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Diagonalisation, trigonalisation, polynômes d'endomorphismes Exercice 1 Par un crit`ere vu en cours, la matrice Rθ est diagonalisable (iii) Pour θ = π/2, 

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Trigonalisation des endomorphismes, sous espaces caractéristiques - donc A n'est pas diagonalisable (voir chapitre "endomorphismes diagonalisables") A

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nalisation des endomorphismes, (savoir calculer les sous-espaces propres d'un mais par contre de savoir les appliquer (diagonaliser ou trigonaliser sur des

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On se donne un espace vectoriel E de dimension finie sur un corps K (que l'on peut penser comme étant R ou C) et un endomorphisme u ∈ L(E) La question 

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Dans les exemples ci-dessous, la matrice sera notée A et l'endomorphisme canoniquement associé u exemple 1 : diagonaliser :

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Théorème 4 6 : puissances d'une matrice carrée diagonalisable Remarque : Trigonalisation des endomorphismes en dimension finie et des matrices carrées

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10 oct 2011 · 4 6 Trigonalisation 5 Polynômes d'endomorphismes 93 Si A est une matrice diagonalisable et si P est une matrice de passage de la

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Trigonalisation des endomorphismes et des matrices On dit que la matrice A est diagonalisable si l'endomorphisme de Kn canoniquement associé 1 à A est 

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Théor`eme 3 – L'endomorphisme f de E est diagonalisable si et seulement il existe une base de E formée de vecteurs Trigonalisation Définition 15 – Une 

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Sorbonne Universit´eLicence 2e ann´ee

Ann ee 2019-2020Module LU2MA123

2e semestreAlg`ebre lin´eaire et bilin´eaire IIb

Feuille de TD n

◦3 Diagonalisation, trigonalisation, polynˆomes d"endomorphismes

Exercice 1 : (Rotations)Soit

R

θ=?cosθ-sinθ

sinθcosθ? la rotation d"angleθ?R/2πZ. (i) D´eterminer les anglesθpour lesquelsRθest diagonalisable surR. (ii) Montrer queRθest toujours diagonalisable surC. Donner sa forme diagonale. (iii) Expliciter le casθ=π/2. (On appelleJ=Rπ/2la structure complexe standard surR2.)

Solution de l"exercice1. (i) Le polynˆome caract´eristique estPRθ(X) =X2-2cosθX+ 1. Celui-ci

admet des racinces r´eelles si et seulement si cosθ=±1, ou encoreθ= 0 mod 2πouθ=πmod 2π.

Dans ces casRθ=±I2est diagonale.

(ii) Pour|cosθ|<1 le polynˆome caract´eristique a deux racines complexes conjugu´ees simples et

distinctes. Par un crit`ere vu en cours, la matriceRθest diagonalisable. (iii) Pourθ=π/2, la matriceRπ/2=?0-1 1 0? admet comme forme diagonaleD=?i0 0-i? L"espace propre pour la valeur propreiestVi= Vect?1 -i? , l"espace propre pour la valeur propre-i estV-i= Vect?1 i? . On a

D=P-1Rπ/2P,avecP=?1 1

-i i? etP-1=1 2i? i-1 i1? Exercice 2 : (Puissances de matrices)(i) SoitA?Mn(k) une matrice diagonalisable etP? GL n(k) telle queP-1AP=D, o`uD?Mn(k) est diagonale. Montrer l"´egalit´e A n=PDnP-1 pour toutn≥0.´Etendre cette ´egalit´e `a toutn?ZlorsqueAest inversible. (ii) CalculerAnpourn≥0 lorsque

A=?13-6

28-13?

,respectivementA=?-5 3 -14 8?

Solution de l"exercice2. (i) -

(ii) LorsqueA=?13-6

28-13?

les valeurs propres sont±1 etA=P-1DPavecP=?1 32 7? et

D=?1 00-1?

1

LorsqueA=?-5 3

-14 8? les valeurs propres sont 1 et 2 et nous avonsA=P-1DPavec la mˆeme matricePque pr´ec´edemment etD=?1 00 2? Exercice 3 : (Diagonalisation simultan´ee)SoientVunk-espace vectoriel etu,v?Endk(V). On dit queuetvcommutentsiuv=vu. On dit queuetvsont simultan´ement diagonalisabless"il existe une baseBdeVtelle que les matricesMB(u) etMB(v) soient toutes les deux diagonales. Dans cet exercice nous supposonsVde dimension finie.

1. Nous nous proposons de montrer le r´esultat suivant :

Soientu,v?Endk(V)diagonalisables. Alorsuetvcommutent?uetvsont simultan´ement diagonalisables. (i) Montrer l"implication inverse?. (ii) Montrer que tout espace propre deuest stable parv. Conclure en utilisant la Proposition 1.2.4

du polycopi´e, dont on pourra se rappeler la d´emonstration. (La restriction d"un endomorphisme dia-

gonalisable `a un sous-espace stable est encore diagonalisable.)

2. Donner des exemples d"endomorphismesu,vdiagonalisables qui ne commutent pas.

3. Montrer que, siuetvsont diagonalisables et commutent, alorsu+vetuvsont diagonalisables.

4. Donner un exemple d"endomorphismes diagonalisables, qui ne commutent pas, tels queu+vouuv

ne soient pas diagonalisables. (L"on pourra prendreVde dimension 2.)

5. Montrer que, siuetvcommutent, alors

(u+v)p=p? i=0? p i? u ivp-i,pour toutp?N.

Solution de l"exercice3.

1.(i). Toutes deux matrices diagonales commutent.

1.(ii). Soitλ?kune valeur propre deuetVλ= Ker(u-λIdV) l"espace propre associ´e. Pour tout

x?Vλl"on a u(v(x)) =v(u(x)) =v(λx) =λv(x),

de sorte quev(x)?Vλ. AinsiVλest stable parv. La Proposition 1.2.4 assure qu"il existe une base de

V

λconstitu´ee de vecteurs propres dev. Bien-sˆur, ceux-ci sont aussi des vecteurs propres deu.

En adjoignant de telles bases pour tous les espaces propres deunous construisons une base qui diagonalise simultan´ementuetv.

2. et 4. PrenonsA=?-1 0

0 1? etB=?1 10-1?

3. SiDetD?sont deux matrices diagonales, alorsD+D?etDD?sont diagonales.

5. R´ecurrence. C"est une instance de la formule binomiale de Newton.

Exercice 4 : (Approximation par des matrices inversibles)SoitAune matrice r´eelle de taille

n×n. Parmi les matrices de la formeAλ=A+λIn,λ?R, quelles sont celles qui sont inversibles?

Montrer qu"il existe une suite (λk) tendant vers z´ero telle que toutes les matricesAλksont inversibles

et la suiteAλkconverge versA, au sens o`u les coefficients desAλkconvergent vers ceux deA. Solution de l"exercice4. La matriceA+λInest inversible si et seulement siλn"est pas une valeur

propre, si et seulement siλn"est pas racine du polynˆome caract´eristique. Celui-ci admet au plusn

2

racines. Or, ´etant donn´e un nombre fini (ici au plusn) de valeurs r´eelles, il existe une suiteλk→0,

k→ ∞qui les ´evite. Ou encore : le compl´ementaire d"un sous-ensemble fini deRest dense dansR.

Exercice 5 : (Approximation par des matrices diagonalisables)Montrer que les matrices de M n(C) qui sont diagonalisables sont denses dansMn(C). Autrement dit, pour toute matriceA? M

n(C) il existe une suiteAk?Mn(C),k≥1 telle queAk→Apourk→ ∞, au sens o`u, pour tous

i,j? {1,...,n}, on aAk(i,j)→A(i,j) pourk→ ∞. IciA(i,j) d´esigne le coefficient (i,j) de la

matriceA.

Solution de l"exercice5. SoitA?Mn(C). Puisque le corpsCest alg´ebriquement clˆos, le polynˆome

caract´eristique deAest scind´e surCet la matrice est trigonalisable. Quitte `a conjuguer par une matrice

inversible, nous pouvons donc supposer sans perte de g´en´eralit´e queAest triangulaire sup´erieure.

Nous pouvons alors choisir des suitesa1k,...,ank,k≥1 telles que pour touti= 1,...,non ait a i

k→0 pourk→ ∞et telles que la matrice triangulaire sup´erieureAk=A+Diag(a1k,...,ank) ait des

coefficients distincts sur la diagonale. AlorsAkest diagonalisable etAk→Apourk→ ∞. Exercice 6 :(i) Soituun endomorphisme d"unK-espace vectoriel v´erifiantu3= Id. Montrer que

E= Ker(u-Id)?Ker(u2+u+ Id).

(ii) Soientuun endomorphisme d"unK-espace vectoriel etP?K[X] un polynˆome annulateur deu. On suppose qu"on peut ´ecrireP=QR, avecQetRpremiers entre eux. Montrer que Im(Q(u)) =

Ker(R(u)).

Solution de l"exercice6. 1. Il suffit de voir que les deux polynˆomesx-1 etx2+x+ 1 sont premiers entre eux.

2. On a premi`erement?x?E,P(u)(x) =R(u)(Q(u)(x)) = 0, donc Im(Q(u))?Ker(R(u)). Deuxi`emement,

E= Im(Q(u))?Ker(Q(u)) etE= Ker(Q(u))?Ker(R(u)), donc dim(Im(Q(u))) = dim(Ker(R(u))), ce qui entraˆıne la conclusion.

Exercice 7 :SoitA?Mn(R).

1. On suppose queA3=A2.

(i) Montrer queA2est diagonalisable. (ii) Trouver une telle matriceAnon diagonalisable.

2. On suppose queAk+1=Ak, aveck >0 un entier. Montrer queAkest diagonalisable.

Solution de l"exercice7. 1. (i) On aA4= (A3)A=A2A=A3=A2, doncA2est annul´ee par le polynˆome `a racines simplesX(X-1). Elle est donc diagonalisable. (ii) La matriceA=?0 10 0? convient.

2. SiAk=Ak+1l"on a aussiAk+1=Ak+2. On montre alors queAp=Ap+1pour toutp≥k, ce

qui entraˆıneAk=A2k, ou encoreAk(Ak-In) = 0. La matriceAkest donc annul`ee par le polynˆome X(X-1), scind´e avec racines simples. Elle est donc diagonalisable.

Exercice 8 :Soit

A=((3 1-1

0 2 0

1 1 1))

(i) D´eterminer le polynˆome caract´eristique deA; (ii) D´eterminer le polynˆome minimal deA; 3

(iii) En utilisant le th´eor`eme de Cayley-Hamilton, en d´eduire queAest inversible et d´eterminerA-1.

Solution de l"exercice8. (i)PA(X) = (2-X)3. (ii) Le polynˆome minimal divise le polynˆome ca-

ract´eristique, il peut donc ˆetre ´egal `a 2-X, (2-X)2, ou (2-X)3. Par ailleurs, le polynˆome minimal

annuleA. On voit que 2I3-A?= 0 et (2I3-A)2= 0, donc le polynˆome minimal est (2-X)2. (iii) A -1=-1 4A+I3 Exercice 9 :SoitA?Mn(K), avecK´egal `aRouC. On suppose queAv´erifie la relation A

2+A+In= 0.

1. On supposeK=C. Montrer que la matriceAest diagonalisable.

2. On supposeK=R.

(i) Montrer que la matriceAn"est pas trigonalisable. (ii) Montrer quenest un entier pair. (iii) On suppose quen= 2 . Construire une telle matrice.

(iv) Trouver, `a l"aide de la question pr´ec´edente et pour tout entiernpair, une matrice r´eelleAd"ordre

nv´erifiant la relationA2+A+In= 0.

Solution de l"exercice9. 1. La matrice est diagonalisable surCpuisqu"elle est annul´ee par le polynˆome

scind´e surC`a racines simplesX2+X+ 1.

2.(i) Le polynˆomeX2+X+ 1 est irreductible surR, la matrice n"est donc pas trigonalisable.

(ii) Le polynˆomeX2+X+ 1 ´etant irr´eductible et annulateur deA, c"est le polynˆome minimal deA.

Le polynˆome caract´eristique est donc du type (X2+X+ 1)k, de degr´e pair. (iii) Par exempleA=?-1 1 -1 0?

(iv) On peut prendre une matrice diagonale par blocs 2×2, avec tous les blocs diagonaux ´egaux `a la

matriceAconstruite au point pr´ec´edent. 4 Exercice 10 : (Endomorphismes d´efinis par des permutations)Le but de cet exercice est

d"´etudier des exemples d"endomorphismes d´efinis par une permutation des vecteurs d"une base d"un

espace vectoriel. Plus pr´ecis´ement siEest unk-espace vectoriel, siB= (e1,...,en) est une base deE

et siσ?Snest une permutation de l"ensemble{1,...,n}, on d´efinituσ,Bpar son action sur la base :

?i? {1,...,n}, uσ,B(ei) =eσ(n).

Dans la suite, on notera simplementul"endomorphisme ainsi d´efini siσetBsont fix´es et qu"il n"y

a pas de confusion possible. Sivest un endomorphisme d"unk-espace vectorielV, on noteraμvle polynˆome minimal devetχvson polynˆome charact´eristique.

a) Un exemple : la base ´etant fix´ee, on suppose queσest la permutation circulaire (1,...,n)?→

(n,1,...,n-1). i) Montrer que le polynˆome caract´eristique deuest (-1)n(Xn-1). En d´eduire queuest diagonalisable. ii) Montrer qu"un polynˆomePqui annuleuet tel quedeg(P)< nest n´ecessairement le polynˆome nul. En d´eduire que le polynˆome minimal deuestXn-1. iii) On poseω=e2iπ est une base de vecteurs propres et donner la matrice deudans cette base. b) On revient au cas g´en´eral. On ´etablit deux r´esultats pr´eliminaires. i) On suppose queE=?ki=1Eiest somme directe de sous-espaces non nuls et stables par v?Endk(E). Pouri? {1,...,k}, on notevil"endomorphisme deEiinduit parv. Montrer queμv=PPCM(μv1,...,μvk) et queχv=χv1....χvk. ii) Montrer (ou rappeler) qu"une permutationσ?Snest le produit d"un nombre fini de cycles

de supports disjointsσ=σ1···σk. On note supp(σi)? {1,...,n}le support deσietmi

son cardinal. c) Un exemple : on supposen= 5 etσ: (1,...,5)?→(3,5,4,1,2) alorsσ= (3,4,1)·(5,2),

1= (3,4,1), supp(σ1) ={1,3,4},σ2= (5,2), supp(σ2) ={2,5}.

Montrer que Vect(e1,e3,e4) et Vect(e2,e5) sont stables paru. Calculer le polynˆome caract´eristique

et le polynˆome minimal deu. d) En g´en´eral, on noteEk= Vect(ei,i?supp(σi)). Montrer queE=?ki=1Ei, montrer queEiest stable paru. On noteuσil "endomorphisme deEiinduit paru. Montrer queχu= Πki=1(Xmi-1) etμu=PPCM{Xmi-1,i= 1,...,k}. Montrer queuest d"ordrePPCM(mi,i= 1...,k). e) On supposen= 4. Donner la liste des paires (μu,χu) possibles.

Solution de l"exercice10.

a) i) On peut calculer directement le polynˆome caract´eristique : la matrice de l"endomorphisme

udans la base (f0,...,fn-1) est (0 0 0...1

1 0... ...0

0 1 0......

0...0 1 0))))))))

1-X ... ...0

0 1-X ......

que l"on d´eveloppe suivant la premire ligne :

1-X ......

0 1-X ...

= (-X)n+(-1)n-1= (-1)n(Xn-1).

CommeXn-1 = Πn-1

k=0(X-ωk) admetnracines distinctes,uest diagonalisable. 5 ii) Tout polynˆome non nul qui annuleuest de degr´e plus grand quen=d:

0 =P(u)(e1) =r?

k=0a kuk(e1) =r? k=0a kek+1. DoncXd-1 est le polynˆome minimal deu(voir d´ef 1.5.2 du cours). u(xk) =n? i=1(ωk)i-1ei+1=ωk·n? i=1(ωk)iei+1(on posej=i+ 1) =ωk·n? j=2(ωk)j-1ej+e1=ωk·n? i=1(ωk)i-1ei=ωk·xk. car (ωk)nen+1=e1. Ainsixkest vecteur propre pour la valeur propreωk=ei2kπ n. Les valeurs propres ´etant distinctes, on obtient une base de vecteurs propres. La matrice deu dans cette base est Diag(1,ω,ω2,...,ωn-1). b) c)

d) Comme le polynˆome minimal et le polynˆome caract´eristique son invariants par conjugaison, en

particulier la conjugaison induite par permutation des vecteurs d"une base, on pourra raisonner seulement sur le nombre et la longueur des cycles de la permutationσ. i) Un unique cycle de longueur 4 :σ= (4,1,2,3),μu=χu=X4-1. ii) Un cycle de longueur 3, un de longueur 1 :σ= (1)(4,2,3),χu= (X3-1)(X-1),μu=X3-1. iii) Un cycle de longueur 2, deux cycles de longueur 1 :σ= (1)(2)(43),χ= (X2-1)(X-1)2, u=X2-1. iv) Deux cycles de longueur 2 :σ= (21)(43),χu= (X2-1)2,μu=X2-1. v) Uniquement des cycles de longueur 1 :σest l"identit´e de{1,...,4},uest l"identit´e deE, u=X-1,χu= (X-1)4. Exercice 11 : (Une autre d´emonstration de th´eor`eme de Cayley-Hamilton)SoientEun K-espace vectoriel de dimension finie ´egale `anetf?EndK(E). On veut montrer que le polynˆome caract´eristiquePfest un annulateur def, c"est-`a-direPf(f) = 0. (x,f(x),...,fp(x)) soit libre et le syst`eme (x,f(x),...,fp(x),fp+1(x)) soit li´e. (ii) On noteG= Vect(x,f(x),...,fp(x)) etfGla restriction def`aG.´Ecrire la matrice defGdans la base (x,f(x),...,fp(x)) et montrer que P fG(fG) = 0. (iii) Conclure par r´ecurrence surn≥1.

Solution de l"exercice11. (i) Les vecteurs (x,f(x),...,fn-1(x),fn(x)) sont li´es puisque l"espaceEest

de dimension ´egale `anet donc toute famille libre est constitu´ee d"au plusnvecteurs. Soitp0?Nle

pr´ec`ede, et les vecteurs (x,f(x),...,fp(x)) forment une famille libre par d´efinition dep. 6 (ii) Par d´efinition dep, il existea0,a1,...,ap?Ktels quefp+1(x) =a0x+a1f(x) +...+apfp(x). La matrice de la restriction defGest alors

A(a0,...,ap) =((((((((0 0 0 0... a0

1 0 0 0... a1

0 1 0 0... a2

0 0 1 0... a3

0 0 0 0... ap))))))))

Nous affirmons que le polynˆome caract´eristique de cette matrice est P fG(X) =PA(a0,...,ap)(X) = (-1)p+1(Xp+1-p? i=0a iXi). La formule est sugg´er´ee par le cas particuliersp= 0,1,2, lorsque l"on calcule directement P A(a0)(X) =a0-X, PA(a0,a1)(X) =X2-a1X-a0, PA(a0,a1,a2)(X) =-X3+a2X2+a1X+a0.

Nous d´emontrons la formule par r´ecurrence surp. En la supposant d´emontr´ee au rangp-1, nous la

d´emontrons au rangpen d´eveloppant selon la premi`ere ligne : P

A(a0,...,ap)(X) =-XPA(a1,...,ap)(X) +a0(-1)p+2

=a0(-1)p+2-X(-1)p(Xp-p? i=1a iXi-1) = (-1)p+1(Xp+1-p? i=1a iXi-a0).

Le point crucial `a remarquer est que

P fG(fG) = 0.

En effet, pour tout?? {0,...,p}nous avons

P fG(fG)(f?(x)) = (fp+1-p? i=0a ifi)(f?(x)) =f?? f p+1(x)-p? i=0a ifi(x)? = 0.

(iii) Nous d´emontrons maintenant le th´eor`eme de Cayley-Hamilton par r´ecurrence surn. En le suppo-

deHet consid´erons la matrice defdans la base˜B={x,f(x),f2(x),...fp(x),xp+2,...,xn}. Celle-ci s"´ecrit M

˜B(f) =?A B

0C? o`uAest la matrice de la restriction defGetCest la matrice de l"applicationf?=p◦f|H:H→H dans la baseB, avecp:E→Hla projection surHparall`element `aG. Alors P f(X) =PA(X)PC(X) =PfG(X)Pf?(X) =Pf?(X)PfG(X). Pour toutv?E, ´ecrivons de mani`ere uniquev=vG+vH, avecvG?GetvH?H. Pour montrer que P f(f) = 0 il suffit de montrer quePf(f)(vG) = 0 etPf(f)(vH) = 0 pour toutv?E. - Nous avonsPf(f)(vG) =Pf?(f)(PfG(f)(vG)) =PfG(fG)(vG) = 0, puisquePfG(fG)(vG) = 0 d"apr`es (ii). 7 - Nous avons P f(f)(vH) =PfG(f)?Pf?(f)(vH)? =PfG(f)??Pf?(f)(vH)?

G+?Pf?(f)(vH)?

H? =PfG(f)??Pf?(f)(vH)?

G+?Pf?(f?)(vH)?

H? =PfG(f)??Pf?(f)(vH)? G+ 0? =PfG(fG)??Pf?(f)(vH)? G? = 0. La 3

e´egalit´e utilise le fait queGest stable parf, la 4e´egalit´e utilise l"hypoth`ese de r´ecurrence

P f?(f?) = 0, et la 5eutilise le point (ii). 8quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14