum pour x = -2, il suffit de démontrer que pour tout x de R f-2-fx≥0

4x2-x1=21

4x2x-1

f-2-fx=1

4x2x1

f-2-fx=1

4x24x4

f-2-fx=1

4x22≥0Donc f(-2) est le maximum de f.

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

✔Déterminer les variations de f sur R

De la première question, on déduit

2-fx=1

4x22

Soitfx=-1

4x222a et b sont deux réels

•Si

4a22-1

4b22

soit -1

4a222-1

4b222

on a fafbf est strictement décroissante sur

Donc -1

4a22-1

4b22soit -1

4a222-1

4b222

on a fafb f est strictement croissante sur

]-∞;-2]✔Construire la courbe représentative de f sur [-6;4] dans le repère orthogonal

•S-2;2Est le sommet de la parabole. •La droite d'équation : x=-2 est l'axe de la parabole.

EXERCICE 5

✔Développer et réduire les expressions suivantes

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

A=20x2-148x80

B=-32x2-44x-56✔Factoriser les polynômes suivants :

A=5x34x-5-64x-5 A=4x-5[5x3-6]

A=4x-55x-3

B=6x-24x4

✔Résoudre dans R l'équation

2x2-5x-7=0

2[x2-5

2x-7 2]=0 or x2-5

2x25

16=x-5

42

2[x-5

42

-25 16-7 2]=0

2[x-5

42

-2556 16]=0

2[x-5

42

-81 16]=0

2[x-5

4-9

4]×[x-5

49

4]=0

2x-14

4x1=0

2x-7

2x1=0

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

Un produit de facteurs est nul si et seulement si un facteur est nul. x-7

2=0 Ou x1=0

x=7

2 ou x=-1

S={-1;7

2}

EXERCICE 6

✔Développer et réduire le polynômePx=1

2x-12-3Px=1

2x2-2x1-3

Px=1

2x2-x1

2-3

Px=1

2x2-x-5

2 ✔Déterminer les variations de f définie par : f : RR xfx=1

2x2-x-5

2Donc fx=1

2x-12-3a et b sont deux réels.

•Si donc 1

2a-121

2b-12et 1

2a-12-31

2b-12-3

et fafbf est strictement croissante sur [1;∞[•Si donc 1

2a-121

2b-12et

1

2a-12-31

2b-12-3et

fafbf est strictement décroissante sur ]-∞;1]

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

✔Dresser le tableau de variations de f x-∞1∞

Variations

de f - 3 f(1) = -3 minimum de f. ✔Construire la courbe représentative de f sur [-3;5] dans un repère orthogonal. S(1 ; - 3) est le sommet de la parabole. L'axe de la parabole est le droite d'équation x = 1 ✔Déterminer graphiquement le signe de fx sur l'intervalle [-3;5] Les solutions de l'équation f(x) = 0 sont les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de f et l'axe des abscisses .

Il y a deux points d'intersection A et B d'abscisses respectives : -1,5 et 3,5 (Valeurs approchées)

•Sur [-1,5;3,5]la courbe représentative de f est en dessous de l'axe des abscisses donc :

Si x∈[-1,5;3,5]alors

donc : Si x∈[-3;-1,5]∪[3,5;5]alors fx≥0

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

x-3-1,53,55

Variations de f(x)+0-0+

EXERCICE 7

Résoudre dans R, le système d'inéquation. x47-3x≥0 (2)

3-4x=052x=03=4x2x=-5

3

4=xx=-5

2 -5

23

4x -∞-5 23

4∞

3-4x++0-

52x-0++

Px-0+0-

S1=]-∞;-5

2]∪[3

4;∞[ (2)x47-3x≥0

x4=07-3x=0x=-47=3x x=7 3 -47 3

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

x-∞-47

3∞

x4-0+0+

7-3x++0-

Rx-0+0-

S2=[-4;7

3]

SI=S1∩S2=[-4;-5

2]∪[3

4;7

3]EXERCICE 8

ABC est un triangle rectangle isocèle en A.

On choisit la longueur AB pour unité de longueur, c'est à dire AB = AC = 1 Pour

x∈[0;1] on considère le point E de [AB] tel que BE=xF est le point d'intersection de la parallèle à (AC) passant par E et de la droite (BC).

✔Réaliser la figure

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

✔Calculer la valeur maximale de l'aire du triangle EAF (justifier le résultat). Le triangle ABC est rectangle isocèle en A donc ABC=ACB=45°Rappel :

Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre

Le triangle BEF est rectangle en E (car (EF) est parallèle à (AC) ) or EBF=45°donc le triangle BEF est rectangle isocèle en E

BE=EF=x

AE=AB-BE=1-xLe triangle AEF est rectangle en E donc l'aire de ce triangle est : 1

2AE×EF=1

21-xxOn note ax=1

21-xxpour

x∈[0;1]axest une fonction polynôme du deuxième degré ax=1 2x-1

2x2=-1

2[x2-x]

x2-x1

4=x-1

2

2donc x2-x=x-1

22

-1 4 ax=-1

2[x2-x]=-1

2[x-1

22

-1 4] ax=-1

2x-1

22

1 8

Pour tout

x∈[0;1] -1

2x-1

2

2 8-1

2x-1

22

8 donc a1

2=1

8est le maximum de

asur[0;1]et l'aire du triangle est maximale pour x=1 2

Cette aire est alors égale à

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