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Corps Dans toute cette feuille d'exercices à l'exception de l'exercice 9, les corps sont commutatifs d) Montrer que tout corps de caractéristique nulle (resp p) est extension de Q (resp Algorithmique algébrique avec exercices corrigés

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Universit

´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1 Ann

´ee 2012-2013 Module MM020

Th´eorie des Nombres - TD7

Extensions de corps

Exercice 1 :

a) Soitx?Rtel qu"il existe une constanteK >0 et une suite de rationnels (pnq n)n?Ndeux-`a-deux distincts tels que|x-pnq nn. Montrer quexest transcendant (surQ).

b) Soit (an)n?Nune suite born´ee d"entiers relatifs, telle quean?= 0 pour une infinit´e den. Soit

b?N,b≥2. On d´efinitθ:=? n≥0a nb n!. Montrer queθest transcendant. c) En d´eduire qu"il existe une famille explicite non d´enombrable de nombres transcendants.

Solution de l"exercice1.

a) Supposonsxalg´ebrique (surQ). Alors il existe un polynˆomeP(X) =adXd+···+a0?Z[X] tel

queP(x) = 0. PuisquePn"a qu"un nombre fini de racines, il existe? >0 tel quePne s"annule pas sur [x-?;x+?]\ {x}. Donc sipq ?=x?Q∩[x-?;x+?],P(pq )?= 0, donc |P(pq )|=????a dpd+ad-1pd-1q+...a0qdq d? ????= 0. Or le num´erateur de cette fraction est un entier non nul, donc |P(pq )| ≥1q d. En outre, le th´eor`eme des accroissements finis assure qu"il existeM?Rtel que pourpq

Q∩[x-?;x+?],

|P(pq )|=|P(pq

Donc finalement pour

pq ?=x?Q∩[x-?;x+?],1Mq |. Or la suite (pnq n) converge vers x, donc pour toutnassez grand, on a 1Mq nn. Ceci est contradictoire puisque (qn) tend vers l"infini. Donc on en d´eduit quexn"est pas alg´ebrique, doncxest transcendant. b) NotonsA:= max{|an|,n?N}. SoitN?Ntel queaN?= 0. PosonspN:=?N n=0anbN!-n!et q

N:=bN!. Alorsθ-pNq

N=?∞

j=1a N+jb (N+j)!. Or pout toutj≥2, on a (N+j)!-(N+ 1)!≥j, donc j=1a N+jb (N+j)!? (N+1)!? j≥01b )b (N+1)!. Donc ????θ-pNq N? )b (N+1)!=A(1-1b )q N+1 )q NN. On conclut alors avec la question pr´ec´edente quexest transcendant.

c) Grˆace `a la question pr´ec´edente, il suffit de remarquer que l"ensemble des suites born´ees d"entiers

relatifs `a support infini est non d´enombrable, ce qui est clair puisque l"ensemble{1,2}Nest d´ej`a

non d´enombrable. 1 Exercice 2 :SoitKun corps de caract´eristique diff´erente de 2, eta,b?K?. Montrer queK(⎷a) =K(⎷b) si et seulement siab ?(K?)2.

Que se passe-t-il en caract´eristique 2?

Solution de l"exercice2.

- On suppose que ab ?(K?)2. Alors il existex?K?tel queb=x2a. Alors⎷b=±x⎷a. Donc il est clair queK(⎷a) =K(⎷b).

- On suppose queK(⎷a) =K(⎷b). Alors il existex,y?Ktels que⎷b=x+y⎷a. On a donc⎷b-x=y⎷a, donc en ´elevant au carr´e, on ab-2x⎷b+x2=ay2. Donc 2x⎷b=b+x2-ay2. On

a donc deux cas possibles : soit⎷b?K, auquel cas⎷a?Ket le r´esultat est ´evident. Soit⎷b /?K,

alors 2x⎷b= 0, doncx= 0 (car 2?K?), donc⎷a=y⎷b,y?K, ce qui conclut.

- Remarquons qu"en caract´eristique 2, l"implication de la gauche vers la droite n"est pas v´erifi´ee en

g´en´eral : par exemple, consid´ererK=F2(T2),a=T2etb= 1+T2. AlorsK(⎷a) =K(⎷b) =F2(T),

alors que ba = 1 +1T

2n"est pas un carr´e dansK(puisqueT2n"est pas un carr´e dansK).

Exercice 3 :Montrer que pour toutb,c?Rtels queb2<4c, siP=X2+bX+c, alors on a un isomorphisme de corps

R[X]/(P)≂=C.

Cet isomorphisme est-il canonique?

Solution de l"exercice3. L"hypoth`eseb2<4cassure que le discriminant dePest n´egatif, doncPn"a

pas de racine r´eelle, doncPest irr´eductible dansR[X]. DoncR[X]/(P) est un corps de rupture de

P, i.e.R[X]/(P)≂=R[α], o`uα?Cest une racine deP. Par cons´equent, le morphisme canonique

deR-alg`ebreφ:R[X]→Cqui envoieXsurα(et doncQ(X)?R[X] surQ(α)) se factorise en un morphisme de corps (injectif) :

R[X]/(P)→C.

Or les deux corps sont des extensions de degr´e 2 deR, donc c"est un isomorphisme. Cet isomorphisme

n"est pas canonique, puisqu"il n´ecessite le choix d"une racineαdeP. Un autre choix conduirait `a

l"isomorphisme induit parX?→α.

Exercice 4 :SoitKun corps etxalg´ebrique surK, de degr´e impair. Montrer quex2est alg´ebrique

surKet queK(x2) =K(x). Solution de l"exercice4. Il est clair queK(x2)?K(x), doncx2est alg´ebrique surK. En outre,xest

annul´e par le polynˆomeX2-x2`a coefficients dansK(x2). Doncxest de degr´e au plus 2 surK(x2), i.e.

[K(x) :K(x2)] = 1 ou 2. Or par multiplicativit´e des degr´es, on a [K(x) :K] = [K(x) :K(x2)][K(x2) :

K] et [K(x) :K] est impair par hypoth`ese, donc [K(x) :K(x2)] = 1, i.e.K(x2) =K(x). Exercice 5 :SoitL/Kune extension finie de corps de degr´em. SoitP?K[X] un polynˆome irr´eductible de degr´edpremier `am. Montrer quePest irr´eductible dansL[X]. Solution de l"exercice5. On consid`ere un facteur irr´eductibleQdePdansL[X], etMun corps de rupture deQsurL, i.e.M=L(x) avecxracine deQ. On a alors les inclusions suivantes : K?L?M=L(x) etK?K(x)?M=L(x). En outre,K(x) est un corps de rupture dePsurK, donc [K(x) :K] =d. Par multiplicativit´e des degr´es, on obtient deg(Q)m= [M:L][L:K] = [M: K] = [M:K(x)][K(x) :K] = [M:K(x)]d. Doncddivisemdeg(Q). Ordetmsont premiers entre eux, doncddivise deg(Q), doncd= deg(Q), doncP=Q, doncPest irr´eductible surL.

Exercice 6 :

a) Soientd1,...,dr?N. Montrer qued1!...dr! divise (d1+···+dr)!.

b) SiKest un corps etf?K[X] de degr´ed, montrer que le degr´e d"une extension de d´ecomposition

defdivised!. 2

Solution de l"exercice6.

a) On peut montrer ce r´esultat de diverses mani`eres. Voici une fa¸con de le d´emontrer : on montre

par r´ecurrence surrque le quotient(d1+···+dr)!d

1!...dr!est ´egal au nombreC(d1,...,dr) de fa¸cons de

partitionner un ensemble ded1+···+dr´el´ements enrsous-ensembles (disjoints) de cardinaux

respectifsd1,...,dr. Pourr= 1, c"est ´evident. Pourr= 2, c"est l"interpr´etation combinatoire du coefficient binomial. Supposons le r´esultat connu pourret montrons le pourr+ 1. On a clairementC(d1,...,dr+1) =?d1+···+dr+1d r+1?C(d1,...,dr) (se donner une partition enr+ 1 sous-

ensembles de cardinauxd1,...,dr+1revient `a choisirdr+1´el´ement parmid1+···+dr+1puis une

partition enrsous-ensembles de cardinauxd1,...,drdesd1+···+dr´el´ements restants). Alors

l"hypoth`ese de r´eccurrence assure queC(d1,...,dr+1) =?d1+···+dr+1d r+1? (d1+···+dr)!d

1!...dr!=(d1+···+dr+1)!d

1!...dr+1!.

Cela conclut la preuve.

b) SoitP1?K[X] un facteur irr´eductible def. Notonsd1le degr´e deP1etK1un corps de d´ecomposition deP1surK. On construit alors par r´ecurrence des polynˆomesPiet des corpsKi tels quePi+1est un facteur irr´eductible, de degr´edi+1, du polynˆomefP

1...PidansKi[X], etKi+1

est un corps de d´ecomposition dePi+1surKi. Alors par construction, il existe un entierrtel queKrsoit un corps de d´ecomposition def, et tel qued1+···+dr=d.

Supposons que l"on sache montrer le r´esultat souhait´e pour un polynˆomefirr´eductible, alors

on sait que [Ki+1:Ki] divisedi!. Donc [Kr:K] =?r-1 i=0[Ki+1:Ki] divised1!...dr!. Donc la question a) assure que [Kr:K] divised! = (d1+···+dr)!, d"o`u le r´esultat pourf.

Il suffit donc de se limiter au cas o`ufest irr´eductible dansK[X], de degr´ed. On traite ce cas

par r´ecurrence sur le degr´e. Dans ce cas, on consid`ere un corps de ruptureL/Kdefetα?L une racine def. Alors [L:K] =det on poseg(X) :=f(X)X-α?L[X]. Puisque deg(g) =d-1, on

sait par r´ecurrence (en utilisant le raisonnement pr´ec´edent pour se ramener au cas des facteurs

irr´eductibles successifs deg) que siK?d´esigne un corps de d´ecomposition degsurL, alors [K?:L] divise (d-1)!. Donc [K?:K] = [K?:L][L:K] divised(d-1)! =d!. Or il est clair que K ?est un corps de d´ecomposition defsurK, donc on a bien montr´e que le degr´e d"un corps de d´ecomposition defsurKdivisaitd!. Exercice 7 :Soitkun corps de caract´eristiquep >0. Soita?k. Montrer que le polynˆomeXp-X-a?k[X] est scind´e ou irr´eductible. Solution de l"exercice7. Remarquons d"abord que si l"on noteP(X) =Xp-X-a, alors on a

P(X+ 1) =P(X)?k[X].

racine dePgrˆace `a la remarque pr´ec´edente. Or lesα+n,nvariant entre 0 etp-1, sont deux-`a-deux

distincts, donc le polynomeP(X) admetpracines distinctes dansk. Or il est de degr´ep, donc il est scind´e surk. Supposons maintenant queP(X) soit r´eductible dansk[X]. AlorsP=QR, o`uQ,R?k[X] sont

des polynˆomes unitaires de degr´es respectifsq,r≥1. Notonsαune racine deQ(dans un corps

de d´ecompostion deQ). Comme remarqu´e plus haut, les racines deQsont de la formeα+ni, o`u i=1(α+ni) =-qα-?q i=1ni.

Ce nombre est dansk, or?q

dansk, ce qui conclut la preuve.

Exercice 8 :

a) Montrer que pour toutn≥1, pourp1,...,pnnombres premiers distincts, l"extensionQ[⎷p

1,...,⎷p

n]/Q est de degr´e 2 n.

[Indication : on pourra montrer le mˆeme r´esultat pourp1,...,pndeux-`a-deux premiers entre eux

et sans facteurs carr´es (pas forc´ement premiers)]. b) En d´eduire que la famille (⎷p n)n?Ndes racines carr´ees des nombres premiers est libre surQ. 3

c) Plus g´en´eralement, montrer que la famille des racines carr´ees des entiers naturels sans facteur

carr´e est libre surQ.

Solution de l"exercice8.

a) On raisonne par r´ecurrence sur le nombrende nombres premiers. On montre en fait un r´esultat

un peu plus fort (par r´ecurrence) : pour toutn≥1, pourp1,...,pnentiers distincts sans facteur

carr´e et deux-`a-deux premiers entre eux, l"extensionQ[⎷p

1,...,⎷p

n]/Qest de degr´e 2n. - pourn= 1, il est clair que l"extensionQ[⎷p

1]/Qest de degr´e 2.

- pourn >1 : soientp1,...,pnnentiers distincts deux-`a-deux premiers entre eux et sans facteur carr´e. Supposons l"extensionQ[⎷p

1,...,⎷p

n]/Q[⎷p

1,...,⎷p

n-1] triviale. En utilisant

l"exercice 2 et l"hypoth`ese de r´ecurrence (appliqu´ee `ap1,...,pn-1etp1,...,pn-2,pn), il existe

x?Q[⎷p

1,...,⎷p

n-2] tel quepn=x2pn-1. Alors⎷p n-1pn?Q[⎷p

1,...,⎷p

n-2]. Cela contredit l"hypoth`ese de r´ecurrence appliqu´ee auxn-1 entiersp1,...,pn-2,pn-1pn. Cela conclut la preuve. b) C"est une cons´equence imm´ediate de la question pr´ec´edente. c) On montre le fait suivant par r´ecurrence surn: sip1,...,pnsontnentiers sans facteur carr´e deux-`a-deux premiers entre eux, alors la famille (1,⎷p

1,⎷p

2,⎷p

1p2,...,⎷p

1...pn), form´ee des

racines de tous les produits possibles de nombres choisis parmi lespi, est libre surQ.

On propose deux preuves de ce fait.

- Preuve utilisant la premi`ere question : on montre en fait que la famille (1,⎷p

1,⎷p

2,⎷p

1p2,...,⎷p

1...pn)

est une base deQ(⎷p

1,...,⎷p

n) surQ. Puisque cette famille est form´ee de 2n´el´ements, la

premi`ere question assure qu"il suffit de montrer qu"elle est g´en´eratrice. Et ceci est ´evident par

r´ecurrence surn.

- Preuve directe : pourn= 1, la propri´et´e est claire. Montrons l"h´er´edit´e : soientn >1 et

1,...,pndes entiers sans facteur carr´e deux-`a-deux premiers entre eux. Supposons la famille

(1,⎷p

1,⎷p

2,⎷p

1p2,...,⎷p

1...pn) li´ee : alors il existe une relation lin´eaire non triviale entre

ces nombres. Quitte `a s´eparer les ´el´ements de cette famille faisant intervenir un facteur⎷p

n des autres, cette relation s"´ecritα+β⎷p n= 0, avecα,β?Q(⎷p

1,...,⎷p

n-1). Par hypoth`ese de r´ecurrence, le termeβest non nul. On en d´eduit donc que⎷p n?Q(⎷p

1,...,⎷p

n-1), donc⎷p ns"´ecrit sous la forme⎷p n=a+b⎷p n-1, aveca,b?Q(⎷p

1,...,⎷p

n-2). On ´el`eve au carr´e, il restepn=a2+b2pn-1+ 2ab⎷p n-1. Par l"hypoth`ese de r´ecurrence appliqu´ee `a (p1,...,pn-1), cette relation implique queab= 0. Sia= 0, alorsp:=pn-1pnest un carr´e dansQ(⎷p

1,...,⎷p

n-2). Sib= 0, alorsp:=pn-1est un carr´e dansQ(⎷p

1,...,⎷p

n-2). n-2) et tel que la famille (1,⎷p

1,⎷p

2,⎷p

1p2,...,⎷p

1...pn-2p) soit li´ee. Cela contredit

l"hypoth`ese de r´ecurrence appliqu´ee auxn-1 entiers (p1,...,pn-2,p). Par cons´equent, la famille (1,⎷p

1,⎷p

2,⎷p

1p2,...,⎷p

1...pn) est libre surQ.

Il est alors clair que la propri´et´e d´emontr´ee r´epond `a la question, puisque toute famille finie de

racines carr´ees d"entiers sans facteur carr´e est contenue dans une famille de la forme pr´ec´edente,

`a savoir (1,⎷p

1,⎷p

2,⎷p

1p2,...,⎷p

1...pn) o`u lespisont sans facteurs carr´es et deux-`a-deux

premiers entre eux (on peut mˆeme supposer lespipremiers et deux-`a-deux distincts). Exercice 9 :SoitKun corps. SoientP=anXn+···+a0etQ=bmXm+···+b0deux polynˆomes

`a coefficients dansK, de degr´es respectifsnetm. On d´efinit le r´esultant Res(P,Q) dePetQcomme

4 le d´eterminant de la matrice de taillem+n( ((((((((((((a n0...0bm0...0 a n-1an......bm-1bm...... ...an-1...0...bm-1...0 a

0......anb0......bm

0a0an-10b0bm-1........................

0...0a00...0b0)

a) Montrer que Res(P,Q) est le d´eterminant de l"application lin´eaire (A,B)?→AP+BQentre des

espaces vectoriels de polynˆomes que l"on pr´ecisera. b) En d´eduire que Res(P,Q) = 0 si et seulement siPetQne sont pas premiers entre eux.

c) Application : trouver un ´el´ement primitif pour l"extensionQ[⎷2,⎷3], ainsi que son polynˆome

minimal. Mˆemes questions pour l"extensionQ[⎷p, ⎷q] o`upetqsont des nombres premiers distincts.

Solution de l"exercice9.

a) On consid`ere l"application lin´eaire?:K[X]m-1×K[X]n-1→K[X]m+n-1d´efinie par?(A,B) :=

AP+BQ, o`uK[X]dd´esigne leK-espace vectoriel des polynˆomes `a coefficients dansKet de et l"espace vectorielK[X]m+n-1de la base (Xm+n-1,...,X,1). On voit alors imm´ediatement que dans ces bases, la matrice de?est exactement celle d´efinie plus haut. b) Grˆace `a la question pr´ec´edente, Res(P,Q) = 0 si et seulement si?n"est pas injective. Supposons quePetQne soient pas premiers entre eux : il existe alorsR,S,T?K[X] polynˆomes non constants tels queP=RSetQ=RT. Alors on aTP+ (-S)Q= 0, i.e.?(T,-S) = 0, donc?n"est pas injective. R´eciproquement, supposons que?ne soit pas injective. Alors il existe (A,B)?Ker(?)\ {0}: AP+BQ= 0, i.e.AP=-BQ. Puisque le degr´e deAest strictement inf´erieur `a celui deQ, Qne divise pasA. DivisonsAetQpar leur PGCD, on obtient alors?AP=-B?Q, avec?Qnon constant, divisantQet premier `a?A. Fixons alorsf?K[X] un facteur irr´eductible de?Q. Alors fdivise?APet ne divise pas?A. DoncfdiviseP, i.e.fest un facteur commun `aPetQdans K[X].

c) L"extensionQ[⎷2,⎷3]/Qest clairement de degr´e 4. Cette extension est galoisienne (c"est un

corps de d´ecomposition de (X2-2)(X2-3) surQ), de groupe de GaloisZ/2Z×Z/2Z. L"action

du groupe de Galois sur les g´en´erateurs est la suivante : (1,0).⎷2 =-⎷2, (1,0).⎷3 =

⎷3, (0,1).⎷2 = ⎷2, (0,1).⎷3 =-⎷3. En particulier, l"´el´ementα:=⎷2 + ⎷3?Q[⎷2,⎷3] a ses quatre conjugu´es distincts, doncQ(α) =Q[⎷2,⎷3]. Par cons´equent,α=⎷2+ ⎷3 est un ´el´ement minimal.

Calculons son polynˆome minimal avec la m´ethode du r´esultant : la question pr´ec´edente assure

que siP,Q?Q[X], le r´esultant des polynˆomesP(X),Q(Y-X)?Q(Y)[X] est un polynˆome dansQ[Y] dont les racinesy?Qsont exactement lesx1+x2, o`ux1est une racine dePetx2est une racine deQdansQ. Ainsi les quatre racines deR(Y) := Res(X2-2,(Y-X)2-3)?Q[Y]

sont-elles exactement les quatre conjugu´es deα:±⎷2±⎷3. La calcul explicite donne ici :

R(Y) =?

???????1 0 1 0

0 1-2Y1

-2 0Y2-3-2Y

0-2 0Y2-3?

???????=Y4-10Y2+ 1. 5

Ce polynˆome annuleα, il est unitaire et de degr´e 4, c"est donc le polynˆome minimal deαsurQ.

En g´en´eral, pourQ[⎷p,

⎷q], le mˆeme raisonnement montre qu"un ´el´ement primitif est⎷p+⎷q et que son polynˆome minimal est

P(X) =X4-2(p+q)X2+ (p-q)2?Q[X].

Exercice 10 :SoitL/Kune extension alg´ebrique de corps. a) On suppose queL=K(x), pour unx?L. On notePle polynˆome minimal dexsurK. i) Soit une extension interm´ediaireK?M?L. Montrer qu"il existe un facteur unitaireQ dePdansL[X] tel queMsoit le corps engendr´e surKpar les coefficients deQ. ii) En d´eduire queL/Kn"a qu"un nombre fini de sous-extensions. b) On suppose queL/Kn"a qu"un nombre fini de sous-extensions. i) Montrer queL/Kest finie. ii) Montrer que siKest un corps fini, alors il existex?Ltel queL=K(x). iii) On supposeKinfini. Montrer que pour toutx,y?L, il existeλ?Ktel queK(x,y) = K(x+λy). En d´eduire qu"il existex??Ltel queL=K(x?).

Solution de l"exercice10.

a) i) On remarque que l"extensionL/Mest engendr´ee parx, i.e.L=M(x). NotonsQle po- lynˆome minimal dexsurM. AlorsQdivisePdansM[X], donc en particulierQest un facteur unitaire dePdansL[X]. Il est alors clair queMest engendr´e surKpar les coefficients deQ. ii) DansL[X], le polynˆomePn"admet qu"un nombre fini de facteurs unitaires (puisque dans une clˆoture alg´ebrique fix´eeLdeL,Pse d´ecompose en produit deX-xi,xi?L, et tout facteur unitaire dePdansL[X] est un produit de certains de cesX-xi). Par cons´equent, la question pr´ec´edente assure queL/Kn"a qu"un nombre fini de sous-extensions. b) i) SupposonsL/Kinfinie. On choisitx?L\K. Puisquexest alg´ebrique surK, l"extension L/K(x) est infinie (carK(x) est une extension finie deK), donc on conclut par r´ecurrence `a l"existence d"une tour infinie d"extensions interm´ediaires. Cela contredit l"hypoth`ese de finitude du nombre d"extensions interm´ediaires. Par cons´equent,L/Kest finie. ii) SiKest un corps fini,Lest aussi un corps fini, et on sait alors que le groupeL?est cyclique. On choisit un g´en´erateurx?L?de ce groupe. Il est alors clair queL=K(x). iii) SiKest infini etx,y?L, alors quandλd´ecritK, les extensions interm´ediairesK(x+λy) ne peuvent ˆetre deux-`a-deux distinctes. Donc il existeλ?=μ?Ktels queK(x+λy) = K(x+μy). En particulier, (x+λy)-(x-μu)?K(x+λy), i.e. (λ-μ)y?K(x+λy), doncy?K(x+λy), doncx?K(x+λy). Finalement, on a bienK(x,y)?K(x+λy). L"extensionL/Kest finie, donc de type finie : il existex1,...,xn?Ltels queL= K(x1,...,xn). On applique alors la premi`ere partie de la question (par r´ecurrence) pour en

d´eduire qu"il existeλ2,...,λn?Ktels queL=K(x1+λ2x2+···+λnxn), ce qui conclut.

Exercice 11 :Soitkun corps. Soitq(X1,...,Xn)?k[X1,...,Xn] une forme quadratique (un

polynˆome homog`ene de degr´e 2). On suppose queqadmet un z´ero non trivial dans une extension

K/kde degr´e impair dek. L"objectif est de montrer queqa un z´ero non trivial dansk(th´eor`eme de

Springer).

a) Montrer que l"on peut supposerK=k[α] monog`ene de degr´ed >1 impair. b) Sifest le polynˆome minimal deαsurk, montrer qu"il existeg1,...,gn?k[X] de degr´es< d, premiers entre eux dans leur ensemble, tels quefdiviseq(g1(X),...,gn(X)) dansk[X]. 6

c) En d´eduire l"existence d"une extensionK?/kde degr´e impair< dtelle queqa un z´ero non trivial

dansK?. d) Conclure.

e) Que dire d"un polynˆome homog`ene de degr´e 3 admettant un z´ero non trivial dans une extension

de degr´e 2?

Solution de l"exercice11.

a) L"extensionK/kest finie, donc de type fini. Il existe donc une tour finie d"extensions in- term´ediaires k=k0?k1? ··· ?kn-1?kn=K

telle queki+1/kisoit monog`ene pour touti. La formule de multiplicativit´e des degr´es assure alors

que pour touti, [ki+1:ki] est impair. Par r´ecurrence, on peut donc supposerK/kmonog`ene.

Et sid= 1, la conclusion est imm´ediate.

b) On note (x1,...,xn) une solution non triviale deq(X1,...,Xn) = 0 dansKn. PuisqueK≂= k[X]/(f), il existe des polynˆomeshi?k[X] de degr´es< d= deg(f) tels que pour touti,xi= h

i(α). On a alorsq(h1(α),...,hn(α)) = 0. Puisqueqest homog`ene et lesxi=hi(α) non tous nuls,

quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

[PDF] [PDF] Théorie des Nombres - TD7 Extensions de corps - IMJ-PRG

Universit

´ee 2012-2013 Module MM020

Th´eorie des Nombres - TD7

Extensions de corps

Exercice 1 :

Solution de l"exercice1.

Q∩[x-?;x+?],

Donc finalement pour

N:=bN!. Alorsθ-pNq

N=?∞

Que se passe-t-il en caract´eristique 2?

Solution de l"exercice2.

2n"est pas un carr´e dansK(puisqueT2n"est pas un carr´e dansK).

R[X]/(P)≂=C.

Cet isomorphisme est-il canonique?

R[X]/(P)→C.

Exercice 6 :

Solution de l"exercice6.

1!...dr!est ´egal au nombreC(d1,...,dr) de fa¸cons de

1!...dr!=(d1+···+dr+1)!d

1!...dr+1!.

Cela conclut la preuve.

1...PidansKi[X], etKi+1

P(X+ 1) =P(X)?k[X].

Ce nombre est dansk, or?q

Exercice 8 :

1,...,⎷p

Solution de l"exercice8.

1,...,⎷p

1]/Qest de degr´e 2.

1,...,⎷p

1,...,⎷p

1,...,⎷p

1,...,⎷p

1,⎷p

2,⎷p

1p2,...,⎷p

1...pn), form´ee des

On propose deux preuves de ce fait.

1,⎷p

2,⎷p

1p2,...,⎷p

1...pn)

1,...,⎷p

1,...,pndes entiers sans facteur carr´e deux-`a-deux premiers entre eux. Supposons la famille

1,⎷p

2,⎷p

1p2,...,⎷p

1...pn) li´ee : alors il existe une relation lin´eaire non triviale entre

1,...,⎷p

1,...,⎷p

1,...,⎷p

1,...,⎷p

1,...,⎷p

1,⎷p

2,⎷p

1p2,...,⎷p

1...pn-2p) soit li´ee. Cela contredit

1,⎷p

2,⎷p

1p2,...,⎷p

1...pn) est libre surQ.

1,⎷p

2,⎷p

1p2,...,⎷p

1...pn) o`u lespisont sans facteurs carr´es et deux-`a-deux

0......anb0......bm

0a0an-10b0bm-1........................

0...0a00...0b0)

Solution de l"exercice9.

R(Y) =?

0 1-2Y1

0-2 0Y2-3?

En g´en´eral, pourQ[⎷p,

P(X) =X4-2(p+q)X2+ (p-q)2?Q[X].

Solution de l"exercice10.

Springer).

Solution de l"exercice11.

Et sid= 1, la conclusion est imm´ediate.