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Dans le cas d'une fonction d'utilité `a élasticité de substitution constante (exercice 1 4) : 1 Montrer que pour un choix adéquat de α > 0 les fonctions suivantes

quantité consommée de bien j à la quantité consommée de bien l due à la variation de 1 du taux marginal de substitution entre ces deux biens Elle traduit la

[PDF] II414) Lélasticité de substitution factorielle (ou sigma : σ) On traite ci

capital/travail), se modifie et avec elle les quantités de facteurs utilisée Ce changement peut être estimé à l'aide de σ, l'élasticité de substitution factorielle ainsi

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Exercice 1 Calculer les dérivées partielles à l'ordre 1 et 2 des fonctions qu'une fonction de production Q = F(K, L) dont l'élasticité de substitution vaut 1, vérifie

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c) Calculez l'élasticité revenu de la demande du bien X Interpréter a) Suite à ce changement, mettez en évidence l'effet de substitution et l'effet de revenu

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taux marginal de substitution technique et élasticité de substitution 2 Connaître les Exercice 1 : La fonction de production Cobb-Douglas On considère la

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(exercice 3, partie A) ; effet de substitution, effet de revenu, relation de Slutsky, elasticité-prix de la demande (exercice 3, partie B); biens complémentaires,

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QUINZE EXERCICES DE REVISION AVEC DES ELEMENTS DE CORRIGE l' élasticité de substitution de la fonction Cobb-Douglas est égale à 1 σ = d(K/L)

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Dans le cas d'une fonction d'utilité `a élasticité de substitution constante (exercice 1 4) : 1 Montrer que pour un choix adéquat de α > 0 les fonctions suivantes

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Microeconomie 2, DEMI2E Universite Paris-Dauphine

Cours de VincentIehleAnnee 2013-2014

FEUILLES D'EXERCICES

Table des matieres

1 Le consommateur2

2 Economies d'echange 4

3 Optimalite de Pareto 6

4 Economies avec production 8

5 Defaillances du marche : eets externes et biens publics 10

6 Annales d'examens 121. Les exercices sont a preparer d'une semaine a l'autre en suivant une liste etablie par le charge de TD. Des exercices

supplementaires, utiles pour les revisions avant les examens, sont donnes en n de chaque partie. Sauf exception, ces

exercices ne seront pas traites en cours ou TD mais chaque etudiant peut choisir de les rendre comme devoir a son charge

de TD. 1

1 Le consommateur

Dans les exercices qui suivent, les preferences d'un consommateur sur des paniers de 2 biens sont representees par une fonction d'utilite u:R2+!R: (x;y)!u(x;y)

1.1 Fonction d'utilite Cobb-Douglas :

u(x;y) =xy1 ou 0< <1

1. Determiner les proprietes de la fonctionu: continuite (justier rapidement), dierentiabilite (sur

2++), (strictement) monotone, (strictement) (quasi)-concave.

2. Representer graphiquement les courbes d'indierence du consommateur.

3. Determiner la demande du consommateurd(p;w), en fonction du prixp= (px;py) et d'un

revenuw2R+, en calculant le cas echeant le taux marginal de substitutionTMSy!x. Analyser

les proprietes de cette demande et l'exprimer en fonction d'une dotation initialee= (ex;ey)2R2+du consommateur.

4. Montrer que la fonction suivante represente les m^emes preferences :u(x;y) =lnx+(1)lny.

Refaire les calculs de la question 3 en utilisant cette specication.

1.2 Fonction d'utilite Leontief :

u(x;y) = min(x;y)

M^emes questions que precedemment (sauf 4.).

1.3 Fonction d'utilite lineaire :

u(x;y) =ax+y oua >0

M^emes questions que precedemment (sauf 4.).

1.4 Fonction d'utilite a elasticite de substitution constante :

u(x;y) = (ax+by)1 oua;b >0 et 06=1

M^emes questions que precedemment (sauf 4.).

1.5 Exercice supplementaire : Fonction d'utilite a elasticite de substitution constante

(II) Dans le cas d'une fonction d'utilite a elasticite de substitution constante (exercice 1.4) :

1. Montrer que pour un choix adequat de >0 les fonctions suivantes representent aussi les m^emes

preferences : (a)u(x;y) = (x+y)1 (b)u(x;y) =(x+y).

2. Montrer que si= 1, on retrouve le cas d'une fonction lineaire, si!0, on retrouve une

fonction Cobb-Douglas, si! 1on retrouve une fonction Leontief (dans les 2 derniers cas utiliser les TMS ou les courbes d'indierence).

3. Etant donne une fonction de demanded(p;w) = (dx(p;w);dy(p;w)), on denit l'elasticite de

substitution par xy(p;w) =@[dx(p;w)d y(p;w)]@[pxp y]p xp yd x(p;w)d y(p;w) qui mesure la sensibilite de dx(p;w)d y(p;w)a une variation depxp y. Verier que ce coecient est independant depetw(d'ou le nom).

1.6 Exercice supplementaire : Non satiation

On dit que la fonction d'utilite satisfait la condition de non satiation si pour toutx2R2+il existe x

02R2+telle queu(x0)> u(x).

1. Montrer que si la stricte monotonicite est veriee alors la condition de non-satiation est veriee.

2. Montrer que la contrainte de budget est saturee a la demande si la stricte monotonicite est

veriee. Cela est-il encore vrai si la fonction d'utilite satisfait la propriete de non satiation?

Sinon, construire un contre-exemple.

3. On suppose que la fonction de demande pour le premier bien est donnee pardx(p;w) =wp

x. En deduire la fonction de demande pour le second bien.

1.7 Exercice supplementaire : Fonction d'utilite particuliere (dicile)

On considere la fonction d'utilite suivante :

u(x;y) =x+py Determiner la demande du consommateurd(p;w) (Il est imperatif de tracer precisement les courbes d'indierences pour se donner une idee des solutions (plusieurs cas a traiter)). 3

2 Economies d'echange

Dans les exercices qui suivent, on considere une economie d'echange a 2 agents (1 et 2) et 2 biens (xety). Les dotations initiales des agents sont noteesei= (eix;eiy)2R2+et leurs fonctions d'utilite u i:R2+!Ri= 1;2.

2.1 Fonction d'utilite Cobb-Douglas :

1(x;y) =x13

y23 ; u2(x;y) =x23 y13 e

1= (1;1); e2= (1;2)

1. Verier si l'economie possede un equilibre concurrentiel.

2. Si oui, determinerles prixetles allocationscorrespondantes.

3. Representer les dierentes quantites dans une bo^te d'Edgeworth.

2.2 Fonction d'utilite de Leontief :

1(x;y) =u2(x;y) = min(x;y)

1= (2;6); e2= (1;2)

M^emes questions que precedemment

2.3 Fonction d'utilite lineaire :

1(x;y) =ax+y; u2(x;y) =x+ayou 0< a <1

1= (1;1); e2= (1;2)

M^emes questions que precedemment

2.4 Exercice supplementaire : Fonction d'utilite a elasticite de substitution constante

1(x;y) = (18

x2+y2)12 ; u2(x;y) = (x2+18 y2)12 equotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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Microeconomie 2, DEMI2E Universite Paris-Dauphine

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Table des matieres

1 Le consommateur2

2 Economies d'echange 4

3 Optimalite de Pareto 6

4 Economies avec production 8

5 Defaillances du marche : eets externes et biens publics 10

6 Annales d'examens 121. Les exercices sont a preparer d'une semaine a l'autre en suivant une liste etablie par le charge de TD. Des exercices

1 Le consommateur

1.1 Fonction d'utilite Cobb-Douglas :

1. Determiner les proprietes de la fonctionu: continuite (justier rapidement), dierentiabilite (sur

2++), (strictement) monotone, (strictement) (quasi)-concave.

2. Representer graphiquement les courbes d'indierence du consommateur.

3. Determiner la demande du consommateurd(p;w), en fonction du prixp= (px;py) et d'un

4. Montrer que la fonction suivante represente les m^emes preferences :u(x;y) =lnx+(1)lny.

1.2 Fonction d'utilite Leontief :

M^emes questions que precedemment (sauf 4.).

1.3 Fonction d'utilite lineaire :

M^emes questions que precedemment (sauf 4.).

1.4 Fonction d'utilite a elasticite de substitution constante :

M^emes questions que precedemment (sauf 4.).

1.5 Exercice supplementaire : Fonction d'utilite a elasticite de substitution constante

1. Montrer que pour un choix adequat de >0 les fonctions suivantes representent aussi les m^emes

2. Montrer que si= 1, on retrouve le cas d'une fonction lineaire, si!0, on retrouve une

3. Etant donne une fonction de demanded(p;w) = (dx(p;w);dy(p;w)), on denit l'elasticite de

1.6 Exercice supplementaire : Non satiation

02R2+telle queu(x0)> u(x).

1. Montrer que si la stricte monotonicite est veriee alors la condition de non-satiation est veriee.

2. Montrer que la contrainte de budget est saturee a la demande si la stricte monotonicite est

Sinon, construire un contre-exemple.

3. On suppose que la fonction de demande pour le premier bien est donnee pardx(p;w) =wp

1.7 Exercice supplementaire : Fonction d'utilite particuliere (dicile)

On considere la fonction d'utilite suivante :

2 Economies d'echange

2.1 Fonction d'utilite Cobb-Douglas :

1(x;y) =x13

1= (1;1); e2= (1;2)

1. Verier si l'economie possede un equilibre concurrentiel.

2. Si oui, determinerles prixetles allocationscorrespondantes.

3. Representer les dierentes quantites dans une bo^te d'Edgeworth.

2.2 Fonction d'utilite de Leontief :

1(x;y) =u2(x;y) = min(x;y)

1= (2;6); e2= (1;2)

M^emes questions que precedemment

2.3 Fonction d'utilite lineaire :

1(x;y) =ax+y; u2(x;y) =x+ayou 0< a <1

1= (1;1); e2= (1;2)

M^emes questions que precedemment

2.4 Exercice supplementaire : Fonction d'utilite a elasticite de substitution constante

1(x;y) = (18