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Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition 3 Montrer que la droite d'équation y = x est asymptote oblique `a la courbe en +∞ et en − ∞

GENERALITES SUR LES FONCTIONS 1

2M stand/renf - JtJ 2019 Chapitre 1: Généralités sur les fonctions

Prérequis: Calcul littéral Requis pour: fonctions usuelles, études de fonctions, dérivées, intégrales

1.1 Introduction au concept de fonction

Le terme mathématique fonction apparaît à la fin du XVII e

siècle, quand le calcul différentiel et intégral en était aux premiers stades de son développement. Cet important concept est maintenant l'épine dorsale des cours de

mathématiques et il est indispensable dans tous les domaines scientifiques

. Un exemple de la vie courante: Vous achetez des timbres à 90 centimes. Le prix que vous paierez à la caisse dépendra du nombre de timbres que vous achetez. On dira alors que le prix est fonction du nombre de timbres. Définitions: Lorsqu'on met en relation des éléments d'un ensemble A avec des éléments d'une

partie B, on obtient une application f de A vers B, si les 2 règles suivantes sont respectées: • Règle 1: tout élément de A est mis en relation avec un élément de B • Règle 2: aucun élément de A n'est mis en relation avec plusieurs éléments de B Une application d'une partie de IR vers IR est appelée fonction.

Si x est mis en relation avec y par la fonction f, on dit que y est l'image de x par f. On dira également que x est une préimage de y

On rencontre différentes façons de représenter une fonction:

Expressions de la fonction

f: A B x

0,9x ou f

(x) = 0,9x ou y = 0,9x

Tableau de valeurs

Diagramme sagittal 1

2 3 x 0,90 1,80

2,701,50

y A B

Le graphique

GENERALITES SUR LES FONCTIONS 3

2M stand/renf - JtJ 2019

Attention: toute courbe n'est pas une fonction.

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 x y

1-0.50.511.52

-1.5-1 -1-0.50.51.5 -1.5 -0.5 0.5 1 1 1.5 x y

Une cardioïde Un cercle

Test de la droite verticale Il est facile de vérifier si une courbe est bien le graphe d'une fonction. Une droite verticale balayant le plan de gauche à droite doit partout croiser le graphe au

plus une fois (zéro ou une fois).

Exercice 1.2:

Tracer le graphique des fonctions f suivantes pour x [-3 ; 3] a) f (x) = 2x - 1 b) f (x) = - 1 3 x+2 c) f (x) = x 2 - 2x d) f (x) = -x 2 + 4 e) f (x) = | x | f) f (x) = x+2

Exercice 1.3:

Un certain nombre d'exercices ou de compléments théoriques vous sont proposés sur mon site dont l'adresse est : http://www.javmath.ch

Cliquez ensuite sur les liens 2

ème

année : Maturité standard ou Maturité renforcé. Vous repérerez ces compléments dans ce polycopié à l'aide du logo représenté ci-contre.

L'exercice 1.3 vous attend donc à l'adresse ci-dessus. Exercice 1.4: Soit la fonction f définie par f (x) = 2x 2

+ 5x - 7. a) Déterminer les abscisses où la courbe y = f (x) coupe l'axe Ox. b) Déterminer l'ordonnée où la courbe y = f (x) coupe l'axe Oy.

4 CHAPITRE 1

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1.3 Image et image réciproque

Définitions: Soit f une fonction de l'ensemble A dans l'ensemble B. L'image de l'application f, notée Im(f ) est le sous-ensemble de B constitué de toutes les images des éléments de l'ensemble de départ A. L'image réciproque d'un élément y de l'ensemble d'arrivée B, notée r f (y), est l'ensemble des éléments de A dont l'image par l'application f est y. L'image réciproque d'une partie P de l'ensemble d'arrivée B, notée r f (P), est l'ensemble des éléments de A dont l'image par l'appl. f est contenue dans P. Exemples: 1) Soit la fonction f représentée dans le diagramme suivant. Compléter: 1 2 5 4 1 4 5 6 A B 3 f (1) = ... r f (1) = ... f ({1 ; 2 ; 3}) = ...... r f ({1 ; 4}) = ...... r f (6) = ... Im( f ) = .........

2) Soit la fonction f définie par f

(x) = x 2 - 2x - 3 représentée ci-dessous. Compléter: -4 -3 -2 -1 1 2 xy-2-1123 f (1) = ... r f (0) = ... f ([0 ; 3])= ...... r f ([-4 ; 0]) = ...... r f (-5) = ... Im( f ) = ......... f

GENERALITES SUR LES FONCTIONS 5

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3) Soit la fonction f définie par f (x) = x

2 + 2, compléter les relations f (0) = ... r f (6) = ...... Im( f ) = ...... r f ([11; 27]) = ...... http://www.javmath.ch

Exercice 1.5:

Soit f la fonction donnée par f

(x) = 3x 2

+ x - 5 a) Calculer les images de 0 et de -3 b) Calculer les préimages (ou image réciproque) de 5 et de -6

Exercice 1.6: On considère la fonction f définie par f (x) = x 2 - 3x + 2 a) Effectuer un tableau de valeurs pour x [-4 ; 4] b) Représenter le graphique de cette fonction c) À l'aide du graphique déterminer f ({-1 ; 0 ; 2}) r f ({-6 ; 0 ; 4}) f (IR ) f ([3 ; 6[) f ([1 ; 2]) r f ([-3 ; -2]) r f ([1 ; 2]) r f ([2 ; 4[) Exercice 1.7: a) Soit la fonction f définie par f (x) = -x 2 + 6. Déterminer Im( f ). b) Même question pour la fonction g définie par g(x) = x 2 + 2x + 6

Exercice 1.8:

Soit la fonction f définie par f (x) =

1 x3 . Déterminer a) f (4) b) f (3) c) 4 f (x) d) f (4x) e) f (x + 4) f) f (4) + f (x) g) f (-x) h) -f (x)

6 CHAPITRE 1

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1.4 Ensemble de définition

Soit la fonction f représentée ci-contre et définie par: f(x)=2x+1 x 2 x6

Déterminer f

(-2) puis f (3) -4 -3 -2 -1 1 2 x y -4-3-2-11234 f

Lorsque l'on cherche l'ensemble de définition, on se souviendra des commandements suivants: • Il est interdit de diviser par zéro. • Il est interdit de prendre la racine carrée d'un nombre négatif. • Il est interdit de calculer le logarithme d'un nombre négatif ou nul.

Nous aurons l'occasion d'étudier plus précisément le pourquoi de ces commandements au chapitre suivant en introduisant le calcul de limites.

Définition: L'ensemble de définition d'une fonction f est l'ensemble des nombres x pour lesquels f (x) existe. On note E D ( f ) cet ensemble (ou simplement E D

Exemple: Soit la fonction f définie par

f(x)=2 4x 2 12x+9 représentée ci-dessous.

Déterminer E

D ( f ) et Im(f ) 1 2 3 4 5 6 xy-4-3-2-11234567 f E D ( f ) = Im( f ) =

GENERALITES SUR LES FONCTIONS 7

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Exercice 1.9:

Déterminer E

D ( f ) des fonctions f suivantes: a) f(x)=4 1 2 x b) f(x)=x 2 x2 c) f(x)=2+x x1 d) f(x)=x 2 +5x+9 x 2 18 e) f(x)=3x x 2 +x f) f(x)=5 3x 2 19x14 g) f(x)=5 2x 2 +4x7 h) f(x)=x1 x 2 +4x18

Exemples (suite)

(2) On a représenté la fonction f définie par f(x)=x 2

4. Déterminer E

D ( f ) et Im( f ) f E D ( f ) = Im( f ) = (3) Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f donnée par f(x)=x+3 x5 (4) Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f donnée par f(x)=x+3 x5

8 CHAPITRE 1

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Exercice 1.10:

Déterminer l'ensemble de définition des fonctions f définies par: a) f (x) = 63x b) f (x) = 9x 2 c) f (x) = x1x+5 d) f (x) = (x1)(x+5) e) f (x) = x3 x5 f) f (x) = x3 x5

1.5 Tableau de signes de f.

Lorsqu'une fonction f est donnée par sa formule, une bonne esquisse graphique peut permettre de mieux l'appréhender. Il n'est cependant pas indispensable d'effectuer un graphique avec un tableau de valeurs. La recherche de E

( f ), des zéros de f ainsi que du tableau de signes nous sera le plus souvent suffisante. Exemples (à compléter) (1) Effectuer une bonne esquisse de la fonction f définie par f

(x) = (x 2 - 9)(x + 1) 2

GENERALITES SUR LES FONCTIONS 9

2M stand/renf - JtJ 2019 (2) Effectuer une bonne esquisse de la fonction g définie par g(x)=5(9x 2 x 2 +2x+1

Exercice 1.11: Déterminer E

D ( f ), les zéros, le tableau de signes ainsi qu'une esquisse des fonctions f suivantes: a) f(x)=45x b) f(x)=x 2 x2 c) f(x)=(x+4) 2 (2+x) d) f(x)=6x 3 +11x 2 3x e) f(x)=x 3 +2x 2

4x8 f) f(x)=x

4 +5x 2 36
g) f(x)=x(x+4)

32x h) f(x)=2x

16x 2 i) f(x)=(x+2) 2 (x+1) x 2 +x j) f(x)=x1x k) f(x)=1x+3x+1

10 CHAPITRE 1

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Exercice 1.12:

a) Représenter sur le graphe ci-dessous les fonctions f et g définies par: f(x)=81x 2 et g(x)=81x 2 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 y -11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-11234567891011 x b) Que constatez-vous ?

GENERALITES SUR LES FONCTIONS 11

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1.6 Quelques fonctions et le nom de leur courbe:

Fonctions constantes f

(x) = c Son graphe est une droite horizontale "à la hauteur" c

Exemple: f (x) = 3

-1 1 2 3 4 y -4-224x

Fonctions linéaires f

(x) = m·x Son graphe est une droite qui passe par l'origine et dont la pente vaut m m=y x= diff. de hauteur diff. de longueur

Exemple: f (x) = -2x

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GENERALITES SUR LES FONCTIONS 1

1.1 Introduction au concept de fonction

Expressions de la fonction

0,9x ou f

Tableau de valeurs

Diagramme sagittal 1

2,701,50

Le graphique

GENERALITES SUR LES FONCTIONS 3

Attention: toute courbe n'est pas une fonction.

1-0.50.511.52

Une cardioïde Un cercle

Exercice 1.2:

Exercice 1.3:

Cliquez ensuite sur les liens 2

ème

4 CHAPITRE 1

1.3 Image et image réciproque

2) Soit la fonction f définie par f

GENERALITES SUR LES FONCTIONS 5

3) Soit la fonction f définie par f (x) = x

Exercice 1.5:

Soit f la fonction donnée par f

Exercice 1.8:

Soit la fonction f définie par f (x) =

6 CHAPITRE 1

1.4 Ensemble de définition

Déterminer f

Exemple: Soit la fonction f définie par

Déterminer E

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Exercice 1.9:

Déterminer E

Exemples (suite)

4. Déterminer E

8 CHAPITRE 1

Exercice 1.10:

1.5 Tableau de signes de f.

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Exercice 1.11: Déterminer E

4x8 f) f(x)=x

32x h) f(x)=2x

10 CHAPITRE 1

Exercice 1.12:

GENERALITES SUR LES FONCTIONS 11

1.6 Quelques fonctions et le nom de leur courbe:

Fonctions constantes f

Exemple: f (x) = 3

Fonctions linéaires f

Exemple: f (x) = -2x