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linéaire (`a matrice du type Vandermonde ; ici écrit pour n = 2) Théor`eme 1 2 ( formule de Newton) Le polynôme d'interpolation de degré n qui Comme d(x) est différentiable, on peut appliquer n fois le théor`eme de Rolle (voir le cours

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Chapitre2

Interpolationpolynomiale

2.1Motiv ations

Enan alysenum´erique,unefonct ionfinconnueexplicitementestsouv ent -connueseulementencertainspointsx 0 ,x 1 ,...,x d

Maisdansde nombreuxcas,on abesoi nd'e

ectuerdesop´ erations(d´er ivation,int´egration, ...)su rlafonction f. Onc herchedonc`areconstru irefparuneautr efo nctionf r simpleetfacile` a´eval uer`apartir desdonn´e esdiscr`etesdef.Onesp`erequelemod`elef r nes erapastrop´el oign´e delafonction fauxautr espoints.

1-0.500.51

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Ons' int´eressedanscecours`alareconstruc tiondefpardespo lynˆome s.

Pourquoilespolynˆomes?

1.Th ´eor`emed'approximationdeWeier strass:pourtoutefonctionfd´efinieetcontinuesur

l'intervalle[a,b]etpourtout!>0,il existe unpolynˆomeptelque !x"[a,b],|f(x)#p(x)|2.L asimpl icit´edel'´evaluationd'unpolynˆomeparl esch´ema deH ¨or ner : n j=0 c j x j (c n x+c n!1 )x+c n!2 x+...c 1 x+c 0 Pluspr´ecis´ ement,´etantdonn´esd+1pointsd'abscissesdistinctesM i =(a i ,f i ),i=0,1,...,d danslepla n,leprobl `emedel'interpolationpolynomialeconsiste`atrouverunpol ynˆome de degr´einf´erieurou ´egal`amdontlegraphe passepar lesd+1pointsM i ,c'est-`a-dire trouverp"P m telquep(a i )=f i ,!i=0,1,...,d.(2.1) 10

2.2Exist encedel'interpolantetsa for medeLagrange

2.2.1Introdu ction

2points:d=1

Naturellement,leprobl`emedetrouverun poly nˆomededegr´ein f´er ieu rou ´ega l`a 1do nt le

graphepassepar2p ointsM 0 =(a 0 ,f 0 )etM 1 =(a 1 ,f 1 )d'abscissesdi

´erentesa

0 $=a 1 esttr`es facile:ilsu tde choisir l'uniquepolynˆomedont legrapheestladr oite(M 0 M 1 Ene et,onpo sep(x)="x+#eto ncherch e"et#telsquep(a 0 )=f 0 etp(a 1 )=f 1 .On obtientsimplement f 1 #f 0 a 1 #a 0 #=f 0 #"a 0 ,p(x)= f 1 #f 0 a 1 #a 0 (x#a 0 )+f 0

3points:d=2

Lorsqu'ondisposede3poin tsd'abscissesdeux`ade uxdisti nctesetquel'on chercheun polynˆomedeP 2 ,leprobl`emeest`apeineplusdi cile.Legraphedupolynˆomech erch´eest g´en´eralementuneparabole(correspondant `aunpolyn ˆomededegr´e2).Maisdanslecaso`ules

3pointssontalign´es,legraphedupolynˆomecherch´eestunedro itecommedanslecas d=1.

Casg´en ´eral

Danslecasg ´en´er al,leprob l`eme(2.1)peutn'avoiraucunesolutionoubienenavoirune infinit´e. Exercice11.Mont rerqu'ilexisteunei nfinit´edepolynˆomes passantparles pointsM 0 (0,0)etM 1 =(1,1).

2.Tr ouver4r´eelsf

0 ,f 1 ,f 2 ,f 3 ,telsqu'aucungraphedepolynˆomedeP 2 nepas separles4 pointsM 0 =(#1,f 0 ),M 1 =(0,f 1 ),M 2 =(1,f 2 )etM 3 =(2,f 3 Ilpar aˆıtassezclairquep ourqueleprobl`eme(2 .1)aituneuniquesolutio nilfaut´etablirune relationentremetd.Pourd´eterminerp"P m ,ondoittrouvertoussescoe cientsetilssont aunom bredem+1.Ondisposepourcefairedesd+1relationsp(a i )=f i ,i=0,1,...,d.Ilest doncasse z´evidentquepoure sp´ererunesolutionuniqueau probl`eme(2.1),ondoitsupp oser quem=d.

2.2.2Existen cedupolynˆomed'interpolati on

Th´eor`eme3SoitA={a

0 ,a 1 ,...,a d }unen sembleded+1r´eelsdistincts. Quelsquesoient lesd+1r´eelsf 0 ,f 1 ,...,f d ,ilexisteunetunseulpolynˆomep"P d telquep(a i )=f i !i=0,1,...,d.

Preuve:Ond´ecomposepdanslabas ecanoniq uee

0 ,e 1 ,...,e d deP d d´efiniepare i (x)=x i pourtouti=0,...,d: p= d j=0 j e j

Ons aitalorsquepv´erifiep(a

i )=f i ,!i=0,1,...,dsiet seuleme ntsi !i=0,1,...,d, d j=0 j (a i j =f i .(2.2) 11 (2.2)estunsys t`emelin´ eaired ed+1´equations`ad+1inconnues(" 0 1 d ).O rle d´eterminantdecesyst`emelin´eair eest 1a 0 ...a d 0 1a i ...a d i 1a d ...a d d d i=1 i!1 j=0 (a i #a j Onl' appelleled´eterminantdeVand erMon de.Commelesa i sonttousd istincts,ona #$=0 etl esyst` eme(2.2)admetuneuniques olutionquid´eter minelepolynˆomep.!

2.2.3Formed eLagrange

SoitA={a

0 ,a 1 ,...,a d }unens embleded+1r´eelsdistincts.

Ond´ efinit,pourj=0,1,...,d,

l j,d (x)= (x#a 0 )(x#a 1 )...(x#a j!1 )(x#a j+1 )...(x#a d (a j #a 0 )(a j #a 1 )...(a j #a j!1 )(a j #a j+1 )...(a j #a d d k=0 k"=j x#a k a j #a k .(2.3) Lespoly nˆomesd´efinisci-dessussontdes polynˆomesdedegr´edeton lesapp ellelespo- lynˆomesfondamentau xdeLagrangeassoci´es`aA.

Proposition11.Les polynˆom esl

0,d ,l 1,dquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34