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et on note A la matrice ⎛ ⎝ 3 −1 1 1 2 0 0 1 1 ⎞ ⎠ 1 a) On a AXn = Xn+1 b) La suite est donc géométrique matricielle de raison A et Xn = AnX0 2 a) Soit 

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Corrig´e ESSEC III Eco 2007par Pierre Veuillez

Exercice : suites et calcul matriciel

Soient (un), (vn) et (wn) les trois suites d´efinies surNpar leur premier terme : u

0= 1, v0= 0, w0= 0

et les relations de r´ecurrence : ?u n+1= 3un-vn+wn v n+1=un+ 2vn w n+1=vn+wn

Pour tout entier natureln, on pose :

X n=( (u n v n w n) et on noteAla matrice( (3-1 1 1 2 0

0 1 1)

1. a) On aAXn=Xn+1.

b) La suite est donc g´eom´etrique matricielle de raisonAetXn=AnX0

2. a) Soitα?R.

(A-αI)( (x y z) = 0??? ?(3-α)x-y+z= 0 x+ (2-α)y= 0 y+ (1-α)z= 0 ??(S)? ?[(3-α)(2-α)(1-α) + (1-α) + 1]z= 0 x= (2-α)(1-α)z= 0 y=-(1-α)z [(3-α)(2-α)(1-α) + (1-α) + 1] =-α3+ 6α2-12α+ 8 N.B.en regardant la matriceTon devine que 2 doit ˆetre la valeur propre.

2 est racine et par l"algorithme de Horner, pour factoriser par (x-2) :-16-128

-28-8-14-40 et on a donc [···] = (x-2)(-x2+ 4x+ 4) avec 2 racine double de-x2+4x+4 on obtient -x2+ 4x+ 4 =-(x-2)2et [···] =-(x-2)3 Donc siα?= 2 alors (S)??x=y=z= 0 etαn"est pas valeur propre.

Et siα= 2 alors (S)???x= 0

y=z

Conclusion :La seule valeur propre deAestb) et le sous espace propre associ´e `a 2 estE2= Vect((0,1,1))

La famille ((0,1,1)) form´ee d"un seul vecteur non nul est libre et g´en´eratrice deE2.Donc dim(E2) = 1. La somme des dimension des sous espaces propres deA, matrice d"ordre 3, est 1.

Conclusion :An"est pas diagonalisableOn pouvait aussi raisonner par l"absurde, en montrant qu"alorsA= 3ICorrig´e Mp010-c Page 1/ 3

3. On notefl"endomorphisme deR3canoniquement associ´e `aA, c"est-`a-dire tel queAsoit la

matrice defdans la base canoniqueBdeR3. a) La matrice defdan la baseB?estTsi et seulement si : f(e?1) = 2e?1:f(e?2) = 2e?2+e?1etf(e?3) = 2e?3+e?2

Soite?1= (0,1,1) vecteur propre associ´e `a 2.

e ?2= (x,y,-1) alors matB(f(e?2)) =( (3-1 1 1 2 0

0 1 1)

(x y -1) (3x-y-1 x+ 2y y-1) donc f(e?2) = 2e?2+e?1??? ?3x-y-1 = 2x+ 0 .x+ 2y= 2y+ 1 y-1 =-2 + 1??? ?x= 1 .x= 1 y= 0soite?2= (1,0,-1) e ?3= (x,y,2) alors alors matB(f(e?3)) =( (3-1 1 1 2 0

0 1 1)

(x y 2) (3x-y+ 2 x+ 2y y+ 2) donc f(e?2) = 2e?2+e?1??? ?3x-y+ 2 = 2x+ 1 .x+ 2y= 2y+ 0 y+ 2 = 4-1??? ?y= 1 .x= 0 y= 1soite?3= (0,1,2) reste `a v´erifier que (e?1,e?2,e?3) est bien une base (libre de 3 vecteurs deR3) : Soientα, β,γr´eels. Siαe?1+βe?2+γe?3= 0 alors?? ?β= 0

α+γ= 0

α-β+ 2γ= 0???

?β= 0 γ= 0doncα=β=γ= 0 et la famille est libre

Conclusion :B

?= ((0,1,1),(1,0,-1),(0,1,2))b) SoitN=( (0 1 0 0 0 1

0 0 0)

alorsN2=( (0 0 1 0 0 0

0 0 0)

etN3= 0 et commeT= 2I+Net queN·2I= 2N= 2I·Nalors T n=n? k=0? n k? N k(2I)n-k ?n 0? 2 nI+?n 1? 2 n-1N+?n 2? 2 n-2N2+n? k=30 sin≥2 = 2 n-2?

4I+ 2nN+n(n-1)2

N2? = 2 n-2( (4 2nn(n-1)2

0 4 2n

0 0 4)

formule qui est encore valable pourn= 0 et pourn= 1.

4. SoitPla matrice de passage de la base canoniqueB`a la baseB?.

a) Par les coordonn´ees dans la base canonique deR3on aP=( (0 1 0 1 0 1

1-1 2)

La formule de changement de base donne :

A= matB(f) = matB(B?)matB?(f)matB?(B) =PTP-1

Conclusion :A

n=PTnP-1Corrig´e Mp010-c Page 2/ 3 b) (0 1 0 1 0 1

1-1 2)

)L

1→L2

L

2→L1

L

3-L2→L3(

(1 0 0 0 1 0

0 0 1)

(1 0 1 0 1 0

0-1 1)

L

3+L2→L3(

(0 1 0 1 0 0

0-1 1)

(1 0 1 0 1 0

0 0 1)

L1-L3→L3(

(0 1 0 1 0 0

1-1 1)

(1 0 0 0 1 0

0 0 1)

L1-L3→L3(

(-1 2-1 1 0 0

1-1 1)

Conclusion :P

-1=( (-1 2-1 1 0 0

1-1 1)

)c)N.Bpour le produitAn(), il est beaucoup plus ´economique de commencer par la droite, de sorte qu"il n"y a que des produits matrice*colonnes. (u n v n w n) =An( (1 0 0) =PTn( (-1 2-1 1 0 0

1-1 1)

(1 0 0) =P2n-2( (4 2nn(n-1)2

0 4 2n

0 0 4)

(-1 1 1) = 2 n-2( (0 1 0 1 0 1

1-1 2)

(2n+12 n(n-1)-4 2n+ 4 4) = 2 n-2( (2n+ 4 2n+12 n(n-1) 12 n(n-1))

Conclusion :u

n= 2n-2(2n+ 4) v n= 2n-2?2n+12 n(n-1)? w n= 2n-3n(n-1)Corrig´e Mp010-c Page 3/ 3quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26