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123,456789 possède un nombre fini de chiffres après la virgule et est donc un décimal Exercice 3 Parmi les rationnels suivants, quels sont ceux qui sont

Chapitre1

Ensemblesdenombres

Enmat hmatiquesnoussommesconfrontsdiffrentsensembles.Lesplus simplesdÕent res euxsont desensemblesdeno mbres.N ousallonstudiscerta inespropri tsdecesderniersdans cech apitre.

1.1Intr oduction

Certainsnombresapparai ssentnaturellementda nsleviedetouslesjo urs(notamme ntlorsquÕil

sÕagitdednombr erdesq uantitsdiversesetvaries).P ourtantlaconst ructionh istorique(dÕun

pointdevuema thmat ique)dece sensemblesnÕestpasforcmentcelle quelÕonim agine.Voici quelquesmotscesujet : ¥Lesno mbresentierssontconnus depuisEuclide(env iron300av.J.C. ),lanotationN ¥Lesn ombresentiersrelatifs( possdantventuell ementunsigneÇffÈ)appa raissentdansdes textesdumathm aticien sindienårybhata(476ff550):i lsp ermettentd etraiterlanotion dede ttesetderecettes .Cesnom bres sontgalementprsentsdanslescritsduperseAbu I-Wafa(940ff998);enrev anche,i lfautattendrelestravauxde Stevin (1548ff1620)pou r quÕilsapparaise ntenEurope.Laconstructionformell edecetteensembl eestdenouveau obtenueparDedekind( 1831ff1916)e tlanotat ionZ(dumota llemandZahlensigniÞant ¥Lano tiondefractionestdj prsent edansdespapyrusgyptiens(notammen tlepapyrus Rhinddatantdeff1650av .J.C.)mais leurvritablecons tructionmath matiqueda tedes travauxdePeanoen18 95;ilc hoisitlalettreQ(delÕi talienquozientesigniÞantquotient) pourdsig nerdetelsnombres.

¥Certainsnombrescommeffou

CantoretDedekind .

8CHAPITRE1.ENSEMBL ESDENO MBRES

1.2Nombr esentiers

Lesno mbreslesplussimples manipu lersontlesnom bresentiers. DÞnition1.2.1.1.LÕe nsembleNdsignelÕensemble desentierspositifs.Autrementdit,

N={0,1;2 ,...;100;...;}

2.L ÕensembledesentiersrelatifsZdsignelÕensemblede snombresentiers.Autrementdit,

Remarque.Enpart iculier,N#Zcecisi gniÞequetousleslmentsde Nsontgale mentdeslments

propritsdecesdeuxensemblesplus tar ddanslÕanne .

1.3Nomb resfractionnaires

DÕautresnombresappara issentnaturellementd anslaviedetouslesjou rs,ilsÕag itdesnombres fractionnaires.Cesdernierssontobtenuslorsq uedesprop ortionsdÕunquant itdonneestm iseen jeu(le tiersdÕun gteau,unedemi- heure,etc). Cesensemblescon tiennentlesensemblesdÕentiers introduitsplustt.VoicilÕundÕe ntreeux. DÞnition1.3.1.LÕensembledesnombresdcimau xDestcomp osdenombresdelaforme a 10 n aveca$Z,n$N

Exemple1.3.1.1.ff1$Dcarff1=

a 10 n aveca=ff1$Zetn=0$N.

2.20,3$Dcar20,3=

a 10 aveca=203$Z. Iles timportan tdÕobserverquetoutnombred cimaladmetundveloppementdcimalavecun Exemple1.3.2.Voiciquelque sexemplesillustrantcett eproprit: 1 2 =0,5;ff 3 25
=ff0,12; 217
125
=1,736 DÞnition1.3.2.LÕensembledesnombresrationn elsQestcom posdenombredelaforme a b aveca$Z,b$Z ff

1.3.NOM BRESFRACTIONNAIRES9

Remarque.Enpart iculierD#Q.Pourcela,ilsu"tdÕobserverquetouslmentsdeDsÕcritdela faonsuivante a 10 n a b avecb=10 n $Z ff

Quelquesexemplesdenomb resrationels.

a b aveca=107$Zet b=22$Z ff 2. 1 3 =0,33333...$Qcar 1 3 a b aveca=1$Zetb=3$Z ff Remarque.Iles tpossible demontrerquetouslment sdeQpeuventsÕcrireave cunnombreÞni indÞniment. Iles talorsnat ureldesÕinterr ogersurlefaitsuivant: 1 3 =0,3333333... sÕagitdÕunlmen tdeQmaissepou rrait- ilque 1 3 $D?

Commenousallo nslevoir

1 3 DÞnition1.3.3.Touslesno mbresdivi siblespar3peuventsÕcriredel afaonsuivante:

3aaveca$Z(1.3.1)

Exemple1.3.4.Ils u"tdeprendrequelquesexemplespoursÕenconvaincre:3=3%1,27=

3%9,....Enrevanche,5 nÕe stpasdivisiblepar3caril nÕe stpaspossibledÕexprimer5souslaforme

5=3aaveca$Z(ici,ilestes sentiel queasoitunenti errela tif).

composeestdivisibl epar3. Exemple1.3.5.Parexem ple,27estdivisiblepar3c ar2+7= 9estdivis iblepar3;25nÕestpas divisiblepar3car3nedivisepa s2+5= 7. Nouspouvon sprsentnousattaquera ur sultatsuivant.

Proposition2.

1 3 $Qmais 1 3 /$D.

10CHAPITRE1.ENSEMBLE SDENOM BRES

Dmonstration.Ladm onstrationdececisefaitparlÕabsurde:nousallonssupposerle contrairedece quenousso uhaitonsd montre r(i.e. 1 3 $D)aÞndÕaboutirunecontradiction .

Supposonsdonc,parlÕabsur de,que

1 3 existea$Zetn$Ntelque 1 3 a 10 n Nousallons voirquecetteidentitv anousamener unecontradiction.Pourcela,ilsu"tdÕobserver quecett eidentitpeutsÕ criresouslaforme 10 n =3a.

Ainsi,10

n estunmu ltiple de3(pardÞnition,cf.1.3.1),ce ciestabsurd ecarlasom medeschiffres composant10 n (cenom brenÕestriendÕautre que1suivitdenzros)vaut1qu inÕestpasdivi sib le par3(c f.pr oposition1)

1.4Nombr esrels

VoyonsenÞnunder nierensemble ,plus grandencore:celuidesnombresrels.Intuitivement, ilco ntienttouslesnombresqu enouspouvons renco ntrerdanslaviedetouslesjours.Ilestdonc

composdetouslesenti ers,det outeslesfracti onsmai sausside tousle sautresnombr esquÕiln Õest

pasposs ibledÕexprimersouslaform edÕunefractionoudÕunnombreentier( certainsracinescarr es

parexe mple). DÞnition1.4.1.LÕensembledesnombresrelsRestcomp osdetouslesnombresusuels:

R={...,ff;

2;ff4;

45
7 ;0,234;4372...} Remarque.1.Il estsouv entutiled ereprsentercetense mbledenombregraphiquementlÕaide

dÕunedroit egradue.Danscecas ,ilestalorspossibl edÕassocierunnombre re ltout point

Mdece ttedroitegradue. Cenombreestappela bscissedupointM.

2.Ob servonsgalementquelenombre

alorsnature ldesedemandersi 2$Q. CommenouslÕav onsfaitremar querplustt,lesinclu sionssuivantessontvriÞes

N#Z#D#Q#R

Ile xisteencoredenombr euxensemblesenmat hmati quesmaisilfaudrapatienterencorepourles

tudier.

Pythagoretaientp ersuadsquetouteslongue urspouvanttredes sinerdevaitaussisÕcrire comme

unnom brerationnel(i. e.unefraction a b $Q).Il sfurentbi enennuyfacelÕhy potnusedÕun

2etcommenousallonslevoir

2/$Q.CeciseratraitdansunD.M.

1.5.ENCA DREMENTPARDESNOMBRESDCIMAUX11

Proposition3.

2/$Q. Dmonstration.Cf.D.M. (donndansle chapitredÕarithm tique)

1.5Encad rementpardesnombresdcimaux

IlnÕ estpaspossibled Õcrire

iles talorspra tiquedetrouve runencadrementdecelui- cilÕaidedenomb resdc imaux(quisont plussim plesmanipuler). DÞnition1.5.1.Unenc adrementdcimaldÕunnombrere lxestunei ngalitdela forme d 1 &x&d 2 avecd 1 ,d 2 $D.

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Chapitre1

Ensemblesdenombres

1.1Intr oduction

¥Certainsnombrescommeffou

CantoretDedekind .

8CHAPITRE1.ENSEMBL ESDENO MBRES

1.2Nombr esentiers

N={0,1;2 ,...;100;...;}

2.L ÕensembledesentiersrelatifsZdsignelÕensemblede snombresentiers.Autrementdit,

1.3Nomb resfractionnaires

Exemple1.3.1.1.ff1$Dcarff1=

2.20,3$Dcar20,3=

1.3.NOM BRESFRACTIONNAIRES9

Quelquesexemplesdenomb resrationels.

Commenousallo nslevoir

3aaveca$Z(1.3.1)

3%9,....Enrevanche,5 nÕe stpasdivisiblepar3caril nÕe stpaspossibledÕexprimer5souslaforme

5=3aaveca$Z(ici,ilestes sentiel queasoitunenti errela tif).

Proposition2.

10CHAPITRE1.ENSEMBLE SDENOM BRES

Supposonsdonc,parlÕabsur de,que

Ainsi,10

1.4Nombr esrels

R={...,ff;

2;ff4;

2.Ob servonsgalementquelenombre

N#Z#D#Q#R

tudier.

2etcommenousallonslevoir

2/$Q.CeciseratraitdansunD.M.

1.5.ENCA DREMENTPARDESNOMBRESDCIMAUX11

Proposition3.

1.5Encad rementpardesnombresdcimaux

IlnÕ estpaspossibled Õcrire

Ladi ffrenced

Exemple1.5.1.Iles tvidentq ue1,4<

2<1,5estunencadrementde

2dÕamplitude

1,5ff1,4=0,1=10