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ii) Si une matrice A a deux vecteurs colonnes égaux, alors son déterminant est Définition 48 On introduit la matrice des cofacteurs de A, cofA = (cij) avec cij =

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MAT 1200:

Introduction à l"algèbre linéaire

Saïd EL MORCHID

Département de Mathématiques et de Statistique

Chapitre 5: Les Déterminants

Références

Déterminants d"ordre 1 et 2

Définitions

Exemples

Sous-matricesAij- Mineur- Cofacteurs

Mineur

Cofacteur

Le déterminant d"une matrice 33

Le déterminant d"une matricenn

Propriétés des déterminants

Les déterminants et les matrices inversibles

Matrice des cofacteurs. Matrice adjointe

La règle de Cramer pour résoudre un système

Références:

Notes de cours chapitre 5 .

Livre: Chapitre 3 page 175

Déterminants d"ordre 1 et 2

Définitions

1.

Cas d"une matrice 11:

SoitA= (a11)une matrice de type 11, le déterminant deAest det(A) =ja11j=a11 2

Cas d"une matrice 22:

SoitA=a

11a12 a 21a22
. Le déterminant deAest le nombre réel det(A) =a 11a12 a 21a22
=a11a22a12a21Exemple

Calculer le déterminant de la matrice

A=1 5 2 4

Sous-matricesAijMineur

SoitA= (aij)une matrice carrée de typenn. Alors la matriceAijde type (n1)(n1)désigne la sous-matrice formée des éléments deAqui restent après avoir supprimé laiemeligne et lajemecolonne. Le déterminant de la sous-matriceAijest appeléle mineurdeaij.Exemple

Soit la matrice

A=0 B

B@12 5 0

2 0 41

3 1 0 7

0 42 01

C CA

Trouver les sous-matricesA32,A43.

Cofacteur

Définition

SoitA= (aij)une matrice carrée de typenn. On appellecofacteurde l"élémentaijle nombre C ij= (1)i+jdetAij:Exemple

Soit la matrice

A=0 @12 5 2 0 4

3 1 01

A

Trouver les cofacteursC21,C22etC23.

Le déterminant d"une matrice 33Définition

SoitA= (aij)une matrice carrée de type 33. Le déterminant de la matrice

Aest le nombre réel:

detA= a

11a12a13

a

21a22a23

a

31a32a33

=a11C11+a12C12+a13C13 =a11a 22a23
a 32a33
a12a 21a23
a 31a33
+a13a 21a22
a 31a32
=a11(a22a33a32a23) a

12(a21a33a31a23)+

a

13(a21a32a31a22)

On dit qu"on a développé le déterminant par rapport à la première ligne.

Exemple:

Calculer le déterminant de la matrice

A=0 @1 5 0 2 41 02 01 A

Le déterminant d"une matricennDéfinition

Le déterminant d"une matriceA= (aij)de typennest detA=a11C11+a12C12++a1nC1n =a11detA11a12detA12+ +(1)1+na1ndetA1n On dit qu"on a développé le déterminant par rapport à la première ligne.Exemple:

Calculer le déterminant de la matrice

A=0 B

B@6 0 0 5

1 7 25

2 0 0 0

8 3 1 81

C CA

Théorème:

Le déterminant d"une matriceA= (aij)de typennpeut être calculé par un développement selon n"importe quelle ligne ou selon n"importe quelle colonne.

Le développement selon laiemeligne s"écrit:

detA=ai1Ci1+ai2Ci2++ainCin Le développement selon lajemecolonne s"écrit: detA=a1jC1j+a2jC2j++anjCnj

Exemple:

Calculer le déterminant de la matrice

A=0 B

BBB@37 8 96

0 25 7 3

0 0 1 5 0

0 0 2 41

0 0 02 01

C

CCCAThéorème

Le déterminant d"une matrice triangulaireAest égal au produit des éléments de sa diagonale.

Exemple:

Calculer le déterminant de la matrice

A=0 B

BBB@37 8 96

0 25 7 3

0 0 1 5 0

0 0 2 41

0 0 02 01

C

CCCAThéorème

Le déterminant d"une matrice triangulaireAest égal au produit des éléments de sa diagonale.

Propriétés des déterminants

Théorème:

SoitAetBdeux matrices carrées.

a) det At=detA, b) si Acontient une ligne ou une colonne de 0, alors detA=0: c) d et(AB) =detAdetBThéorème: Opérations sur les lignes

SoitAune matrice carrée.

a) Si une matrice Best obtenue en ajoutant à une ligne de la matriceAun multiple d"une autre de ses lignes, alors detB=detA. b) Si Best la matrice obtenue en permutant deux lignes deA, alors detB=detA. c) S iBest la matrice obtenue en multipliant une ligne deApark, alors detB=kdetA. Dans ce théorème, on peut remplacer le mot ligne par colonne.

Théorème:Opérations sur les colonnes

SoitAune matrice carrée.

a) Si une matrice Best obtenue en ajoutant à une colonne de la matriceA un multiple d"une autre de ses colonnes, alors detB=detA. b) Si Best la matrice obtenue en permutant deux colonnes deA, alors detB=detA. c) S iBest la matrice obtenue en multipliant une colonne deApark, alors detB=kdetA.Exemple:

Calculer le déterminant de la matrice

A=0 B

B@28 6 8

39 5 10

3 0 12

14 0 61

C CA

Les déterminants et les matrices inversibles

Théorème:

Une matrice carrée est inversible si et seulement si detA6=0.

SiAest une matrice carrée inversible, alors

detA1=1detA:Exemple:

Est ce que la matrice suivante est inversible?

A=0 B

B@31 25

0 536

6 77 4

58 0 91

C

CAThéorème:

Soient~u1;~u2;;~un,nvecteurs deRnetAla matrice dont les colonnes ou les lignes sont les vecteurs ~ui. Alors~u1;~u2;;~unsont indépendants si et seulement si le déterminant deAest non nul.

Matrice des cofacteurs. Matrice adjointe

Définition:

SoitAune matrice carrée de typenn. La matrice des cofacteurs deA, notée Cof(A), est la matrice obtenue deAen remplaçant chaque termeaijpar son cofacteur. On a

Cof(A) =0

B BB@C

11C12C1n

C

21C22C2n

C n1Cn2Cnn1 C

CCADéfinition:

La matrice adjointe deA, notée adjA, est la transposée de la matrice des cofacteurs deA. On a adjA=0 B BB@C

11C21Cn1

C

12C22Cn2

C

1nC2nCnn1

C CCA

Théorème: Une Formule de l"inverse

SoitAune matrice inversible de typenn. Alors

A

1=1detA(adjA):Exemple:

Calculer l"inverse de la matrice

A=0 @2 1 3 11 1quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34