Ce résultat est-il vrai avec une autre matrice U ? Exercice no 3 Une suite de matrices colonnes (Un) de format (3,1) est définie par son premier terme U0 =
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1Exercices:Ch5MatricesetsuitesExercice1Exercice2!1!Exercices(:(Ch5(Matrices(et(suites(!!!!!!!!!!TerminaleSSpécialitéChap itr e4:exercices2014-2015
Exercices
Exercicen
o 1Unesui tedematricescol onnes( U
n )deformat(2,1)es tdéfiniep arsonpremiertermeU 0 6 4 etl arelati on deré currenceU n+1 =AU n +BoùA= -13 02 etB= 4 -21.Prou verquelamatriceI-Aestinv ersibleetcalculersoninverse.
2.O nposeR=
1-1 00 etS= 01 01 (a)Exp rimerARetRAenfo nctiondeR,puisASetSAenfo nctiondeS. (b)Dém ontrerparrécurrenceque,po urtoutn∈N,A n =(-1) n R+2 n S.3.Déte rmineruneformuleexpliciteexprim antU
n enf onctionden.Exercicen
o 2Unesui tedematricescol onnes( U
n )deformat(3,1)es tdéfiniep arsonpremiertermeU 0 4 8 2 ⎠etl arelati on deré currenceU n+1 =AU n +BoùA= 011 001 000 ⎠etB= 1 2 -61.C alculerA
2 etA 32.Démo ntrerquelasuite(U
n )estconstanteàpartirdurang3.3.Ceré sulta test-ilvraiavecuneautrema triceU
0Exercicen
o 3Unesui tedematricescol onnes( U
n )deformat(3,1)es tdéfiniep arsonpremiertermeU 0 6 5 4 ⎠etl arelati on deré currenceU n+1 =AU n +BoùA= 2-33 0-10 003 ⎠etB= 1 2 -61.Véri fierquelamatriceI-Aestinv ersibleendéterminantsoninverseà laca lculatrice.
2.On consid èrelesmatricesD=
2000-10 003 ⎠etM= 110
011 001 (a)Vér ifierqueMestinv ersibleendéterminantM -1
àlacalculatrice.
(b)Pro uverqueA=MDM -1 (c)Dém ontrer,parrécurrenceque,pour toutn∈N,A n =MD n M -1 (d)Dém ontrer,parrécurrenceque,pour toutn∈N,D n 2 n 00 0(-1) n 0 003 n3.Déte rmineruneformuleexpliciteexprim antU
n enf onctionden. 1 !2!!!!!!!!!!!TerminaleSSpécialitéChap itr e4:exercices2014-2015Exercicen
o 4Unesui tedematriceslig nes(V
n )deformat(1,3)es tdéfiniep arsonpremiertermeV 0 -143 etla relati on deré currenceV n+1 =V nA+BoùA=
20003-1 002 ⎠etB= 2-61
1.Véri fierquelamatriceI-Aestinv ersibleendéterminantsoninverseà laca lculatrice.
2.Démo ntrer,parrécurrenceque,pourtou tn∈N,A
n 2 n 00 03 n 2 n -3 n 002 n3.Déte rmineruneformuleexpliciteexprim antV
n enf onctionden.Exercicen
o5(M atricesetnombrescomplexes )
1.Àt oute matricedelaf orme
a-bba oùaetbsontdesno mbresréel s,onassocielenombrecomp lexe z=a+ib. (a)Dém ontrerquesizetz sontassocié sàMetM alorszz estass ociéàMM (b)End éduire ,parrécurrence,quepourto utn∈N,z n estass ociéàM n2.O nposeM=
1-1 11 (a)Àl' aid edelaquestion1.,dém ontrer que,po urtoutn∈N,M n 2 n cos nπ 4 -sin nπ 4 sin nπ 4 cos nπ 4 (b)Ond éfinitu nesuitedematricescol onnes(Z n )parsonpremiertermeZ 0 1 2 etl arelati onderécurrence Z n+1 =MZ n +NoùN= 2 -3ExprimerZ
n enf onctionden.EndéduireZ 2012Exercicen
o 6 Unétud iantaadoptélerythmedevies uiv ant:chaquesoir,soitil tra vaille,soitilsort.•Quandilatrav aillél ave ille,iljetteundérégulier:s 'ilobtient6,iltrava ille;s inonils ort.
•Quandilestso rtilav eille,ilj etteunepièceéq uilibr ée:s'ilo btientpile,ilsort;sinon iltravaille.
Commentserépartiss entàla longuesessoiréesentretravailetsortie?Exercicen
o 7 Anna,Brunoet Caroleselancent unball on.Annalelancetouj oursàCarole ;Car olelelanceauxdeuxau tres aveclamêm eproba bilité;Bruno lanceunefoissurtroisàAnna,de uxfoissurtroi sàCarole.1.Re présenterl'évolutionparungrapheprobabil isteetdéterminerlamatricedetran sitionT .
2.Pou rtoutn∈N,onnotea
n ,b n ,c n lespro babilitésqueA,B,Caientleballonaprè snpassesetP n la matriceligne a n b n c n .ExprimerP n+1 enfo nctiondeP n3.A udébut (n=0),Annaaleballon.PréciserP
0à10
-2 près,lesprobabi litéspourc hacund'avoirleballonàl'issuedel a30 e passe.4.Cal culerT
4 .Endéduireque(P n 2!1!Exercices(:(Ch5(Matrices(et(suites(!!!!!!!!!!TerminaleSSpécialitéChap itr e4:exercices2014-2015
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Exercicen
o 1Unesui tedematricescol onnes( U
n )deformat(2,1)es tdéfiniep arsonpremiertermeU 0 6 4 etl arelati on deré currenceU n+1 =AU n +BoùA= -13 02 etB= 4 -21.Prou verquelamatriceI-Aestinv ersibleetcalculersoninverse.
2.O nposeR=
1-1 00 etS= 01 01 (a)Exp rimerARetRAenfo nctiondeR,puisASetSAenfo nctiondeS. (b)Dém ontrerparrécurrenceque,po urtoutn∈N,A n =(-1) n R+2 n S.3.Déte rmineruneformuleexpliciteexprim antU
n enf onctionden.Exercicen
o 2Unesui tedematricescol onnes( U
n )deformat(3,1)es tdéfiniep arsonpremiertermeU 0 4 8 2 ⎠etl arelati on deré currenceU n+1 =AU n +BoùA= 011 001 000 ⎠etB= 1 2 -61.C alculerA
2 etA 32.Démo ntrerquelasuite(U
n )estconstanteàpartirdurang3.3.Ceré sulta test-ilvraiavecuneautrema triceU
0Exercicen
o 3Unesui tedematricescol onnes( U
n )deformat(3,1)es tdéfiniep arsonpremiertermeU 0 6 5 4 ⎠etl arelati on deré currenceU n+1 =AU n +BoùA= 2-33 0-10 003 ⎠etB= 1 2 -61.Véri fierquelamatriceI-Aestinv ersibleendéterminantsoninverseà laca lculatrice.
2.On consid èrelesmatricesD=
2000-10 003 ⎠etM= 110
011 001 (a)Vér ifierqueMestinv ersibleendéterminantM -1
àlacalculatrice.
(b)Pro uverqueA=MDM -1 (c)Dém ontrer,parrécurrenceque,pour toutn∈N,A n =MD n M -1 (d)Dém ontrer,parrécurrenceque,pour toutn∈N,D n 2 n 00 0(-1) n 0 003 n3.Déte rmineruneformuleexpliciteexprim antU
n enf onctionden. 12Exercice4Exercice5Exercice6!2!!!!!!!!!!!TerminaleSSpécialitéChap itr e4:exercices2014-2015
Exercicen
o 4Unesui tedematriceslig nes(V
n )deformat(1,3)es tdéfiniep arsonpremiertermeV 0 -143 etla relati on deré currenceV n+1 =V nA+BoùA=
20003-1 002 ⎠etB= 2-61