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Calculer les produits scalaires suivants : 1) Le but de cet exercice est de démontrer, à l'aide du produit scalaire, que les hauteurs d'un triangle sont concou-

Partie A - Premiers calculs de produits scalaires

Exercice 1

SoitABCun triangle etHle pied de la hauteur issue deA. On a :AB= 6,BH= 4etHC= 5.CBHACalculer les produits scalaires suivants :

1) # »BA·# »BC

2)# »AB·# »AH3)# »AH·# »AC

4)# »CA·# »CB5)# »HB·# »CB

6)# »AH·# »BC

Exercice 2SoitABCDun carré de côté 5. Calculer les produits scalaires suivants :

# »AB·# »AC# »BA·# »BD# »BC·# »BDN. PEYRAT Page 1 sur 4 Lycée Saint-Charles

1 ère2Produit scalaire - ExercicesSpécialité MathématiquesExercice 3 SoitABCDun trapèze rectangle enAetDtel queAB=AD= 5etDC= 7.

Calculer les produits scalaires suivants :

1) # »AB·# »AD

2)# »CD·# »AB

3)# »AC·# »AD4)

# »AB·# »BC

5)# »CA·# »CD

6)# »AC·# »BDABCD

Partie B - Propriétés algébriques

Exercice 4

Les écritures suivantes n"ont pas de signification mathématique. Pour quelle(s) raison(s)?

1)(#»u·#»v)·#»v2)#»u·(#»v·#»v)3)#»u+ (#»u·#»v)4)#»v·# »u+v

Exercice 5On donne les vecteurs

#»uet#»vtels que?#»u?= 3;?#»v?= 4et#»u·#»v=-6.

Calculer chacune des expressions suivantes.

1) #»u·(2#»u-#»v)

2)(5#»u+ 3#»v)·#»v

3)(2#»u-3#»v)·(-#»u+#»v)

4)(3#»u-2#»v)25)(#»u+ 2#»v)·(#»u-2#»v)

7)?2#»u-#»v?2

8)?#»u+ 3#»v?2- ?#»u-3#»v?2Partie C - Autres calculs de produits scalaires

Exercice 6

Dans chacun des deux cas suivants, déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de

l"angle [ACB.

1)CA= 8,CB= 4et# »CA·# »CB= 12.2)CA= 5,CB= 8et# »CA·# »CB=-6.

Exercice 7On se place dans un repère orthonormé. Soient les pointsA(0;4),B(6;3)etC(-5;-2).

1)Calculer# »AB·# »ACpuis les longueursABetAC.

2)En déduire une valeur en degrés de la mesure de l"angle[BAC.

Exercice 8ABCDest un parallélogramme tel que :AB= 4,AD= 2et\BAD= 45°.

1)Calculer les produits scalaires# »AB·# »ADet# »AB·# »DC.

2)En déduire la valeur de# »AB·# »AC.N. PEYRAT Page 2 sur 4 Lycée Saint-Charles

1 ère2Produit scalaire - ExercicesSpécialité MathématiquesExercice 9 ABCDest un trapèze rectangle dont la diagonale[AC] est perpendiculaire au côté[BC].

En calculant

# »AB·# »ACde deux manières différentes, dé- montrer queAC2=AB×CD.C BAD

Exercice 10

ABCest le triangle ci-contre.Hest le pied de la hauteur issue deAetKest le pied de la hauteur issue deC.

On a de plus :HA= 4,HB= 2etHC= 4.

1)Calculer# »BA·# »BC.

2)Calculer la longueurBK.CBHA

Partie D - Pour aller plus loin

Exercice 11

ABCDest un carré de côté4.

IetJsont les milieux respectifs des côtés[AD]et[CD].

1)Démontrer que?# »BA+# »BD?·?# »BD+# »BC?= 64.

2)En déduire le produit scalaire# »BI·# »BJ.

3)Démontrer queBI= 2⎷5.

4)Déterminer alors la valeur approchée par excès au degré

près de la mesure de l"angle ?IBJ.ABJDC I

Exercice 12

ABCest un triangle. On construit les deux triangles

BADetEAC, directs rectangles et isocèles en A.

1)Démontrer que# »AD·# »AE=-# »AB·# »AC.

2)En déduire que les droites(BE)et(CD)sont

perpendiculaires.A BDE C

N. PEYRAT Page 3 sur 4 Lycée Saint-Charles

1 ère2Produit scalaire - ExercicesSpécialité MathématiquesExercice 13

SoitABCun triangle quelconque.

1)Démontrer que, pour tout pointMdu plan, on a :# »MA·# »BC+# »MB·# »CA+# »MC·# »AB= 0

2)En déduire que les trois hauteurs d"un triangle sont concourantes.

Exercice 14ABCDest un rectangle tel que :AB= 5etAD= 2.

Mest le point du segment[CD]tel queCM= 4. On

se propose de démontrer de trois façons différentes que le triangleABMest rectangle.ABCDM

1)Avec le théorème de Pythagore.

2)Avec la géométrie analytique dans le repère orthonormé(A;#»ı ,#»?), où#»ı=15

# »ABet#»?=12 # »AD.

3)En développant et en simplifiant :?# »MD+# »DA?·?# »MC+# »CB?.N. PEYRAT Page 4 sur 4 Lycée Saint-Charles

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