[PDF] Calculer le polynôme caractéristique et les valeurs propres de A PDF Corrige8.pdf

Exercice 2 Soit T : R4 → R4 une application linéaire définie par Calculer les valeurs propres de T, et donner une base de chaque espace propre Corrigé La première chose à faire est de trouver la matrice de T dans un choix de base

Soit e un vecteur propre de f pour la valeur propre 1 Démontrer que (e,u,v,w) est une base de R4 Donner la matrice de f dans cette base

[PDF] Série dexercices no4/6 Recherche de valeurs propres Résolution

Deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres 5 une matrice A est diagonalisable s'il existe une matrice D diagonale (composée de valeurs

[PDF] Valeurs propres et vecteurs propres

Un vecteur x est un vecteur propre de la matrice A carrée de taille n × n appelée vecteur propre associé à la valeur propre λ Exercice Montrer que 4 est une

[PDF] Exercices du chapitre 4 avec corrigé succinct

Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice diagonale 3 Montrer que : A non inversible ⇐⇒ 0 est valeur propre de A Solution : 1

[PDF] Calculer le polynôme caractéristique et les valeurs propres de A

[PDF] Déterminant Valeurs propres, vecteurs propres, polynôme

Exercice 1 Pour quelles valeurs de a la matrice A est-elle inversible ? et en déduire que X est vecteur propre ; quelle est la valeur propre associée ? 2

[PDF] CORRECTION DU TD 3 Exercice 1

Exercice 1 1) Pour savoir si cette matrice est diagonalisable dans Ainsi, on a : Pour conclure, on étudie le sous-espace propre associé à la valeur propre en

[PDF] Chapitre 4: Valeurs propres et vecteurs propres

c) Pour chaque valeur propre, déterminer l'espace propre associé d) En déduire la transformation géométrique définie par cette matrice Exercice 4 11 : On

[PDF] ISCID-CO - Côte dOpale Laurent SMOCH

appelé un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ Faire l'analyse spectrale revient à connaître les valeurs propres d'une matrice et les vecteurs propres

[PDF] 8-diagonalisation-corriges - Optimal Sup Spé

Aides à la résolution et correction des exercices Maths SUP - Filière MPSI Valeurs propres d'une matrice et polynome annulateur 0 1) Soit A la matrice

Exercice 1SoitA=(

(-1 2 3 0-2 0

1 2 1)

)?M3×3(R).Calculer le polynôme caractéristique et les valeurs propres deA. Donner les multiplicités algébriques des valeurs propres deA.

Corrigé

On va calculer

A(t) = det(A-t·I3) = det((

(-1-t2 3

0-2-t0

12 1-t)

On développe par rapport à la deuxième ligne, et on obtient c

A(t) = (-1)2+2(-2-t)det(?-1-t3

1 1-t?

) =-(t+ 2)(t2-4) =-(t+ 2)2(t-2). On a donc obtenu le polynôme caractéristique deA. Les valeurs propres deAsont les racines decA(t), et sont donc égales à-2et2. Grâce au polynôme caractéristique, on constate que la multiplicité algébrique de-2vaut2(puisque le terme(t+2)apparaît au carré), et la multiplicité algébrique de2vaut1(le terme(t-2)apparaît une fois, à la puissance1). Exercice 2SoitT:R4→R4une application linéaire définie par T((a,b,c,d)) = (3a+b+d,-5a-5b-3c-2d,-a+b+d,4a+ 6b+ 3c+ 3d). Calculer les valeurs propres deT, et donner une base de chaque espace propre. L"applica- tionTest-elle diagonalisable?

Corrigé

La première chose à faire est de trouver la matrice deTdans un choix de base. Pour simplifier, on choisit la base canonique, que l"on noteB. On obtient ainsi [T]BB=( (((3 1 0 1 -5-5-3-2 -1 1 0 1

4 6 3 3)

)))=A.

Le polynôme caractéristique deTest donc

T(t) =cA(t) = det(A-t·I4) = det((

(((3-t1 0 1 -5-5-t-3-2 -1 1-t1

4 6 3 3-t)

= det( (((3-t1 0 1 -5-5-t-3-2 -1 1-t1 -1 1-t0 1-t)

où la dernière égalité est obtenue en ajoutant la deuxième ligne à la quatrième, ce qui ne

change pas le déterminant. 1 En développant par rapport à la troisième colonne, on trouve c

A(t) = (-1)2+3(-3)det((

(3-t1 1 -1 1 1 -1 1-t1-t) +(-1)3+3(-t)det(( (3-t1 1 -5-5-t-2 -1 1-t1-t)

Dans la première matrice, on soustrait la deuxième ligne à la première. Dans la deuxième

matrice, on soustrait la troisième colonne à la deuxième. (Puisquedet(A) = det(AT), on peut faire des opérations élémentaires sur les colonnes également, qui modifient le

déterminant de la même manière que les opérations élémentaires sur les lignes). On trouve

A(t) = 3det((

(4-t0 0 -1 1 1 -1 1-t1-t) ))-tdet(( (3-t0 1 -5-3-t-2 -1 0 1-t) On développe le premier déterminant par rapport à la première ligne, et le second par rapport à la deuxième colonne. On a ainsi c

A(t) = 3(-1)1+1(4-t)det(?1 1

1-t1-t?

)-t(-1)2+2(-3-t)det(?3-t1 -1 1-t? = 3(4-t)0 +t(3 +t)(t2-4t+ 4) =t(t+ 3)(t-2)2. Les valeurs propres deT(ou deA, de manière équivalente) sont donc-3,0,2. Pour

calculer l"espace propre associé à la valeur propreλ, on cherche à résoudre le système

(A-λI4)X= 0, on va donc échelonner la matriceA-λI4.

Commençons parE-3:

A-(-3)I4=(

(((6 1 0 1 -5-2-3-2 -1 1 3 1

4 6 3 6)

On échelonne comme suit :

(((6 1 0 1 -5-2-3-2 -1 1 3 1

4 6 3 6)

)))L

1→L1+L2-→(

(((1-1-3-1 -5-2-3-2 -1 1 3 1

4 6 3 6)

)))L

2→L2+5L1,

3→L3+L1,-→L

4→L4-4L1(

(((1-1-3-1

0-7-18-7

0 0 0 0

0 10 15 10)

3↔L4-→(

(((1-1-3-1

0-7-18-7

0 10 15 10

0 0 0 0)

)))L

3→1

L3-→(

(((1-1-3-1

0-7-18-7

0 1 3 2 1

0 0 0 0)

)))L

2→L2+7L3-→(

(((1-1-3-1

0 0-15

2 0 0 1 3 2 1

0 0 0 0)

2→-2

L2-→(

(((1-1-3-1

0 0 1 0

0 1 3 2 1

0 0 0 0)

)))L

2↔L3-→(

(((1-1-3-1 0 1 3 2 1

0 0 1 0

0 0 0 0)

)))L

1→L1+3L3,-→

2→L2-3

2 L3( (((1-1 0-1

0 1 0 1

0 0 1 0

0 0 0 0)

2 L

1→L1+L2-→(

(((1 0 0 0

0 1 0 1

0 0 1 0

0 0 0 0)

Les vecteurs propres deTcorrespondant à la valeur propre-3sont donc de la forme (0,x,0,-x)pourx?R, d"où le fait que((0,1,0,-1))est une base deE3. On fait de même pourE0:A-0I4=A,qu"on échelonne : (((3 1 0 1 -5-5-3-2 -1 1 0 1

4 6 3 3)

)))L

1↔L3-→(

(((-1 1 0 1 -5-5-3-2

3 1 0 1

4 6 3 3)

)))L

1→-L1,

2→L2-5L1,-→L

3→L3+3L1,

4→L4+4L1(

(((1-1 0-1

0-10-3-7

0 4 0 4

0 10 3 7)

3→1

L3,-→L

4→L4+L2(

(((1-1 0-1

0-10-3-7

0 1 0 1

0 0 0 0)

)))L

2↔L3-→(

(((1-1 0-1

0 1 0 1

0-10-3-7

0 0 0 0)

)))L

3→L3+10L2-→(

(((1-1 0-1

0 1 0 1

0 0-3 3

0 0 0 0)

1→L1+L2,-→

3→-1

3 L3( (((1 0 0 0

0 1 0 1

0 0 1-1

0 0 0 0)

On obtient doncE0={(0,-x,x,x)|x?R}= Vect({(0,-1,1,1)}).

Finalement, on fait de même pourE2, et on a

A-2I3=(

(((1 1 0 1 -5-7-3-2 -1 1-2 1

4 6 3 1)

On échelonne comme suit :

(((1 1 0 1 -5-7-3-2 -1 1-2 1

4 6 3 1)

)))L

2→L2+5L1,

3→L3+L1,-→L

4→L4-4L1(

(((1 1 0 1

0-2-3 3

0 2-2 2

0 2 3-3)

)))L

3→1

L3,-→L

4→L4+L2(

(((1 1 0 1

0-2-3 3

0 1-1 1

0 0 0 0)

2↔L3-→(

(((1 1 0 1

0 1-1 1

0-2-3 3

0 0 0 0)

)))L

3→L3+2L2-→(

(((1 1 0 1

0 1-1 1

0 0-5 5

0 0 0 0)

)))L

3→-1

L3-→(

(((1 1 0 1

0 1-1 1

0 0 1-1

0 0 0 0)

2→L2+L3-→(

(((1 1 0 1

0 1 0 0

0 0 1-1

0 0 0 0)

)))L

1→L1-L2-→(

(((1 0 0 1

0 1 0 0

0 0 1-1

0 0 0 0)

On trouve doncE2={(-x,0,x,x)|x?R}= Vect({(-1,0,1,1)}). L"applicationTn"est donc pas diagonalisable, puisqu"on ne peut pas trouver une base deR4formée de vecteurs propres : on a trois valeurs propres, et les espaces propres correspondant sont tous de dimension1.quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

[PDF] [PDF] Calculer le polynôme caractéristique et les valeurs propres de A

Exercice 1SoitA=(

1 2 1)

Corrigé

On va calculer

A(t) = det(A-t·I3) = det((

0-2-t0

12 1-t)

A(t) = (-1)2+2(-2-t)det(?-1-t3

1 1-t?

Corrigé

4 6 3 3)

Le polynôme caractéristique deTest donc

T(t) =cA(t) = det(A-t·I4) = det((

4 6 3 3-t)

A(t) = (-1)2+3(-3)det((

A(t) = 3det((

A(t) = 3(-1)1+1(4-t)det(?1 1

1-t1-t?

Commençons parE-3:

A-(-3)I4=(

4 6 3 6)

On échelonne comme suit :

4 6 3 6)

1→L1+L2-→(

4 6 3 6)

2→L2+5L1,

3→L3+L1,-→L

4→L4-4L1(

0-7-18-7

0 0 0 0

0 10 15 10)

3↔L4-→(

0-7-18-7

0 10 15 10

0 0 0 0)

3→1

L3-→(

0-7-18-7

0 0 0 0)

2→L2+7L3-→(

0 0-15

0 0 0 0)

2→-2

L2-→(

0 0 1 0

0 0 0 0)

2↔L3-→(

0 0 1 0

0 0 0 0)

1→L1+3L3,-→

2→L2-3

0 1 0 1

0 0 1 0

0 0 0 0)

1→L1+L2-→(

0 1 0 1

0 0 1 0

0 0 0 0)

4 6 3 3)

1↔L3-→(

3 1 0 1

4 6 3 3)

1→-L1,

2→L2-5L1,-→L

3→L3+3L1,

4→L4+4L1(

0-10-3-7

0 4 0 4

0 10 3 7)

3→1

L3,-→L

4→L4+L2(

0-10-3-7

0 1 0 1

0 0 0 0)

2↔L3-→(

0 1 0 1

0-10-3-7

0 0 0 0)