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larité sur les matrices correspond à un théorème de localisation de valeurs propres Le plus matrice diagonale associée, A est aussi valeur propre de X~ XAX

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Afin de localiser les valeurs propres d'une matrice, on se donne · une norme subordonnée quel- conque sur Mn(C), alors l'inégalité suivante permet de borner  

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Localisation des valeurs propres : Quelques propriétés sur les disques de Gerschgorin Jean-Baptiste Campesato 22 septembre 2009 On retrouve de 

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Quand on a une telle égalité, on dit que λ est une valeur propre de A et que c est un vecteur propre pour la valeur propre λ 2 Comment trouver des valeurs 

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les valeurs propres d'une matrice symétrique sont réelles La localisation est d' autant meilleure que les Calcul de la valeur propre de plus grand module

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UniversitéClaudeBernard,Ly on1LicenceSciences &Technologies

43,boulev arddu11novembre1918Spécialité:Mathématiques

69622Villeurbanne cedex,FranceAnalysenumériqueL3- Automne2015

Séried'exercices n

o 4/6

Recherchedevaleurspr opres

Résolutionnumériqued'équations nonlinéaires

Quelquesrappelssur lesvaleurs propres

1.Lesvaleurs propresdeA!M

n,n (R)sontles!telsqu'il existeun vecteurx!R n qui vérifieAx=!x.Ondit quexestunv ecteurpropreassocié à!.

2.Lesvaleur propresdeAsontlesracines dupolynômecaractéristique deA,

P(!)=det(A"!I

n

3.Unematrice A!M

n,n (R)possèdenvaleursproprescomplexes. ATTENTION:unematriceréelle peutav oirdesv aleursproprescomple xes.

4.DeuxmatricesAetBsontdites semblabless'ilexisteune matriceinv ersiblePtelleque

A=P "1 BP.Deuxmatrices semblablesont lesmêmesv aleurspropres.

5.unematriceAestdiagonalisable s'ilexiste unematriceDdiagonale(composéede valeurs

"1

DP.SiA!M

n,n (R)possède

6.SoitA!M

n,n (R),ile xisteunematrice unitaireUtellequeU "1

AUsoittriangulaire.

7.SiA!M

n,n (R)estnormale (i.e.A T A=AA T ),ile xisteunematrice unitaireUtelleque U "1

AUsoitdiagonale.

8.SiA!M

n,n (R)estsymétrique( i.e.A=A T ),ile xisteunematrice orthogonaleOtelle queO "1

AOsoitdiagonaleet réelle.

9.SiA!M

n,n (R)estorthogonale( i.e.A T A=AA T =I n ),ile xisteunematrice unitaireU tellequeU "1

AUsoitdiagonalea vec desvaleurspropresdemodule1.

Exercice1.Localisationdesvaleur spropr es

1.Rappeleretdémontrer lethéorème deGershgorin.

2.Localiserlesv aleurspropresdes matricessuivantes

A= 12"1 270
"105 ,B= 1023
"12"1 013 C= 12"1 031
106
,D= 210
131
012 1

Exercice2.Méthodedela puissance

a)Calculerlesv aleurspropreset lesvecteurspropresde A= 100
"91 b)Quedonnela méthodedela puissancepourla matriceAenpartantde x 0 =(2,1) T c)Calculerlesv aleurspropreset lesvecteurspropresv 1 etv 2 de A= 1"3 "31 d)Exprimerx 0 =(1,0) T enfonctionde v 1 etv 2 .Endéduire l'expressionde A k x 0 ,puisde A k x 0 /#A k x 0 #econclure.

Exercice3.Pointsfixesattractifset répulsifs

1.SoientI$Runintervalle ouvertetg:I%Iunefonctionde classeC

1 .Soitx !I unpointfix edeg.Pourx 0 !Idonnéonconsidère lasuite définieparrécurrence parla relation x p+1 =g(x p ),pourtout p!N.

Danstoutecette partie,pourtout h>0,nousnoterons V

h l'intervallefermé[x "h,x +h]. (a)Onsuppose que|g (x )|<1.

Montrerqu'ile xisteh>0avecV

h $Itelquepour toutx 0 !V h ,onait x p !V h ,pour toutp!Netqu'enplus lasuite (x p p$N convergeversx quandptendvers +&.

Onditalors quex

estunpoint attractifdeg. (b)Onsuppose maintenant|g (x )|>1.

Montrerqu'ile xisteh>0avecV

h $Itelquepour toutx 0 !V h {x }onait |g(x 0 )"x |>|x 0 "x

Ons'éloignedu pointfix ex

silepoint dedépart n'estpasx .Dansce casondit que lepointfix eest répulsif.

2.Soitf:R%Rdonnéepar f(x)=x

3 "4x+1.Onse proposederésoudre numériquement l'équation f(x)=0(E). (a)Montrerquel'équa tion(E)admet3racines réellesnotéesa 1 ,a 2 eta 3 avec "5 2 Montrerqueseul a 2 estunpoint fixe attractifde".Conclure. (c)Montrerque pourx> 1 4 l'équation(E)estéquiv alenteàx=" (x),où (x)= 4" 1 x

Montreralorsque a

3 estunpoint fixeattractif de" (d)Montrerque pourx<0l'équation(E)estéquiv alenteàx=" (x),où (x)=" 4" 1 x

Montreralors quea

1 estunpoint fixe attractifde" Exercice4.ConvergenceglobalepartielleSoitf:R%Runefonctionde classeC 2 .Onsuppose qu'ile xiste#!Rracinedef(c'està diref(#)=0)tellesque lesfonctions f,f etf ne s'annulentpassur l'intervalle]#,+&[etonttoutes lemêmesigne sur]#,+&[(ellessontsoit touteslestrois strictementpositi ves,soit strictementnégati ves).

Onconsidèrela suite(x

k k$N réelledéfiniepar récurrenceparla relation x 0 #donné,etx k+1 =x k f(x k f (x k pourtoutk!N.

1.Soitp!Ntelquel'élément x

p soitbiendéfini avec enplus x p

Montrerque x

p+1 estbiendéfini etqu'ile xistec p !]#,x p [telque x p+1 (x p 2 f (c p 2f (x p

Endéduireque lasuite(x

k k$N estbiendéfinie etquepour toutk!Nonax k

2.Montrerque lasuite (x

k k$N estdécroissante.En déduireque lim k%+& x k

3.Supposonsenplus quef

(#)'=0etf (#)'=0.Quelest l'ordredecon vergence delasuite (x k k$N

4.Application:supposonsque fsoitunpolynôme dedegré n,ayantnracinesréellesdis-

tinctesetsoit #!Rlaplusgrande racinedef. Montrerqueles hypothèses despontsprécédents sontsatisfaites.Quepeut-onen déduire?

Exercice5.MéthodedeNe wton.

1.Oncherche àcalculer leszérosde f:R%R,x(%x

2 "2. (a)Montrerquechacun deszérosde fpeutêtreapproché parlaméthode deNewton. (b)Écrireexpl icitementlarelationderécurrencevérifiéeparlessuites desitérés. (c)L'algorithmeest-ilglobalementdéfini ? 3

2.Ons'intéresse ausystèmeen(x

1 ,x 2 )!R 2 "5x 1 +2sinx 1 +2cosx 2 =0, "5x 2 +2sinx 2 +2cosx 1 =0. (a)Récrirelarecherche desolutionsau systèmeprécédentcomme larecherche dezéros d'unecertainefonction f:R 2 %R 2 (b)Montrerquechacun deszérosév entuelsdefpeutêtre approchéparla méthodede

Newton.

(c)Écrirelarelation derécurrence vérifiéeparla suitedesitérées etjustifierque l'algo-

rithmeestglobalement biendéfini. 4

Exercice3.MéthodedeNewton.

1.(a)L afonctionfestdecla sseC

3 (etmêmed eclasseC )surR.Or pourto utréelxona: f (x)=0!"2x=0!"x=0. Commef(0)=#2$=0,to usleszérosdefsontsimplesetp euventdoncêtreapproc hésp ar laméth odedeNewton. (b)Pourcon struireunes uited'approximations,oncho isitx 0 %Rpuisl'ondéfin it(x (k) k#N par x (0) =x 0 et&k%N,x (k+1) =x (k) f(x (k) f (x (k) ouplus explicitement x (0) =x 0 et&k%N,x (k+1) =x (k) (x (k) 2 #2 2x (k) c'est-à-dire x (0) =x 0 et&k%N,x (k+1) 1 2 x (k) 1 x (k) (c)L'al gorithmes'arrêteàl'étapeksix (k) =0.Cela arriv eàl'étape0six 0 =0.Sinonl'algorithme estglob alementdéfinipuisqueunerécurrencem ontreque: -six 0 >0alors,pour toutk%N,x (k) >0; -six 0 <0alors,pour toutk%N,x (k) <0.

2.(a)I lsu

t,parex emple,dedéfi nirf:R 2 'R 2 par:p our tout(x 1 ,x 2 )%R 2 f(x 1 ,x 2 )=(#5x 1 +2sinx 1 +2c osx 2 ,#5x 2 +2sinxquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35