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MATH 321 - Licence de mathematiques
Georges COMTE
Laboratoire de Math
ematiques de l'Universite de Savoie, UMR CNRS
5127, B
^atiment Chablais, Campus scientifique, 73376 Le Bourget-du-
Lac cedex, France
E-mail address:georges.comte@univ-smb.fr
URL:http://gcomte.perso.math.cnrs.fr/
2 mars 2017
Table des matieres
Chapitre 1. Ensembles et fonctions convexes
5
1. Rappels
5
2. Ensembles convexes
7
3. Fonctions convexes
9
4. Inegalites de convexite
34
Chapitre 2.
Etude locale de fonctions41
1. Rappels
41
2. Domination, preponderance, equivalence de fonctions
43
3.Echelles de comparaison et developpements asymptotiques56
4. Developpement limites
62
Chapitre 3. Series numeriques
83
1. Rappels
83
2. Introduction
84
3. Denitions generales
85
4. Convergence absolue et series de terme general positif
95
5. Series de terme general ayant un signe non constant
149
Chapitre 4. Annexe : approximation des reels par les rationnels 15 7
1. Approximation des reels par des rationnels
157
2. Approximation par les fractions continues
159
Bibliographie
167
3
CHAPITRE 1
Ensembles et fonctions convexes
1. Rappels
On rappelle brievement dans cette section des notions de base qui seront utiles dans la suite du chapitre. Commencons par rappeler que pour montrer que deux ensemblesEetFsont egaux ont montre souvent queEFetFE. Et pour montrer une inclusion EF, on considere un elementx2E, dont on montre qu'il est aussi dansF. Cet elementxetant choisi sans contrainte dansE. Pour une illustration de ce principe, voir par exemple l'Exemple 1.7 ci-dessous. On dira souv entqu'un sous-en sembled e R nest unepartiedeRn. On utilisera ces deux mots comme des synonymes.
1.1.Denition.L'intervalle[a;b] deRest l'ensemble suivant
[a;b] =fx2R;axbg:
De m^eme
]a;b[=fx2R;a < x < bg: ]a;b] =fx2R;a < xbg: [a;b[=fx2R;ax < bg: Rappelons que tout sous-ensembleCdeRpossede uneborne inferieureet uneborne superieure, avec;2R[f1;+1g. Les quantitesetpeuvent appartenir aCou ne pas y appartenir. Par denitionest le plus grand minorant deC, c'est-a-dire que
8x2 C;xet sia2Rest tel que8x2 C;ax;alorsa:
De m^eme,est le plus petit majorant deC, c'est-a-dire que
8x2 C;xet sib2Rest tel que8x2 C;bx;alorsb:
Une autre denition utile des bornes inf et sup est la suivante :
8x2 C;xet8 >0;9x2 Ctel quex < +
8x2 C;xet8 >0;9x2 Ctel que < x:
Cette derniere denition montre que l'on peut construire une suite (n)n2Nd'elements deCqui converge (en decroissant si l'on veut) vers. De m^eme, on peut construire une suite (n)n2Nd'elements deCqui converge (en croissant si l'on veut) vers. 5
6 1. ENSEMBLES ET FONCTIONS CONVEXES
1.2.Denition.SiEetFsont deux ensembles, leproduitdeEparF, note
EF, est l'ensemble deni par
EF:=f(x;y);x2E;y2Fg:
1.3.Denition.Etant donnes deux ensemblesEetF, ungraphe deEF
est la donnee d'un sous-ensemble deEFqui verie Si (x;y1) et (x;y2) sont dans , alors necessairementy1=y2. Ainsi se donner un graphe est se donner une application (au sens naf d'une application), puisque les elements (x;y)2 determinent une unique application x7!ydu fait de l'unicite,xetant xe, deytel que (x;y)2. En realite la denition rigoureuse d'une application n'est rien d'autre que la donnee d'un graphe!
1.4.Denition.Soitf:E!Rune fonction denie sur un sous-ensembleE
deRn. On note, pour tout (x1;;xn)2Rn,k(x1;;xn)k=px
21++x2n(si
n= 1,kxk=jxj, pour toutx2R). On dit quefestLipschitzienne surEs'il existek0 tel que
8x;y2E;jf(y)f(x)j k kyxk:
On dit quekestune constante de Lipschitz defsurE(toutk0ken est une autre). On dit quefestlocalement lipschitzienne surEsi
8a2E9ra>09ka0 tel que8x;y2E;
kxak< raetkyak< ra=) jf(y)f(x)j ka kyxk:
1.Exercice.Montrer que sif:E!Rest lipschitzienne surEalorsfest
localement lipschitzienne surE. Montrer que sifest localement lipschitzienne sur
Ealorsfest continue surE.
Solution de l'exercice.Pour la premiere proposition, et avec les notations de la Denition 1.4 , il sut, poura2E, de prendreka=k. Soit maintenanta2Eet montrons quefest continue ena, c'est-a-dire que si(an)n2Nest une suite deEtendant versa, alorsf(an)tend versf(a). Soient r a;kacomme dans la Denition1.4 . Comme(an)n2Ntend versa, il existeN, tel quenN=) kaank ra. Ainsi, pour toutnN, jf(a)f(an)j ka kaank: Mais cette derniere egalite, puisquelimn!1kaank= 0, montre quelimn!1jf(a) f(an)j= 0.
1.5.Denition.Etant donnes deux elementsAetBdeRn, lesegment(ferme)
joignantAetBest le sous-ensemble deRnnote [AB] et deni par [AB] :=f(1)A+B;2[0;1]g: Autrement dit, [AB] est l'ensemble des pointsXdeRnpour lesquels existe2[0;1], telX= (1)A+B. Noter que la parametrisation [0;1]37!(1)A+B
2. ENSEMBLES CONVEXES 7
du segment [AB] montre que celui-ci est contenu dans la droite deRnpassant par
AetB(lorsqueA6=B).
1.6.Exemple.On poseA= (;p2)2R2etB= (1;p3)2R2. Decrire [AB].
1.7.Exemple.Soient deux pointsa;bdeRavecab. Alors le segment [ab]
n'est rien d'autre que l'intervalle [a;b], dont on rappelle qu'il est deni par [a;b] :=fx2R;axbg: En eet, six2[ab], il existe2[0;1] tel quex= (1)a+b, par denition du segment [ab]. Mais commexa=(ba)0 etbx= (1)(ba)0, on a bienaxb, doncx2[a;b]. Ce qui prouve que [ab][a;b]. Reciproquement, montrons que [a;b][ab]. Soitx2[a;b], alorsaxb. On peut ecrire dans ce casx= (1)a+b, avec=xaba(noter que le casa=best trivial). Mais comme dans ce cas2[0;1], on a bienx2[ab].
2. Ensembles convexes
2.1.Denition.SoitCun sous-ensemble deRn. On dit queCest unsous-
ensemble convexe deRnou unepartie convexes deRnou plus simplement un convexe deRn, lorsque
8x;y2 C;82[0;1];(1)x+y2 C;
Ainsi, en vue de la Denition
1.5 ,Cest convexe si et seulement si
8x;y2 C;[xy] C:
2.2.Remarque.L'ensemble vide;ainsi que les sous-espaces vectoriels et anes
deRnsont des convexes deRn.
2.Exercice.Montrer que les parties convexes deRsont les intervalles deR.
Dessiner des parties convexes et non convexes deR2et deR3. Solution de l'exercice.Nous allons commencer par montrer qu'un intervalle, disons]a;b[oua;b2R[ f1;+1gavecab, est un sous-ensemble convexe de R(les arguments sont les m^emes pour les intervalles du type[a;b],]a;b]ou[a;b[). On peut supposer quea < b, sinon]a;b[=;et;est convexe. Soient alorsx;y2]a;b[ tels quex < y. D'apres l'Exemple1.7 , on a[xy] = [x;y]mais[x;y]]a;b[, donc [xy]]a;b[. Reciproquement, montrons maintenant qu'un convexeCdeRest bien un inter- valle deR. Pour cela notons:= infCet:= supC. On a;2R[f1;+1g. Plusieurs cas se presentent selon queetsont ou non dansC. Pour xer les idees supposons que62 Cet2 C, les autres cas se traitant de la m^eme maniere. On va montrer queC=];].A nouveau pour prouver cette egalite entre ensembles, nous allons prouver une double inclusion. Commencons par montrer queC ];]. Cette inclusion est claire puisqueest un minorant deCeten est un majorant et que de plus62 Cet2 C.
8 1. ENSEMBLES ET FONCTIONS CONVEXES
Montrons alors pour terminer que];] C. Soit pour celaz2];]. Par denition des bornes sup et inf, il existex;y2 Ctels que < x < z < y(on pourrait prendrepoury!). Mais alors par convexite deC,[xy] C. Orz2[xy] puisquez2[x;y]et[xy] = [x;y](d'apres l'Exemple1.7 ). On en conclut bien que z2 C.
3.Exercice.Etudier la stabilite de la convexite sous la reunion et l'intersection.
Montrer que pour tout ensembleERnexisteC(E)Rnun ensemble convexe qui contientEet qui est contenu dans tout ensemble convexe contenantE. On appelle
C(E)l'enveloppe convexe deE.
Solution de l'exercice.La convexite n'est pas une propriete preservee par reunion : deux ensembles convexes peuvent avoir une reunion non convexe (pen- ser a deux points distincts dansR). En revanche siC1etC2sont deux ensembles convexes deRn, et siA;B2 C1\C2, le segment[AB]est dansC1par convexite deC1et aussi dansC2par convexite de C
2. Donc[AB] C1\ C2. Ce qui prouve la convexite deC1\ C2.
La preve que l'on vient de faire se generalise immediatement a une famille quel- conque de convexes(Ci)i2I, avecIun ensemble d'indices quelconque et pour tout i2I,Ciun convexe deRn. Considerons alors
I=fC Rn;tel queCest convexe etE Cg:
L'ensembleIest non vide puisqueRn2I. Alors
C(E) :=\
C2IC est un convexe deRnqui contientE, et siC0en est un autre, necessairementC02I et doncC(E) C0.
4.Exercice.Montrer queC Rnest convexe si et seulement si
8p2;8x1;;xp2 C;81;;p2[0;1]veriantpX
j=1 j= 1; on a : pX i=1 ixi2 C: Solution de l'exercice.Voir la Proposition3.8 , qui est la version de ce theoreme pour les fonctions. Pour etudier les ensembles convexes deRn, on va considerer que ceux-ci sont delimitespar des graphes d'applications (cf Proposition3.5 ). En eet, siCest un convexe deRn, sa projection surRn1f0gest un convexeK deRn1. Consideronsx= (x1;;xn1;0)2 KetDxla droite anef(x1;;xn1;w)2 R ng. AlorsC \Dxest un convexeIxdeDx(puisque l'intersection de deux convexes est convexe par l'Exercice 3 ). MaisDxetant identiee aR, par l'Exercice1.7 , on sait queIxest un intervalle deDx. Notonsxetxles bornes de cet intervalle,
3. FONCTIONS CONVEXES 9
avecxxetx;x2R[f1;+1g(cf g.1). Nous venons d'associer aCdeux fonctions:K 3x7!xet:K 3x7!xdont on dira que les graphes dansRn delimitentC. Puisque ces deux fonctions denissent a leur tourCde maniere uni- voque, etudier ces deux fonctions equivaut a etudierClui-m^eme (cf les Propositions 3.5 et 3.7 ).xD x R n-1R n a x GG (a) (b) x bI xg.1 On veut traduire les proprietes fondamentales des applications(et) en une seule denition, la convexite (et la concavite). On va commencer dans la Section 3 par prop oserune telle d enitiong enerale.On mon treraensuite d'une part que l'applicationassociee a un ensemble convexe satisfait bien cette denition (cf
Proposition
3.7 ) et d'autre part qu'une fonction est convexe (rep. concave) si et seulement si son graphe delimite inferieurement (resp. superieurement) un ensemble convexe (cf Proposition 3.5
3. Fonctions convexes
3.1.Denition.SoitC Rnune partie convexe deRnetf:C !R. On dit
quefest unefonction convexesi et seulement si
8x;y2 C;82[0;1]; f((1)x+y)(1)f(x) +f(y):
On dit quefest unefonction concavelorsque la proposition precedente a lieu avecau lieu deet on dit quefest unefonction strictement convexelorsque
10 1. ENSEMBLES ET FONCTIONS CONVEXES
la proposition precedente a lieu avec
au lieu de (avec toutefoisx6=yet2]0;1[ an d'eviter les cas automatiques d'egalite). 5.Exercice.SoientIun intervalle deRetf:I!Retg:I!Rdeux
fonctions convexes.Etudier la convexite def(x),f+g,fg,maxff;gg,minff;gg et lorsque la composition degetfest permise, celle degf. 3.2.Remarque.En vue de la discussion de la n de la section precedente rame-
nant l'etude des ensembles convexes a celle des fonctions convexes, la denition des fonctions convexes est naturelle, puisque l'interpretation graphique de la convexite d'une fonction est la suivante : pour tout couple de pointsAetBdu graphe (f)Rn+1def, le segment [AB] est situeau-dessusde (f). Ce qui cor- respond bien a l'idee que l'on se fait du graphe de la fonction.B xquotesdbs_dbs17.pdfusesText_23
[PDF] Analyse fonctionnelle Devoir à la maison I Ensembles convexes