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Exo7

Année 2020

QCM DE MATHÉMATIQUES-LILLE-PARTIE2Répondre en cochant la ou les cases correspondant à des assertions vraies

(et seulement celles-ci). Ces questions ont été écrites par Abdellah Hanani et Mohamed Mzari de l"université de Lille. Ce travail a été effectué en 2019 dans le cadre d"un projet Liscinum

porté par l"université de Lille et Unisciel.Ce document est diffusé sous la licenceCreative Commons - BY-NC-SA - 4.0 FR.

Sur le site Exo7 vous pouvez récupérer les fichiers sources. 1

Table des matières

I Algèbre

4

1 Systèmes d"équations linéaires

4

1.1 Systèmes d"équations linéaires | Niveau 1

4

1.2 Systèmes d"équations linéaires | Niveau 2

6

1.3 Systèmes d"équations linéaires | Niveau 3

7

1.4 Systèmes d"équations linéaires | Niveau 4

12

2 Espaces vectoriels

14

2.1 Espaces vectoriels | Niveau 1

14

2.2 Espaces vectoriels | Niveau 2

15

2.3 Espaces vectoriels | Niveau 3

16

2.4 Espaces vectoriels | Niveau 4

17

2.5 Base et dimension | Niveau 1

20

2.6 Base et dimension | Niveau 2

20

2.7 Base et dimension | Niveau 3

22

2.8 Base et dimension | Niveau 4

25

2.9 Espaces vectoriels supplémentaires | Niveau 1

25

2.10 Espaces vectoriels supplémentaires | Niveau 2

26

2.11 Espaces vectoriels supplémentaires | Niveau 3

27

3 Applications linéaires

28

3.1 Applications linéaires | Niveau 1

28

3.2 Applications linéaires | Niveau 2

29

3.3 Applications linéaires | Niveau 3

30

3.4 Applications linéaires | Niveau 4

31

3.5 Noyau et image | Niveau 1

31

3.6 Noyau et image | Niveau 2

32

3.7 Noyau et image | Niveau 3

33

3.8 Noyau et image | Niveau 4

35

4 Calcul matriciel

37

4.1 Calcul matriciel | Niveau 1

37

4.2 Calcul matriciel | Niveau 2

39

4.3 Calcul matriciel | Niveau 3

41

4.4 Calcul matriciel | Niveau 4

42

4.5 Inverse d"une matrice | Niveau 1

44

4.6 Inverse d"une matrice | Niveau 2

44

4.7 Inverse d"une matrice | Niveau 3

45

4.8 Inverse d"une matrice | Niveau 4

47

5 Applications linéaires et matrices

48

5.1 Matrice d"une application linéaire | Niveau 1

48

5.2 Matrice d"une application linéaire | Niveau 2

51

5.3 Matrice d"une application linéaire | Niveau 3

54

5.4 Matrice d"une application linéaire | Niveau 4

58
2

II Analyse62

6 Primitives des fonctions réelles

62

6.1 Primitives | Niveau 1

62

6.2 Primitives | Niveau 2

65

6.3 Primitives | Niveau 3

69

6.4 Primitives | Niveau 4

73

7 Calculs d"intégrales

77

7.1 Calculs d"intégrales | Niveau 1

77

7.2 Calculs d"intégrales | Niveau 2

79

7.3 Calculs d"intégrales | Niveau 3

81

7.4 Calculs d"intégrales | Niveau 4

87

8 Développements limités

89

8.1 Opérations sur les DL | Niveau 1

89

8.2 Opérations sur les DL | Niveau 2

91

8.3 Opérations sur les DL | Niveau 3

92

8.4 Opérations sur les DL | Niveau 4

96

8.5 Applications des DL | Niveau 1

97

8.6 Applications des DL | Niveau 2

98

8.7 Applications des DL | Niveau 3

100

8.8 Applications des DL | Niveau 4

101

9 Equations différentielles

103

9.1 Equations du premier ordre | Niveau 1

103

9.2 Equations du premier ordre | Niveau 2

104

9.3 Equations du premier ordre | Niveau 3

105

9.4 Equations du premier ordre | Niveau 4

106

9.5 Equations du second ordre | Niveau 1

108

9.6 Equations du second ordre | Niveau 2

109

9.7 Equations du second ordre | Niveau 3

110

9.8 Equations du second ordre | Niveau 4

112

10 Courbes paramétrées

112

10.1 Courbes paramétrées | Niveau 1

112

10.2 Courbes paramétrées | Niveau 2

113

10.3 Courbes paramétrées | Niveau 3

114

10.4 Courbes paramétrées | Niveau 4

115
3

Première partie

AlgèbreSystèmes d"équations linéaires

Abdellah Hanani, Mohamed Mzari

1 Systèmes d"équations linéaires

1.1 Systèmes d"équations linéaires | Niveau 1

Question 1

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :xy+z=0 xyz=0

3x+2y+z=0.

Quelles sont les assertions vraies?

ƒ(?),8

:xy+z=0

5y2z=0

z=0.

ƒ(?)admet une infinité de solutions.

ƒ(?)n"admet pas de solution.

ƒ(?)admet une unique solution.

Question 2

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :x+2y+z=0 x+z=0 x+y=0.

Quelles sont les assertions vraies?

ƒ(?),§y=x

z=x.

ƒL"ensemble des solutions de(?)est une droite.

ƒ(?)n"admet pas de solution.

ƒ(?)admet une unique solution.

4

Question 3

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :xy+2z=1

2x+2y4z=2

3x3y+6z=3.

Quelles sont les assertions vraies?

ƒ(?),xy+2z=1.

ƒL"ensemble des solutions de(?)est un plan.

ƒ(?)n"admet pas de solution.

ƒ(?)admet une unique solution.

Question 4

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :x+yz=2 x+y+z=0

2x+z=1.

Quelles sont les assertions vraies?

ƒ(?),8

:x+yz=2 y=1 z=1.

ƒ(?)admet une infinité de solutions.

ƒ(?)n"admet pas de solution.

ƒ(?)admet une unique solution.

Question 5

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :xy+z=1

2x3y+4z=1

y+z=1.

Quelles sont les assertions vraies?

ƒ(?),8

:xy+z=1 y2z=1 z=0. 5 ƒLes équations de(?)sont celles de trois plans.

ƒ(?)admet une unique solution.

ƒ(?)n"admet pas de solution.

Question 6

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :xy+z=1

2x3y+4z=1

x2y+3z=1.

Quelles sont les assertions vraies?

ƒ(?),§xy+z=1

y2z=1.

ƒ(?)admet une infinité de solutions.

ƒ(?)admet une unique solution.

ƒ(?)n"admet pas de solution.

1.2 Systèmes d"équations linéaires | Niveau 2

Question 7

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :x+y+z=1 x y+z=0 xy=1.

Quelles sont les assertions vraies?

ƒ(?)est un système d"équations linéaires.

ƒ(?),8

:z=2x y=1+x x y+z=0.

ƒ(?)admet une unique solution.

ƒ(?)admet deux solutions distinctes.

Question 8

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :x+y+z=1

2x+yz=1

3x+y3z=3

x2z=2.

Quelles sont les assertions vraies?

6

ƒ(?),§x+y+z=1

y+3z=3.

ƒL"ensemble des solutions de(?)est une droite.

ƒ(?)n"admet pas de solution.

ƒ(?)admet une unique solution.

1.3 Systèmes d"équations linéaires | Niveau 3

Question 9

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z,t)2R4et de paramètres des réels a,b,cetd: (?)8 :x+y=a y+z=b z+t=c t+x=d.

Quelles sont les assertions vraies?

ƒ(?),8

:x+y=a y+z=b z+t=c. ƒ(?)admet une solution si et seulement sia+c=b+d. ƒ(?)admet une solution si et seulement sia+b=c+d.

ƒLe rang de(?)est 3.

Question 10

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3et de paramètres des réels non nuls et distinctsa,betc: (?)8 :ax+ay+bz=b bx+by+cz=c cx+cy+az=a.

Quelles sont les assertions vraies?

ƒ(?),8

:ax+ay+bz=b (acb2)z=acb2 (a2bc)z=a2bc.

ƒ(?)n"admet pas de solution.

ƒ(?)admet une solution si et seulement sia26=bc.

ƒ(?)admet une infinité de solutions.

7

Question 11

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3et de paramètre un réelm: (?)8 :x+y+z=1 x+2y+3z=1

2x+3y+4z=m.

Quelles sont les assertions vraies?

ƒ(?),§x+y+z=1

y+2z=m.

ƒPour tout réelm,(?)admet une solution.

ƒSim=1,(?)n"admet pas de solution.

ƒSim=0, l"ensemble des solutions de(?)est une droite.

Question 12

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3et de paramètre un réelm: (?)8 :xyz=1 x+2ymz=3

2xy+(m1)z=2m+2.

Quelles sont les assertions vraies?

ƒ(?),8

:xyz=1 y(m+1)z=2 (m+1)z=m+1. ƒPour tout réelm,(?)admet une infinité de solutions.

ƒSim=1,(?)n"admet pas de solution.

ƒSim6=1,(?)admet une unique solution.

Question 13

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z,t)2R4et de paramètres des réels aetm: (?)8 >>:xzt=0 x+y+z=a

2x+yz=m

xmzt=a x+y+t=m.

Quelles sont les assertions vraies?

ƒ(?),8

:xzt=0 yt=a z+3t=ma (1m)z=a. 8

ƒSim=1 eta=0,(?)admet une unique solution.

ƒSim6=1 etaun réel quelconque,(?)admet une unique solution. ƒSim6=1 eta6=0,(?)admet une infinité de solutions.

Question 14

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