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Math-IV-algèbre

Formes (bi)linéaires

Alexis Tchoudjem

Université Lyon I

31 mai 2011

2 Dans ce cours?est un corps qui peut être?;?ou?. Autres notations :SiEest un?espace vectoriel etv1;:::;vnsont des vecteurs deE, on notera : hv1;:::;vni le sous-espace vectoriel deEengendré parv1;:::;vnc-à-dle sous-espace des combinaisons linéaires

1v1+:::+nvn

où1;:::;2?.

Table des matières

1 Quotients 5

1.1 Sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Formes linéaires 11

2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Base duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Bidual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1 Base antéduale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2

2.4 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Transposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Formes bilinéaires 19

3.1 Matrice d"une forme bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Formules de changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Formes bilinéaires non dégénérées . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Formes bilinéaires symétriques et formes bilinéaires alternées .

4 Formes quadratiques, formes hermitiennes 25

4.1 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Rang, noyau, cône isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Diagonalisation faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5 Classification des formes quadratiques complexes . . . . . . .

4.6 Classification des formes quadratiques réelles . . . . . . . . .

4.7 Formes hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.8 Formes quadratiques et hermitiennes positives . . . . . . . . .

4.9 Orthogonalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . .

4.10 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36
3

4TABLE DES MATIÈRES

5 Espaces euclidiens et hermitiens 37

5.1 Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.1 Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.2 Isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Espaces hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Réduction des matrices symétriques et des endomorphismes

adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3.1 Adjoint d"un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . .

5.3.2 Réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.3 Quadriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.4 Classification des coniques . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.5 Classification des quadriques en dimension trois . . . .

6 Formes bilinéaires alternées 59

6.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 Le Pfaffien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4 Groupe symplectique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Les quaternions 65

7.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2 Norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3 Lien avec les rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 1

Quotients

1.1 Sommes directes

SoitEun?espace vectoriel. SoientF1;F2deux sous-espaces deE. On dit queEest lasomme directedeF1etF2ou queF2est unsupplé- mentairedeF1dansEsi : i)E=F1+F2etii)F1\F2= 0 notation :

E=F1F2:

Exemple :

?=?+?i Proposition 1.1.1SiE=F1F2et siEest de dimension finie, alors : dimE= dimF1+ dimF2 Proposition 1.1.2SoitEun espace vectoriel de dimension finie et soitF un sous-espace deE. AlorsFadmet un supplémentaire dansE. Démonstration :Soite1;:::;erune base deF. C"est une famille libre donc, on peut la compléter en une basee1;:::;er;:::;endeE. PosonsG:=her+1;:::;eni.

On a :E=FG.q.e.d.

Corollaire 1.1.2.1SiFest un sous-espace vectoriel d"un espaceEde di- mension finie, alors : dimFdimE de plus,dimF= dimEsi et seulement siE=F. 5

6CHAPITRE 1. QUOTIENTS

Théorème 1.1.3SoientF;Gdeux sous-espaces d"un même espace vectoriel

Ede dimension finie. Alors :

dim(F+G) = dimF+ dimGdim(F\G): Exemple :SoientP1;P2deux plans distincts de l"espace?3qui passent par0. AlorsP1\P2est une droite.

Démonstration :SoientF0,G0tels que :

F=F0(F\G) etG= (F\G)G0:

Alors :

F+G=FG0

)dim(F+G) = dimF+ dimG0= dimF+ dimGdim(F\G): q.e.d. SoientF1;:::;Fndes sous-espaces deEun?espace vectoriel. On dit queEest la somme directe desFisi toutx2Es"écrit de manière unique x=x1+:::+xnavec chaquexi2Fi.

Autrement dit si :

i)E=F1+:::+Fn et ii)8x12F1;:::;8xn2Fn; x1+:::+xn= 0)x1=:::=xn= 0 notation :E=F1:::Fn.

Exercice 1

dim(F1:::Fn) = dimF1+:::+ dimFn Exercice 2SoientF1;F2;F3trois sous-espaces d"un même espace vectoriel

Ede dimension finie. Alors,

dim(F1+F2+F3) = dimF1+ dimF2+ dimF3 dim(F1\F2)dim(F2\F3)dim(F1\F3) +dim(F1\F2\F3):

1.2. QUOTIENTS7

1.2 Quotients

SoitEun?espace vectoriel. SoitFun sous-espace deE. Pour tout x2E, on notex+Fl"ensemble des éléments de la formex+yoùy2F. Par exemple, siE=?2, siF=Dest une droite passant par0, alors pour toutx2?2,x+Dest la droite parallèle àDpassant parx.

L"ensemble des

x+F:x2E est notéE=F.

Remarque :0 +F=F.

Proposition 1.2.1Soientx;x02E. Alors,x+F=x0+F,xx02F.

En particulier, pour touty2F,x+F= (x+y) +F.

Remarque :On écrit aussix=x0modFà la place dex+F=x0+F. On définit une addition et une multiplication par les scalaires surE=F par : i)8x;y2E;(x+F) + (y+F) := (x+y) +F ii)8t2?;8x2E; t:(x+F) :=tx+F : Proposition 1.2.2Cette addition et cette multiplication sont bien définies. Avec cette addition et cette multiplication,E=Fest un?espace vectoriel abstrait, c"est le " quotient deEparF» . Démonstration :Il s"agit de montrer que six+F=x0+Fety+F=y0+F, alors :(x+y) +F= (x0+y0) +F. Puis que six+F=x0+F, alors pour toutt2?,tx+F=tx0+F. Maintenant il est facile de vérifier les axiomes de définition d"un espace-vectoriel.q.e.d. Remarque :Le neutre (ou le zéro) deE=Fest0E=F= 0 +F=F. SiE=Fest de dimension finied, on dit queFest decodimensionddans

E. Notation :codim(F;E).

Proposition 1.2.3Soit:E!E=Fl"application :x7!x+F. C"est la projection canonique deEsurE=F. L"applicationest linéaire surjective et son noyau est : ker=F : En pratique, on représente les éléments deE=Fpar un supplémentaire deFdansEplutôt que par l"ensemble des classes moduloF. En effet :

8CHAPITRE 1. QUOTIENTS

Proposition 1.2.4SoitEun?espace vectoriel. SoitFun sous-espace deE. Alors siSest un supplémentaire deFdansE, c-à-dFS=E, la restriction deàS:

0:S!E=F x7!x+F

est un isomorphisme. En particulier,Fest de codimension finie si et seulement siF admet un supplémentaire de dimension finie. Et dans ce cas tous les supplé- mentairesSdeFdansEsont de dimension :dimS= codimE(F). Démonstration :Injectivité :ker0= ker\S=F\S= 0. Surjectivité : six+F2E=F, il existex12F;x22Stels quex=x1+x2.

Alors :x+F=x2+F=0(x2).q.e.d.

Corollaire 1.2.4.1SiEest de dimension finie et siFest un sous-espace deE, alors :dimEdimF= codim(F;E). " Il y a une infinité de supplémentaires (tous isomorphes) alors qu"il n"y a qu"un seul quotient. Donc utiliser le quotient évite de faire un choix particulier. » Proposition 1.2.5Soit':E!E00une application linéaire surjective. Alors, on a un isomorphisme d"espaces vectoriels :':E=ker''!E00 défini par :x+ ker'7!'(x). Démonstration :L"apllication de l"énoncé est bien définie et est bien linéaire.

Elle est surjective car siy2E00, il existex2Etel que'(x) =ydonc :'(x+ ker') =y. Elle est injective car :

x+ ker'2ker','(x+ ker') = 0 ,'(x) = 0,x2ker',x= 0 mod ker' : q.e.d. On en déduit le célèbre théorème du rang : Théorème 1.2.6 (théorème du rang)SoitEun?espace vectoriel de dimension finie. Si':E!Fest une application linéaire, alors :dimE= rang(') + dimker'. (On rappelle que le rang d"une application linéaire est la dimension de son image.

1.2. QUOTIENTS9

Corollaire 1.2.6.1SiEest de dimension finie et si':E!Eest une application linéaire, alors : 'injective,'surjective,'bijective.

SoitEun?espace vectoriel.

Proposition 1.2.7SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels deEde co- dimensions finies. AlorsF+GetF\Gsont aussi de codimension finie et : codim(F\G) = codim(F) + codim(G)codim(F+G): Démonstration :On considère l"application linéaire : ':E=FE=G!E=(F+G) (xmodF;ymodG)7!xymod (F+G): C"est une application surjective et son noyau est isomorphe àE=(F\G) par l"isomorphisme :

E=(F\G)!ker'

xmod (F\G)7!(xmodF;xmodG): q.e.d. Exercice 3SoientEFGtrois?espaces vectoriels. On suppose que Gest de codimension fine dansE. Montrer queE=G!E=F,xmodG7! xmodFest linéaire surjective et que son noyau est isomorphe àF=G. En déduire que codim

EG= codimEF+ codimFG

puis quecodimE(F)codimE(G)avec égalité si et seulement siF=G. À retenir :siEest de dimension finie, alors pour tout sous-espace vectorielFdeE, on a : dim(E=F) + dimF= dimE : Proposition 1.2.8SiFest un sous-espace deE, alors : codim

E(F) = 0,dim(E=F) = 0,E=F= 0,E=F :

Démonstration :SiE=F= 0, alors la surjection canonique :E!E=Fest nulle donc son noyauFest toutEdoncF=E.q.e.d.

10CHAPITRE 1. QUOTIENTS

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