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Espaces Vectoriels Pascal lainé

Espaces vectoriels

Exercice 1.

Soient dans Թଷ les vecteurs ݒଵൌሺͳǡͳǡ-ሻ, ݒଶൌሺͶǡͳǡͶሻ et ݒଷൌሺ-ǡെͳǡͶሻ.

La famille ሺݒଵǡݒଶǡݒଷሻ est-elle libre ?

Allez à : Correction exercice 1

Exercice 2.

Les familles suivantes sont-elles libres ?

1. ݒଵൌሺͳǡ-ǡͳሻ, ݒଶൌሺ-ǡ-ǡ-ሻ et ݒଷൌሺ͵ǡ͹ǡͳሻ dans Թଷ.

2. ݒଵൌሺͳǡ-ǡ-ሻ, ݒଶൌሺ-ǡͳǡͳሻ et ݒଷൌሺͳǡͳǡͳሻ dans Թଷ.

3. ݒଵൌሺͳǡ-ǡͳǡ-ǡͳሻ, ݒଶൌሺ-ǡͳǡ-ǡͳǡ-ሻ, ݒଷൌሺͳǡ-ǡͳǡͳǡ-ሻ et ݒସൌሺ-ǡͳǡ-ǡ-ǡͳሻ dans Թହ.

4. ݒଵൌሺ-ǡͶǡ͵ǡെͳǡെ-ǡͳሻ, ݒଶൌሺͳǡͳǡ-ǡͳǡ͵ǡͳሻ et ݒଷൌሺ-ǡെͳǡ-ǡ͵ǡ͸ǡ-ሻ dans Թ଺.

5. ݒଵൌሺ-ǡͳǡ͵ǡെͳǡെͶǡെͳሻ, ݒଶൌሺെͳǡͳǡെ-ǡ-ǡെ͵ǡ͵ሻ et ݒଷൌሺͳǡͷǡ-ǡͶǡെͳǡ͹ሻ dans Թ଺.

Allez à : Correction exercice 2

Exercice 3.

On considère dans Թ௡ une famille de Ͷ vecteurs linéairement indépendants ሺ݁ଵǡ݁ଶǡ݁ଷǡ݁ସሻ

Les familles suivantes sont-elles libres ?

1. ሺ݁ଵǡ-݁ଶǡ݁ଷሻ.

2. ሺ݁ଵǡ݁ଷሻ.

3. ሺ݁ଵǡ-݁ଵ൅݁ସǡ݁ସሻ.

4. ሺ͵݁ଵ൅݁ଷǡ݁ଷǡ݁ଶ൅݁ଷሻ.

5. ሺ-݁ଵ൅݁ଶǡ݁ଵെ͵݁ଶǡ݁ସǡ݁ଶെ݁ଵሻ.

Allez à : Correction exercice 3

Exercice 4.

Soient dans Թସ les vecteurs ݑଵൌሺͳǡ-ǡ͵ǡͶሻ et ݑଶൌሺͳǡെ-ǡ͵ǡെͶሻ. Peut-on déterminer ݔ et ݕ pour que

ሺݔǡͳǡݕǡͳሻܸא݁ܿݐሺݑଵǡݑଶሻ ? Et pour que ሺݔǡͳǡͳǡݕሻܸא݁ܿ

Allez à : Correction exercice 4

Exercice 5.

Dans Թସ on considère l'ensemble ܧ

L'ensemble ܧ

Allez à : Correction exercice 5

Exercice 6.

Dans l'espace Թସ, on se donne cinq vecteurs : ݒଵൌሺͳǡͳǡͳǡͳሻ , ݒଶൌሺͳǡ-ǡ͵ǡͶሻ, ݒଷൌሺ͵ǡͳǡͶǡ-ሻ,

ݒସൌሺͳ-ǡͶǡͳ͵ǡ͹ሻ et ݒହൌሺͳǡ͹ǡͺǡͳͶሻ

Chercher les relations de dépendance linéaires entre ces vecteurs. Si ces vecteurs sont dépendants, en

extraire au moins une famille libre engendrant le même sous-espace.

Allez à : Correction exercice 6

Exercice 7.

Dans l'espace Թସ, on se donne cinq vecteurs : ݒଵൌሺͳǡͳǡͳǡͳሻ , ݒଶൌሺͳǡ-ǡ͵ǡͶሻ, ݒଷൌሺ͵ǡͳǡͶǡ-ሻ,

ݒସൌሺͳ-ǡͶǡͳ͵ǡ͹ሻ et ݒହൌሺͳǡ͹ǡͺǡͳͶሻ

À quelle(s) condition(s) un vecteur ܾൌሺܾଵǡܾଶǡܾଷǡܾ

vecteurs ݒଵǡݒଶǡݒଷǡݒସ et ݒହ ? Définir ce sous-espace par une ou des équations.

Allez à : Correction exercice 7

Exercice 8.

Soit ܧ un espace vectoriel sur Թ et ݒଵ, ݒଶ, ݒଷ et ݒସ une famille libre d'éléments de ܧ

sont-elles libres?

1. ሺݒଵ ǡ-ݒଶǡݒଷሻ

Espaces Vectoriels Pascal lainé

2. ሺݒଵǡݒଷሻ

3. ሺݒଵǡݒଵ൅-ǡݒସሻ

4. ሺ͵ݒଵ൅ݒଷǡݒଷǡݒଶ൅ݒଷሻ.

5. ሺ-ݒଵ൅ݒଶǡݒଵെ͵ݒଶǡݒସǡݒଶെݒଵሻ

Allez à : Correction exercice 8

Exercice 9.

Dans Թସ, comparer les sous-espaces ܨ et ܩ

Allez à : Correction exercice 9

Exercice 10.

On suppose que ݒଵ, ݒଶݒ௡ sont des vecteurs indépendants de Թ௡.

1. Les vecteurs ݒଵെݒଶ, ݒଶെݒଷ, ݒଷെݒସݒ௡ିଵെݒ௡, ݒ௡െݒଵ sont-ils linéairement indépendants ?

2. Les vecteurs ݒଵ൅ݒଶ, ݒଶ൅ݒଷ, ݒଷ൅ݒସݒ௡ିଵ൅ݒ௡, ݒ௡൅ݒଵsont-ils linéairement indépendants?

3. Les vecteurs ݒଵ, ݒଵ൅ݒଶ, ݒଵ൅ݒଶ൅ݒଷ, ݒଵ൅ݒଶ൅ݒଷ൅ݒସݒଵ൅ݒଶ൅ڮ

ils linéairement indépendants?

Allez à : Correction exercice 10

Exercice 11.

Soient ܽൌሺ-ǡ͵ǡെͳሻ, ܾൌሺͳǡെͳǡെ-ሻ, ܿ

Soient ܧൌܸ݁ܿݐሺܽǡܾሻ et ܨൌܸ݁ܿݐሺܿǡ݀ሻ les sous-espaces vectoriels de Թଷ. Montrer que ܧൌܨ

Allez à : Correction exercice 11

Exercice 12.

Peut-on déterminer des réels ݔ, ݕ pour que le vecteur ݒൌሺെ-ǡݔǡݕǡ͵ሻ appartienne au sous-espace-vectoriel

engendré par le système ሺݑଵǡݑଶሻ, où ݑଵൌሺͳǡെͳǡͳǡ-ሻ et ݑଶൌሺെͳǡ-ǡ͵ǡͳሻ

Allez à : Correction exercice 12

Exercice 13.

Soient ݑଵൌሺ-ǡͳǡെ-ǡͳሻ, ݑଶൌሺͳǡ-ǡ-ǡെͳሻ, ݑଷൌሺ͵ǡ-ǡ-ǡെͳሻ, ݑସൌሺ-ǡ-ǡͳǡ-ሻ et ݑହൌሺ-ǡ-ǡ-ǡͳሻ des vecteurs

de Թସ. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier votre réponse.

1. ܸ݁ܿݐሺݑଵǡݑଶǡݑଷሻൌܸ݁ܿ

2. ሺͳǡͳǡ-ǡ-ሻܸא݁ܿݐሺݑଵǡݑଶሻܸת݁ܿ

3. ൫ܸ݁ܿݐሺݑଵǡݑଶሻܸת݁ܿ

4. ܸ݁ܿݐሺݑଵǡݑଶሻ൅ܸ݁ܿ

5. ܸ݁ܿݐሺݑସǡݑହሻ est un sous-espace vectoriel de supplémentaire ܸ݁ܿ

Allez à : Correction exercice 13

Exercice 14.

On considère les vecteurs ݒଵൌሺͳǡ-ǡ-ǡͳሻ, ݒଶൌሺ-ǡ-ǡͳǡ-ሻ, ݒଷൌሺ-ǡͳǡ-ǡ-ሻ, ݒସൌሺ-ǡ-ǡ-ǡͳሻ et ݒହൌሺ-ǡͳǡ-ǡͳሻ

dans Թସ.

1. ܸ݁ܿݐሺݒଵǡݒଶሻ et ܸ݁ܿ

2. Même question pour ܸ݁ܿݐሺݒଵǡݒଷǡݒସሻ et ܸ݁ܿ

3. Même question pour ܸ݁ܿݐሺݒଵǡݒଶሻ et ܸ݁ܿ

Allez à : Correction exercice 14

Exercice 15.

1. Est-ce que le sous-ensemble ܧൌሼሺݔǡݕሻא

vectoriel Թଶ, est un Թ-espace vectoriel ?

2. Est-ce que le sous-ensemble ܨൌሼሺݔǡݕǡݖሻא

Թଷ est un sous-espace vectoriel de Թଷ ?

Allez à : Correction exercice 15

Espaces Vectoriels Pascal lainé

Exercice 16.

Soient ݑଵൌሺͳǡെͳǡ-ሻ, ݑଶൌሺͳǡͳǡെͳሻ et ݑଷൌሺെͳǡെͷǡെ͹ሻ

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Espaces Vectoriels Pascal lainé

Espaces vectoriels

Exercice 1.

Allez à : Correction exercice 1

Exercice 2.

Les familles suivantes sont-elles libres ?

1. ݒଵൌሺͳǡ-ǡͳሻ, ݒଶൌሺ-ǡ-ǡ-ሻ et ݒଷൌሺ͵ǡ͹ǡͳሻ dans Թଷ.

2. ݒଵൌሺͳǡ-ǡ-ሻ, ݒଶൌሺ-ǡͳǡͳሻ et ݒଷൌሺͳǡͳǡͳሻ dans Թଷ.

3. ݒଵൌሺͳǡ-ǡͳǡ-ǡͳሻ, ݒଶൌሺ-ǡͳǡ-ǡͳǡ-ሻ, ݒଷൌሺͳǡ-ǡͳǡͳǡ-ሻ et ݒସൌሺ-ǡͳǡ-ǡ-ǡͳሻ dans Թହ.

4. ݒଵൌሺ-ǡͶǡ͵ǡെͳǡെ-ǡͳሻ, ݒଶൌሺͳǡͳǡ-ǡͳǡ͵ǡͳሻ et ݒଷൌሺ-ǡെͳǡ-ǡ͵ǡ͸ǡ-ሻ dans Թ଺.

5. ݒଵൌሺ-ǡͳǡ͵ǡെͳǡെͶǡെͳሻ, ݒଶൌሺെͳǡͳǡെ-ǡ-ǡെ͵ǡ͵ሻ et ݒଷൌሺͳǡͷǡ-ǡͶǡെͳǡ͹ሻ dans Թ଺.

Allez à : Correction exercice 2

Exercice 3.

Les familles suivantes sont-elles libres ?

1. ሺ݁ଵǡ-݁ଶǡ݁ଷሻ.

2. ሺ݁ଵǡ݁ଷሻ.

3. ሺ݁ଵǡ-݁ଵ൅݁ସǡ݁ସሻ.

4. ሺ͵݁ଵ൅݁ଷǡ݁ଷǡ݁ଶ൅݁ଷሻ.

5. ሺ-݁ଵ൅݁ଶǡ݁ଵെ͵݁ଶǡ݁ସǡ݁ଶെ݁ଵሻ.

Allez à : Correction exercice 3

Exercice 4.

Allez à : Correction exercice 4

Exercice 5.

Dans Թସ on considère l'ensemble ܧ

L'ensemble ܧ

Allez à : Correction exercice 5

Exercice 6.

Allez à : Correction exercice 6

Exercice 7.

Allez à : Correction exercice 7

Exercice 8.

1. ሺݒଵ ǡ-ݒଶǡݒଷሻ

Espaces Vectoriels Pascal lainé

2. ሺݒଵǡݒଷሻ

3. ሺݒଵǡݒଵ൅-ǡݒସሻ

4. ሺ͵ݒଵ൅ݒଷǡݒଷǡݒଶ൅ݒଷሻ.

5. ሺ-ݒଵ൅ݒଶǡݒଵെ͵ݒଶǡݒସǡݒଶെݒଵሻ

Allez à : Correction exercice 8

Exercice 9.

Allez à : Correction exercice 9

Exercice 10.

1. Les vecteurs ݒଵെݒଶ, ݒଶെݒଷ, ݒଷെݒସݒ௡ିଵെݒ௡, ݒ௡െݒଵ sont-ils linéairement indépendants ?

2. Les vecteurs ݒଵ൅ݒଶ, ݒଶ൅ݒଷ, ݒଷ൅ݒସݒ௡ିଵ൅ݒ௡, ݒ௡൅ݒଵsont-ils linéairement indépendants?

3. Les vecteurs ݒଵ, ݒଵ൅ݒଶ, ݒଵ൅ݒଶ൅ݒଷ, ݒଵ൅ݒଶ൅ݒଷ൅ݒସݒଵ൅ݒଶ൅ڮ

Allez à : Correction exercice 10

Exercice 11.

Allez à : Correction exercice 11

Exercice 12.

Allez à : Correction exercice 12

Exercice 13.

1. ܸ݁ܿݐሺݑଵǡݑଶǡݑଷሻൌܸ݁ܿ

2. ሺͳǡͳǡ-ǡ-ሻܸא݁ܿݐሺݑଵǡݑଶሻܸת݁ܿ

3. ൫ܸ݁ܿݐሺݑଵǡݑଶሻܸת݁ܿ

4. ܸ݁ܿݐሺݑଵǡݑଶሻ൅ܸ݁ܿ

5. ܸ݁ܿݐሺݑସǡݑହሻ est un sous-espace vectoriel de supplémentaire ܸ݁ܿ

Allez à : Correction exercice 13

Exercice 14.

1. ܸ݁ܿݐሺݒଵǡݒଶሻ et ܸ݁ܿ

2. Même question pour ܸ݁ܿݐሺݒଵǡݒଷǡݒସሻ et ܸ݁ܿ

3. Même question pour ܸ݁ܿݐሺݒଵǡݒଶሻ et ܸ݁ܿ

Allez à : Correction exercice 14

Exercice 15.

1. Est-ce que le sous-ensemble ܧൌሼሺݔǡݕሻא

2. Est-ce que le sous-ensemble ܨൌሼሺݔǡݕǡݖሻא

Allez à : Correction exercice 15

Espaces Vectoriels Pascal lainé

Exercice 16.

Soit ܧൌܸ݁ܿ

1. Donner une base de ܧ

2. Montrer que ܨ

3. Donner une base de ܨ

3. ൫ܸ݁ܿݐሺݑଵǡݑଶሻܸת݁ܿ