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des sciences en 1851. Chasles expose la relation qui porte son nom à la page 46/643 de son Traité de géométrie

supérieure (1852) I Soient [ AC ] et [ BD ] deux diamètres d"un cercle C.

Démontrer que--→AD+-→AB=-→AC

II Construction et démonstration

On considère un triangleABC :

0123456789

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

× ××A BC

1. Construireles points I, J, K et L définis par :

-→AI=-→AB+-→AC •-→AJ=-→AB--→AC •--→AK=2-→AB--→AC •-→BL=-2-→AC

Remarque 2-→AB=-→AB+-→AB.

2. En utilisant la relation de Chasles, démontrer

que-→JK=-→AB.

3. Démontrer ensuite que-→CI=-→AB

4. En déduire que le quadrilatère CIKJ est un pa-

rallélogramme.

5. DémontrerquelespointsI,B,JetLsontalignés.

III

Démontrer les égalités suivantes :

1. 2. 2 3.

4.--→AB+-→BC---→C A+3-→AB--→AC-2-→CB=-→BC

IV Soit I le milieu d"un segment [ AB ] et M un point n"appartenantpas à la droite ( AB ).

1. Construire les points C et D tels que

-→IC=-→I A+--→IMet-→ID=-→IB+--→IM.

2. Quelle est la nature des quadrilatères AIMC et

IBDM?

3. Démontrer que M est le milieu de [CD].

4. Démontrer que

-→IC=--→BM.

5. Soit E le symétrique de I par rapport à M.

(a) Traduire cette propriété par une égalité vectorielle. (b) Démontrer que -→IC+-→ID=-→IE.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1