Exercice 4 Déterminer en fonction de a et b réels toutes les matrices de M2,2(R) qui commutent avec la matrice ( a 0
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[PDF] Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices
Exercice 3 – On consid`ere les matrices `a coefficients réels : A = ( 1 3 2 4 ) Exercice 8 – Appliquer avec précision aux matrices M et N suivantes l'algorithme du cours qui détermine si Cette équation a comme unique solution : X = 1 2
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Exercice 1 On considère les matrices à coefficients réels et définies par : La matrice est une matrice triangulaire avec uniquement des zéros sur la diagonale
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Matrices Pascal Lainé 1 Matrices Exercice 1 Pour une matrice à une ligne et une colonne de ℳ1(ℝ) on posera ( ) = Soit = ( 1 2 3 )
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Exercice n°3 1) Donner une matrice dont la transposée est égale à son opposée 2) Donnez la matrice A telle que pour tout indice i et j avec, 1 3 i≤ ≤ et 1 3
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de E dans E La composée de cette application avec f a pour matrice In : c'est Si la matrice A est inversible, alors la solution s'écrit x = A−1b Exercice 1
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87 EXERCICES DE Exercice 5 On considère une matrice carrée d'ordre n à coefficients réels S = pij ( ) et on suppose que comparaison avec une intégrale impropre Indication: on pourra essayer une solution de la forme y x( ) = e ax
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et calcul matriciel Aides à la résolution et correction des exercices with Maths SUP 2) Déterminer enfin, suivant les valeurs de u, les solutions de (1) Montrer que les matrices suivantes sont inversibles et calculer leur inverse : 31-1
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Donc le déterminant de Vandermonde est non nul si et seulement si x, y et z sont tous différents Correction de l'exercice 3 3 (Inversion des matrices) 1 Inversion
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2 Si A et B sont deux matrices carrées de même ordre et si AB = O (avec O la matrice carrée nulle de même ordre) alors
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TD 4: Matrices
Institut Galilée. L1, algèbre linéaire
Année 2013-2014, 2ème semestre
Exercice 1.On donne les matrices suivantes :
M=1 2 4
2 6 0 ;N=a1c 2 1 0 ;P=1 2p31 ;T=0 @3i 52 + 2i1
A etU=p2 5 5 oùaetcsont des nombres complexes. a)Donner les coefficients suivants de la matrice M :m2;3,m1;2. b)Calculer, lorsque c"est possible, les sommes suivantes :M+N;N+P;M+tN c)Calculer, lorsque c"est possible, les produits suivants :MN;MtN;MP;PM;UT;TU;iN;p2T d)A quelles conditions sur les dimensions des matricesAetBpeut-on calculer la sommeA+tB? e)A quelles conditions sur les dimensions des matricesAetBpeut-on calculer le produitAtB?Exercice 2.Soient les matrices :
-A=1 2 1; -Bn= [bij]1i;jnoùbi;j= 0sii < j,bi;j=i+jsinon; -Cn= [cij]1i;jnoùci;j= 0sijijj>1,bi;j= 1sinon, -Dn= [di1]1inoùdi1=xi11. Ecrire la matriceB4et la matriceC4
2. Calculer les produitsAC3ettC3C3
3. Calculer les produits
tCnCnetCntCnExercice 3.Soient les matricesC=1 2
14 ,D=31 4 2 etX=a b c d a)Résoudre l"équationXC=D, d"inconnueX. b)Résoudre l"équationCX=D, d"inconnueX. Exercice 4.Déterminer en fonction deaetbréels toutes les matrices deM2;2(R)qui commutent avec la matricea0 0bExercice 5.Soit la matriceA=2 1
02 , En utilisant l"égalitéA=2I2+0 1 0 0 et en vérifiant que l"on peut utiliser la formule du binôme de Newton, calculerAn. Exercice 6.Dire si les matrices suivantes sont inversibles. Si oui, donner leur inverse : A=0 BB@3 0 0 0
0 2i0 0
0 0 3 + 4i0
0 0 021
C CAB=0 BB@1 21 0
0 0 01
0 0i00 0 0 21
C CAC=0 BB@i21 0
02 41 2 0i00 12 0;51
CCAD=23
1 2 E=2 3 46F=2 31
46 3G=x3 2 1 en fonction du paramètrex2C: 1
Exercice 7.On considére les matricesA=46
2 3 etB=33 22Effectuer le produitAB.AetBsont-elles inversibles?
Exercice 8.Soit pour2Rla matrice33R=0
@cos() sin() 0 sin() cos() 00 0 11
A a)CalculerRRpour;2R. b)La matriceRest-elle inversible? Si oui calculer son inverse.Exercice 9.En utilisant la méthode du pivot, dire si les matrices suivantes sont inversibles et donner
leur inverse A=0 @1 24 0 1 3 1 311 A B=0 @1813 1 4 20 1 31
A C=0 BB@1 211
25 3113 21
1 22 11
C CA Exercice 10.Résoudre dansR3en fonction du paramètremle système linéaire suivant : 8< :mx+y+z= 03xy+ 2z= 2m
mxy2z= 4 Discuter en fonction du paramètreml"inversibilité de la matriceM=0 @m1 1 31 2m121 A
Déterminer l"inverse deMdans le cas oùm= 2.
Exercice 11.Déterminer les inverses des matricesA=1 0;991;01 1
etB=1 0;99 1 1A votre avis, quel problème se pose si on calcule l"inverse d"une matrice en remplaçant chacun de ses
coefficients par une valeur approchée?Exercice 12.On considère les matricesA=7 5
641. Calculer la matriceA23A+ 2I2.
2. Soitnun entier supérieur ou égal à 2. Expliquer pourquoi il existe des nombres réelsanetbnet
un polynômeQn(X)tels que X n= (X23X+ 2)Qn(X) +anX+bn A l"aide des racines du polynômeX23X+ 2, calculeranetbn.On ne cherchera pas à calculerQn(X).
3. en déduire le calcul de la matriceAn.
2 Exercices à préparer pour le contrôle continuExercice 13.SoientAetBdeux matrices,A=21
1 4 etAB=12 561 1 10
DéterminerB.
Exercice 14.Déterminer en fonction dea2Retb2Rtoutes les matrices22qui commutent aveca b 0 0Exercice 15.Les matrices suivantes :
M=0 @21 3 3 2 2611 11
A ;N=0 @111 2 22 22 21A ;P=0 B
B@2 5 6 0
2 3 1;5 0;5
122 00 1 2;5 01
C CA sont-elles inversibles? Donner l"inverse des matrices qui le sont. Exercice 16.Pour quelles valeurs du paramètremla matriceE=0 @11 2 m1m2m22m3m11
A est-elle inversible? Calculer l"inverse de la matrice dans le cas oùm= 0puis dans le cas oùm= 1.Exercice 17.
a)Calculer l"inverse de la matriceA=0 @1=4 3=2 1=4 1 0 01 2 11
A , en réduisant la matrice augmentée(AjI3)à la forme écheloné simplifiée.
b)EcrireA1sous la forme d"un produitE1E2:::En, oùE1;E2, ...Ensont des matrices élémentaires que
vous préciserez.Exercice 18.Résoudre dansR3en fonction des paramètres rélsa,betcle système linéaire suivant :
8< :x+yz=a