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et on note A la matrice ⎛ ⎝ 3 −1 1 1 2 0 0 1 1 ⎞ ⎠ 1 a) On a AXn = Xn+1 b) La suite est donc géométrique matricielle de raison A et Xn = AnX0 2 a) Soit 



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1Exercices:Ch5MatricesetsuitesExercice1Exercice2!1!Exercices(:(Ch5(Matrices(et(suites(!!!!!!!!!!TerminaleSSpécialitéChap itr e4:exercices2014-2015

Exercices

Exercicen

o 1

Unesui tedematricescol onnes( U

n )deformat(2,1)es tdéfiniep arsonpremiertermeU 0 6 4 etl arelati on deré currenceU n+1 =AU n +BoùA= -13 02 etB= 4 -2

1.Prou verquelamatriceI-Aestinv ersibleetcalculersoninverse.

2.O nposeR=

1-1 00 etS= 01 01 (a)Exp rimerARetRAenfo nctiondeR,puisASetSAenfo nctiondeS. (b)Dém ontrerparrécurrenceque,po urtoutn∈N,A n =(-1) n R+2 n S.

3.Déte rmineruneformuleexpliciteexprim antU

n enf onctionden.

Exercicen

o 2

Unesui tedematricescol onnes( U

n )deformat(3,1)es tdéfiniep arsonpremiertermeU 0 4 8 2 ⎠etl arelati on deré currenceU n+1 =AU n +BoùA= 011 001 000 ⎠etB= 1 2 -6

1.C alculerA

2 etA 3

2.Démo ntrerquelasuite(U

n )estconstanteàpartirdurang3.

3.Ceré sulta test-ilvraiavecuneautrema triceU

0

Exercicen

o 3

Unesui tedematricescol onnes( U

n )deformat(3,1)es tdéfiniep arsonpremiertermeU 0 6 5 4 ⎠etl arelati on deré currenceU n+1 =AU n +BoùA= 2-33 0-10 003 ⎠etB= 1 2 -6

1.Véri fierquelamatriceI-Aestinv ersibleendéterminantsoninverseà laca lculatrice.

2.On consid èrelesmatricesD=

200
0-10 003 ⎠etM= 110
011 001 (a)Vér ifierqueMestinv ersibleendéterminantM -1

àlacalculatrice.

(b)Pro uverqueA=MDM -1 (c)Dém ontrer,parrécurrenceque,pour toutn∈N,A n =MD n M -1 (d)Dém ontrer,parrécurrenceque,pour toutn∈N,D n 2 n 00 0(-1) n 0 003 n

3.Déte rmineruneformuleexpliciteexprim antU

n enf onctionden. 1 !2!!!!!!!!!!!TerminaleSSpécialitéChap itr e4:exercices2014-2015

Exercicen

o 4

Unesui tedematriceslig nes(V

n )deformat(1,3)es tdéfiniep arsonpremiertermeV 0 -143 etla relati on deré currenceV n+1 =V n

A+BoùA=

200
03-1 002 ⎠etB= 2-61

1.Véri fierquelamatriceI-Aestinv ersibleendéterminantsoninverseà laca lculatrice.

2.Démo ntrer,parrécurrenceque,pourtou tn∈N,A

n 2 n 00 03 n 2 n -3 n 002 n

3.Déte rmineruneformuleexpliciteexprim antV

n enf onctionden.

Exercicen

o

5(M atricesetnombrescomplexes )

1.Àt oute matricedelaf orme

a-bba oùaetbsontdesno mbresréel s,onassocielenombrecomp lexe z=a+ib. (a)Dém ontrerquesizetz sontassocié sàMetM alorszz estass ociéàMM (b)End éduire ,parrécurrence,quepourto utn∈N,z n estass ociéàM n

2.O nposeM=

1-1 11 (a)Àl' aid edelaquestion1.,dém ontrer que,po urtoutn∈N,M n 2 n cos nπ 4 -sin nπ 4 sin nπ 4 cos nπ 4 (b)Ond éfinitu nesuitedematricescol onnes(Z n )parsonpremiertermeZ 0 1 2 etl arelati onderécurrence Z n+1 =MZ n +NoùN= 2 -3

ExprimerZ

n enf onctionden.EndéduireZ 2012

Exercicen

o 6 Unétud iantaadoptélerythmedevies uiv ant:chaquesoir,soitil tra vaille,soitilsort.

•Quandilatrav aillél ave ille,iljetteundérégulier:s 'ilobtient6,iltrava ille;s inonils ort.

•Quandilestso rtilav eille,ilj etteunepièceéq uilibr ée:s'ilo btientpile,ilsort;sinon iltravaille.

Commentserépartiss entàla longuesessoiréesentretravailetsortie?

Exercicen

o 7 Anna,Brunoet Caroleselancent unball on.Annalelancetouj oursàCarole ;Car olelelanceauxdeuxau tres aveclamêm eproba bilité;Bruno lanceunefoissurtroisàAnna,de uxfoissurtroi sàCarole.

1.Re présenterl'évolutionparungrapheprobabil isteetdéterminerlamatricedetran sitionT .

2.Pou rtoutn∈N,onnotea

n ,b n ,c n lespro babilitésqueA,B,Caientleballonaprè snpassesetP n la matriceligne a n b n c n .ExprimerP n+1 enfo nctiondeP n

3.A udébut (n=0),Annaaleballon.PréciserP

0

à10

-2 près,lesprobabi litéspourc hacund'avoirleballonàl'issuedel a30 e passe.

4.Cal culerT

4 .Endéduireque(P n 2

!1!Exercices(:(Ch5(Matrices(et(suites(!!!!!!!!!!TerminaleSSpécialitéChap itr e4:exercices2014-2015

Exercices

Exercicen

o 1

Unesui tedematricescol onnes( U

n )deformat(2,1)es tdéfiniep arsonpremiertermeU 0 6 4 etl arelati on deré currenceU n+1 =AU n +BoùA= -13 02 etB= 4 -2

1.Prou verquelamatriceI-Aestinv ersibleetcalculersoninverse.

2.O nposeR=

1-1 00 etS= 01 01 (a)Exp rimerARetRAenfo nctiondeR,puisASetSAenfo nctiondeS. (b)Dém ontrerparrécurrenceque,po urtoutn∈N,A n =(-1) n R+2 n S.

3.Déte rmineruneformuleexpliciteexprim antU

n enf onctionden.

Exercicen

o 2

Unesui tedematricescol onnes( U

n )deformat(3,1)es tdéfiniep arsonpremiertermeU 0 4 8 2 ⎠etl arelati on deré currenceU n+1 =AU n +BoùA= 011 001 000 ⎠etB= 1 2 -6

1.C alculerA

2 etA 3

2.Démo ntrerquelasuite(U

n )estconstanteàpartirdurang3.

3.Ceré sulta test-ilvraiavecuneautrema triceU

0

Exercicen

o 3

Unesui tedematricescol onnes( U

n )deformat(3,1)es tdéfiniep arsonpremiertermeU 0 6 5 4 ⎠etl arelati on deré currenceU n+1 =AU n +BoùA= 2-33 0-10 003 ⎠etB= 1 2 -6

1.Véri fierquelamatriceI-Aestinv ersibleendéterminantsoninverseà laca lculatrice.

2.On consid èrelesmatricesD=

200
0-10 003 ⎠etM= 110
011 001 (a)Vér ifierqueMestinv ersibleendéterminantM -1

àlacalculatrice.

(b)Pro uverqueA=MDM -1 (c)Dém ontrer,parrécurrenceque,pour toutn∈N,A n =MD n M -1 (d)Dém ontrer,parrécurrenceque,pour toutn∈N,D n 2 n 00 0(-1) n 0 003 n

3.Déte rmineruneformuleexpliciteexprim antU

n enf onctionden. 1

2Exercice4Exercice5Exercice6!2!!!!!!!!!!!TerminaleSSpécialitéChap itr e4:exercices2014-2015

Exercicen

o 4

Unesui tedematriceslig nes(V

n )deformat(1,3)es tdéfiniep arsonpremiertermeV 0 -143 etla relati on deré currenceV n+1 =V n

A+BoùA=

200
03-1 002 ⎠etB= 2-61

1.Véri fierquelamatriceI-Aestinv ersibleendéterminantsoninverseà laca lculatrice.

2.Démo ntrer,parrécurrenceque,pourtou tn∈N,A

n 2 n 00 03 n 2 n -3 n 002 n

3.Déte rmineruneformuleexpliciteexprim antV

n enf onctionden.

Exercicen

o

5(M atricesetnombrescomplexes )

1.Àt oute matricedelaf orme

a-bba oùaetbsontdesno mbresréel s,onassocielenombrecomp lexe z=a+ib. (a)Dém ontrerquesizetz sontassocié sàMetM alorszz estass ociéàMM (b)End éduire ,parrécurrence,quepourto utn∈N,z n estass ociéàM n

2.O nposeM=

1-1 11 (a)Àl' aid edelaquestion1.,dém ontrer que,po urtoutn∈N,M n 2 n cos nπ 4 -sin nπ 4 sin nπ 4 cos nπ 4 (b)Ond éfinitu nesuitedematricescol onnes(Z nquotesdbs_dbs20.pdfusesText_26