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Feuille d'exercices 8 : Espaces vectoriels Dimension Application 1 Sous- espaces vectoriels Préambule : Dans la suite on consid`ere E un espace vectoriel

Sous-espace vectoriel (sev)

Exercice 1.(☀)

Pour chacun des espaces vectorielsEet des partiesF, dire siFest un sous- espace vectoriel deE. a.Eest l"ensemble des fonctionsRdansR(=F(R;R)).

Fest l"ensemble des fonctions paires.

b.Eest l"ensemble des suites réelles.

Fest l"ensemble des suites divergentes.

c.Eest l"ensemble des suites réelles.

Fest l"ensemble des suites convergentes.

d.E=F(R;R). Fest l"ensemble des fonctionsfvérifiantlimx!+1f(x)x = 0. (autrement dit, des fonctionsftelles quef(x) =o x!+1(x)). e.E=R[X], ensemble des polynômes. Fest l"ensemble contenant le polynôme nul et les polynômes de degré supérieur ou égal à3.

Sev engendré par une partie

Exercice 2.(☀)

On se place dans l"espace vectorielR3.

On considère!u= (2;1;3),!v= (3;2;1),!s= (1;0;5)et!t= (1;1;2).

Montrer :Vect(!u ;!v) = Vect!s ;!t

.Exercice 3.(☀) On considère les vecteurs!u= (4;4;3),!v= (3;2;1),!s= (1;2;2)et!t= (1;6;7)dansR3. a.Montrer :Vect(!u ;!v) = Vect!s ;!t b.Déterminer une base deVect(!u ;!v).

Exercice 4.(☀)

Soient!u,!vet!wtrois vecteurs d"un espace vectorielE. a.Montrer que si!w2Vect(!u ;!v)alorsVect(!u ;!v ;!w) = Vect(!u ;!v). b.Montrer :Vect(!u ;!v ;!w) = Vect(!u+!v ;!v!w;!u+!v+ 2!w). c.(!u ;!u ;!v)est-elle libre?

Espaces vectoriels dansRn

Exercice 5.(☀)

Déterminer une base et la dimension des sev deR3suivants : a.F1=f(x;y;z)2R3j2x+yz= 0g. b.F2=f(x;y;z)2R3j xy+z= 0et2x+y5z= 0g. c.Compléter la base deF1en une base deR3. d.Compléter la base deF2en une base deR3.

Exercice 6.(☀)

Soientv1= (2;1;3;4),v2= (0;1;0;1),v3= (2;2;3;0),v4= (2;1;3;7), v

5= (4;4;6;5)etv6= (2;2;3;5)six vecteurs deR4.

On noteE= Vect(v1;v2;v3;v4;v5;v6).

a.La famille(v1;v2;v3;v4;v4;v5;v6)est-elle une famille libre deR4? b.Déterminer une baseBdeE. c.Donner les coordonnées du vecteurv6dans cette base.

d.Déterminer un vecteurv7tel que(v1;v2;v3;v7)est une base deR4.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 1

ECE2-B2018-2019Exercice 7.(☀)

On note(!e1;!e2;!e3)la base canonique deR3.

On considère les vecteurs!u= (1;1;1),!v= (1;1;0)et!w= (1;1;1). a.Montrer queB= (!u ;!v ;!w)forme une base deR3. b.Déterminer les coordonnées de!e1,!e2et!e3dans la baseB. En déduire les coordonnées de(x;y;z)dans la baseB.

Exercice 8.(☀)

Pour chaque familleAksuivante, déterminer si elle est libre, le rang de la famille, puis si c"est une base deR2. a.A1= ((1;2);(1;1)). b.A2= ((1;4)). c.A3= ((0;0)). d.A4= ((1;2);(2;3);(1;0)).

Exercice 9.(☀)

a.Montrer que((2;1);(1;1))est une base deR2. b.Déterminer les coordonnées de(1;3)dans cette base.

Exercice 10.(☀)

On considère l"espace vectorielR4.

a.Montrer que((1;1;1;1);(1;1;1;0);(1;1;0;3);(1;0;3;3))en est une base. b.Quelles sont les coordonnées de(1;0;0;1)dans cette base? Espace vectoriel défini par un système d"équations linéaires

Exercice 11.(☀☀)

Donner une base du sous espace vectoriel deR4formé des solutions(x;y;z;t) du système suivant. 8< :x+ 2yt= 0 x3y+ 9z= 0

3x4yt+ 18z= 0Exercice 12.(☀☀)

Toutes les réponses devront être justifiées.

1)Déterminer si les sous-ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels

deR3. a.A=(x;y;z)2R3jx+ 2y3z= 0 b.B=(x+y;xy;2y)j(x;y)2R2 c.C=(2x3y;x+ 1;x+ 3y)j(x;y)2R2 d.D=(x;y;z)2R3j2x=yety= 3z.

2)SoitAune matrice carrée d"ordren, à coefficients réels. Montrer que l"en-

semble des solutions de l"équationAX=0 B @0 01 C

A, d"inconnueX2Mn;1(R),

est un espace vectoriel réel.

3)Soitn2N. L"ensembleH=f(x1;x2;:::;xn)2Rnjx1+x2+:::+xn= 0g

est-il un espace vectoriel réel?

Espaces vectoriels de polynômes

Exercice 13.(☀☀☀)

On noteE=R4[X].

On dit qu"un polynômePest pair s"il définit une fonction polynomiale pairei.e.si :8x2R; P(x) =P(x). On définit de manière similaire les polynômes impairs.

SiFetGsont deux ev, on noteF+G=f!u+!vj!u2F!v2Gg.

a.Montrer que l"ensembleFdes polynômes pairs deEest un sous-espace vectoriel deE, et en donner une base. b.Même question avec l"ensembleGdes polynômes impairs deE.

c.Montrer :F\G=f0getF+G=E.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 2

ECE2-B2018-2019Exercice 14.(☀)

On considère l"espace vectorielR3[X].

a.Montrer que(1;1 +X;(1 +X)2;(1 +X)3)en est une base. b.Quelles sont les coordonnées deX3dans cette base? c.Montrer que : est aussi une base. d.Quelles sont les coordonnées deX3dans cette base?

Exercice 15.(☀☀)

Déterminer si les ensembles suivants sont des espaces vectoriels.

Si oui, en donner une base et la dimension.

a.H1=fP2R2[X]j 8x2R;2P(x)xP0(x) = 0g. b.H2=fP2R4[X]j 8x2R; P(x) + 5P0(x) + 3x= 0g. c.H3=fP2R2[X]jP(0) = 2P(1)g. d.H4=fP2R3[X]jP(1) = 0g. e.H5=fP2R3[X]jP(0) = 1g. f.H6=fP2R[X]jP0(0) = 0g. g.H7=P2R2[X]j 8x2R; P(x)(x1)P0(x) = (2x23x+ 4)P00(x). h.H8=fP2R[X]jdeg(P)>3g

Exercice 16.(☀)

On considère les polynômes :

P(X) =X; Q(X) =X1etR(X) = (X1)(X2)

a.Montrer que la famille(P;Q;R)forme une base deR2[X]. b.Soienta;b;ctrois réels. Déterminer un polynômeT2R2[X]tel que :

T(1) =a; T(2) =b; T(3) =cExercice 17.(☀)

On considère les polynômes :

1(X) = 1 +X+X2; P2(X) =X+X2etP3(X) =X2

a.Montrer que(P1;P2;P3)forme une base deR2[X]. b.SoitP(X) =aX2+bX+cun polynôme deR2[X]. Déterminer les coordonnées deP(X)dans la base(P1;P2;P3).

Exercice 18.(☀)

a.Montrer que1;(X1);(X1)2;(X1)3est une base deR3[X]. b.Déterminer les coordonnées deX3dans cette base. c.Plus généralement, déterminer les coordonnées de :

P(X) =a+bX+cX2+dX3

dans cette base.

Exercice 19.(☀)

Pour chaque familleAksuivante, déterminer si elle est libre, le rang de la famille puis si c"est une base deR2[X]. On notera(e0;e1;e2)ou(1;X;X2)la base canonique deR2[X]. a.A1= (P1;P2;P3)où les polynômesP1,P2etP3sont définis par :

P1(X) =1 + 3X+X2,

P2(X) = 42X+ 3X2,

P3(X) = 43X2X2.

b.A2= (P1;P2;P3)où les polynômesP1,P2etP3sont définis par :

P1(X) =5 + 2X,

P2(X) = 6X2,

P3(X) = 276X2X2.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 3

ECE2-B2018-2019Exercice 20.(☀☀☀)

Soitn2N.

On note(Xnk(1X)k)06k6nla famille de vecteurs deRn[X]suivante : (Xn;Xn1(1X);Xn2(1X)2;:::;X(1X)n1;(1X)n) a.Montrer que cette famille forme une base deRn[X]. b.Déterminer les coordonnées de1et de X12 n dans cette base.

Exercice 21.(☀☀)

a.Soitn2N. Montrer que la famille : (X; X(X1); X(X1)(X2); :::; X(X1):::(Xn)) est une famille libre deR[X]. On peut généraliser le résultat obtenu dans la question précédente. On dit qu"une famille finie de polynôme(P1;P2;:::;Pn)estéchelonnée en degré lorsque les polynômesP1;P2;:::;Pnsont de degrés deux à deux distintcs. b.Montrer, par récurrence surn2N, que toute famille denpolynômes non nuls et de degrés echelonnés est libre dansR[X]. (quitte à renuméroter les polynômes, on pourra supposer que : deg(P1)Espaces vectoriels de suites

Exercice 22.(☀☀)

On considèreEl"ensemble des suites réelles(un)n2Ntelle que, pour tout n2N,un+2=un+1+ 2un. a.Montrer queEest un espace vectoriel réel. b.Montrer que((2n)n2N;((1)n)n2N)forme une famille libre deE. c.En déduire la dimension deE.Exercice 23.(☀☀)

1)Montrer queE=(un)n2N2RNj 8n2N; un+3=un+22unest un

espace vectoriel réel.

2)Parmi les ensembles suivants, quels sont ceux qui ont une structure d"es-

pace vectoriel réel? Justifier votre réponse. a.L"ensemble des suites réelles à termes positifs. b.L"ensemble des suites réelles bornées. c.L"ensemble des suites réelles convergentes. d.L"ensemble des suites réelles divergentes. e.L"ensemble des suites(un)n2Ntelle que la sériePunconverge.

Espaces vectoriels de fonctions

Exercice 24.(☀☀)

On considère l"espace vectoriel des fonctions définies surR+à valeurs réelles.

On définit les fonctionsf1;f2;f3;f4etf5par :

8x2R+; f1(x) = ln(x); f2(x) =x; f3(x) =ex; f4(x) =ex+3; f5(x) =1x

a.La famille(f1;f2;f3;f4;f5)est-elle une famille libre de l"espace vectoriel des fonctions deR+dansR? b.Déterminer une base deVect(f1;f2;f3;f4;f5).

Exercice 25.(☀)

a.Montrer queE=f2 C1(R;R)j 8x2R; f0(x) =f(x)est un espace vectoriel réel. b.Montrer queF=n f2 C0([0;1];R)jR1

0f(t)dt= 0o

est un espace vec-

toriel réel.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 4

ECE2-B2018-2019Exercice 26.(☀☀☀)

On noteFl"espace vectoriel réel des applications deRdansR. On noteCl"ensemble des fonctions définies et continues surR, à valeurs réelles. a.Montrer queCest un espace vectoriel réel. b.Pour toutn2N, on notefnla fonction définie surRpar :

8x2R; fn(x) =enx

Montrer que pour toutn2N, la famille(f0;f1;:::;fn)est libre dansC. En déduire que l"espace vectorielCn"est pas de dimension finie. c.En déduire que l"espace vectorielFn"est pas de dimension finie.

Remarque

À l"aide d"un raisonnement analogue, on montre que l"espace vectorielR[X] n"est pas de dimension finie, en remarquant que pour toutn2N, la famille (1;X;X2;:::;Xn)est libre. De même, on montre que l"espace vectorielRNdes suites réelles n"est pas de dimension finie, en montrant, par exemple, que pour toutp2N, la famille((1)n2N;(2n)n2N;:::;(pn)n2N)est libre dansRN.

Espaces vectoriels de matrices colonnes

Exercice 27.(☀)

On se place dansM3;1(R). On considère les matrices colonne X 1=0 @1 1 11 A; X 2=0 @2 1 01

AetX3=0

@5 2 21

Aa.Montrer que(X1;X2;X3)est une base deM3;1(R).

b.Déterminer les coordonnées des vecteurs0 @1 0 01 A,0 @0 1 01 Aet0 @0 0 11

Adans la base

B= (X1;X2;X3).

En déduire les coordonnées de0

@a b c1

A2M3;1(R)dans la baseB.Exercice 28.(☀)

On se place dans l"espace vectorielE=M4;1(R).

On considère les vecteurs deE:

X 1=0 B B@1 1 1 m1 C CA; X 2=0 B B@1 1 m 11 C CA; X 3=0 B B@1 m 1 11 C

CAetX40

B B@m 1 1 11 C CA; oùmdésigne un paramètre réel. a.Déterminer les valeurs dempour lesquelles(X1;X2;X3;X4)est une fa- mille génératrice deE. b.LorsqueVect(X1;X2;X3;X4)6=E, déterminer sa dimension. c.Lorsquem=3, déterminer une baseBdeVect(X1;X2;X3;X4)ex- traite de la famille(X1;X2;X3;X4).

Compléter la baseBen une base deE.

d.Lorsquem= 1, déterminer une baseBdeVect(X1;X2;X3;X4)extraite de la famille(X1;X2;X3;X4). Compléter la baseBen une base deE.

Espaces vectoriels de matrices

Exercice 29.(☀)

Déterminer si les sous-ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de l"espace vectorielM2(R)des matrices réelles carrées d"ordre2. a.A=a c b d

2M2(R)ja= 2c

b.B=x2xy y x+ 2y j(x;y)2R2 c.C=a c b d

2M2(R)ja+b= 1(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 5

ECE2-B2018-2019Exercice 30.(☀)

Soitn2N.

On noteSn(R)l"ensemble des matrices symétriques réelles d"ordren: S n(R) =M2Mn(R)jtM=M On noteAn(R)l"ensemble des matrices antisymétriques réelles d"ordren: A n(R) =M2Mn(R)jtM=M

1)Montrer queSn(R)etAn(R)sont des sous-espaces vectoriels deMn(R).

2)Justifier queSn(R)etAn(R)sont de dimension finie.

On note alorsBs, respectivementBa, une base deSn(R), resp. deAn(R).

3)Dans cette question seulement, on suppose quen= 3.

a.Déterminer une baseBsdeS3(R). En déduire la dimension deS3(R). b.Déterminer une baseBadeA3(R). En déduire la dimension deA3(R).

4)Montrer :Sn(R) +An(R) =Mn(R), puis :Sn(R)\ An(R) =f0g.

5)En déduire que la famille de matricesBobtenues en réunissant les ma-

trices des basesBsetBaforme une base deMn(R).

6)DéterminerdimSn(R)+ dimAn(R).

DéterminerdimSn(R), puisdimAn(R).

Exercice 31.(☀)(d"aprèsEML - Maths I - 2004) On noteM3(R)l"espace vectoriel réel des matrices carrées d"ordre trois à éléments réels,Ila matrice identité deM3(R),0la matrice nulle deM3(R). On considère, pour toute matriceAdeM3(R), les ensembles : E

1(A) =fM2M3(R)jAM=Mg

etE2(A) =fM2M3(R)jA2M=AMgPartie 11)Montrer queE1(A)etE2(A)sont des espaces vectoriels réels. 2) a. Établir :E1(A)E2(A) b.Montrer que, siAest inversible, alorsE1(A) =E2(A) 3) a. Établir que, siAIest inversible, alorsE1(A) =f0g b.SoitB=0 @1 1 0 01 1

0 0 21

A . DéterminerE1(B)etE2(B).

Partie 2On considère les matricesC=0

@321 1 01 22 01

AetP=0

@1 1 1 1 1 0

1 0 11

1)Montrer queF2=fX2M3;1(R)jCX= 2Xgest un espace vectoriel

réel. Déterminer une base deF2.

2)Montrer que la matricePest inversible et déterminer son inverseP1.

3)Calculer la matriceD=P1CP.

4) a. SoitM2M3(R). Montrer :M2E1(C),P1M2E1(D). b.Montrer que, pour toutN2M3(R)(R),N2E1(D)si, et seulement si, il existe trois réelsa;b;ctels queN=0 @0 0 0 a b c

0 0 01

A. c.En déduire l"expression générale des matrices deE1(C)et déterminer une base deE1(C). Quelle est la dimension deE1(C)? d.Donner l"expression générale des matrices deE2(C)et déterminer une base deE2(C). Quelle est la dimension deE2(C)?

A-t-onE1(C) =E2(C)?

5) a. Démontrer que, pour tout entier natureln,Cn=P DnP1. b.En déduire, pour tout entier natureln, l"expression de la matriceCn

en fonction den.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 6

ECE2-B2018-2019Exercice 32.(☀)

On définit les trois matrices deM2(R)suivantes. A=1 3 21
B=3 1 32
C=5 1 93

Déterminer la dimension deVect(A;B;C).

Exercice 33.(☀)

On considère les matricesA=

0 2

11etB=

1 0 2 3. Déterminer si les ensembles suivants sont des espaces vectoriels.

Si oui, en donner une base et la dimension.

a.L"ensemble des matricesMdeM2(R)telles queAM= 0. b.L"ensemble des matricesMdeM2(R)telles queAM=MB. c.L"ensemble des matricesMdeM2(R)telles queAM=B. d.L"ensemble des matricesMdeM2;3(R)telles queAM=M.

Exercice 34.(☀)

On considère les matrices deM2(R)suivantes :

M 1= 1 0 21; M
2= 1 1

2 3; M

3= 1 2

2 8; M

4= 1 1

2 4a.La famille(M1;M2;M3)est-elle libre?

b.La famille(M1;M2;M3;M4)est-elle libre?

Exercice 35.(☀)

On considèreE=8

:0 @a+b a b ab b a

2a2b2ab1

Aj(a;b)2R29=

a.Montrer queEest un espace vectoriel réel. b.Déterminer la dimension deE.Union, intersection et somme d"ev

Exercice 36.(☀☀)

On considère :F=(x;y;z)2R3jx3y+ 4z= 0etG= Vect((1;0;0)).

1)Montrer queFetGsont deux sous espaces vectoriels deR3.

2)Déterminer une baseBFdeFet une baseBGdeG.

3)Déterminer la dimension deFet la dimension deG.

4)Montrer que la famille obtenue en réunissant les vecteurs des basesBF

etBGforme une base deR3.

5)Montrer :F\G=f(0;0;0)g.

6)Soit un vecteur(a;b;c)2R3.

a.Montrer qu"il existe un vecteur!udeFet un vecteur!vdeGtels que (a;b;c) =!u+!v. En déduire queF+G=R3. b.En utilisant5 , montrer que les vecteurs!uet!vsont uniques.

Exercice 37.(☀☀)

SoitEun espace vectoriel réel.

SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels deE.

a.Démontrer queF\GdeFetGest un sous-espace vectoriel deE.

On rappelle queF\G=fx2Ejx2Fetx2Gg.

b.Démontrer que l"ensembleF+G=fx+yjx2Fety2Ggest un sous espace vectoriel deE. c.Démontrer que, de manière générale,F[Gn"est pas un sous-espace vec- toriel deE. (on pourra considérerF= Vect 1 0 etG= Vect 0 1 d.Démontrer l"équivalence :

F[Gest un sous-espace vectoriel deE,(FGOUGF)

On rappelle :F[G=fx2Ejx2FOUx2Gg.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 7

ECE2-B2018-2019Exercice 38.(☀☀)

On note(e1;e2;e3;e4)la base canonique deR4.

On pose"1= 2e4e3et"2=e2+e3, etF= Vect("1;"2).

a.Déterminer la dimension deF. b.Compléter la famille("1;"2)en une base deR4. On note("1;"2;"3;"4)la base obtenue etG= Vect("3;"4). c.Montrer :F\G=f(0;0;0;0)g. d.Montrer que tout vecteur!udeR4s"écrit de manière unique comme la somme d"un vecteur deFet d"un vecteur deG.

Théorème de la base incomplète

Exercice 39.(☀☀☀)

SoitEun espace vectoriel et(!e1;:::;!ep)une famille libre deE. a.Montrer que si(!e1;:::;!ep)n"est pas génératrice deE, alors il existe un vecteur!f2Etel que(!e1;:::;!ep;!f)est encore libre. b.On suppose queEest de dimension finien. Montrer qu"on peut compléter la famille de vecteurs(!e1;:::;!ep)en une base(!e1;:::;!ep;!f1;:::;!fnp)deE.

Exercice 40.(☀☀)

SoientEun espace vectoriel,FetGdeux sev tels queF\G=f!0Eg. Soient(!e1;:::;!ep)une base deFet(!f1;:::;!fq)une base deG. a.Démontrer que(!e1;:::;!ep;!f1;:::;!fq)est une famille libre. b.Démontrer que(!e1;:::;!ep;!f1;:::;!fq)est une base deF+G. (on pourra utiliser le résultat de l"Exercice 41
)Exercice 41.(☀☀☀)

SoitEun espace vectoriel de dimension finie.

SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels deE.

On cherche à établir la formule suivante :

dim(F+G) = dim(F) + dim(G)dim(F\G) oùF+Gest le sous-espace vectoriel défini par :

F+G=f!u+!vj!u2Fet!v2Gg

On note(!e1;:::;!ep)une base deF\G.

a.Montrer qu"il existe une base deFde la forme(!e1;:::;!ep;!f1;:::;!fq). Montrer de même qu"il existe une base deGde la forme(!e1;:::;!ep;!g1;:::;!gr). (on pourra utiliser le résultat de l"Exercice 3 9 b.Montrer que(!e1;:::;!ep;!f1;:::;!fq;!g1;:::;!gr)est une base deF+G. c.Conclure.

Exercice 42.(☀☀☀)

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[PDF] [PDF] Feuille dexercices n°3 : Espaces vectoriels - Arnaud Jobin

Sous-espace vectoriel (sev)

Exercice 1.(☀)

Fest l"ensemble des fonctions paires.

Fest l"ensemble des suites divergentes.

Fest l"ensemble des suites convergentes.

Sev engendré par une partie

Exercice 2.(☀)

On se place dans l"espace vectorielR3.

Montrer :Vect(!u ;!v) = Vect!s ;!t

Exercice 4.(☀)

Espaces vectoriels dansRn

Exercice 5.(☀)

Exercice 6.(☀)

5= (4;4;6;5)etv6= (2;2;3;5)six vecteurs deR4.

On noteE= Vect(v1;v2;v3;v4;v5;v6).

ECE2-B2018-2019Exercice 7.(☀)

On note(!e1;!e2;!e3)la base canonique deR3.

Exercice 8.(☀)

Exercice 9.(☀)

Exercice 10.(☀)

On considère l"espace vectorielR4.

Exercice 11.(☀☀)

3x4yt+ 18z= 0Exercice 12.(☀☀)

1)Déterminer si les sous-ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels

2)SoitAune matrice carrée d"ordren, à coefficients réels. Montrer que l"en-

A, d"inconnueX2Mn;1(R),

3)Soitn2N. L"ensembleH=f(x1;x2;:::;xn)2Rnjx1+x2+:::+xn= 0g

Espaces vectoriels de polynômes

Exercice 13.(☀☀☀)

On noteE=R4[X].

SiFetGsont deux ev, on noteF+G=f!u+!vj!u2F!v2Gg.

ECE2-B2018-2019Exercice 14.(☀)

On considère l"espace vectorielR3[X].

Exercice 15.(☀☀)

Si oui, en donner une base et la dimension.

Exercice 16.(☀)

On considère les polynômes :

P(X) =X; Q(X) =X1etR(X) = (X1)(X2)

T(1) =a; T(2) =b; T(3) =cExercice 17.(☀)

On considère les polynômes :

1(X) = 1 +X+X2; P2(X) =X+X2etP3(X) =X2

Exercice 18.(☀)

P(X) =a+bX+cX2+dX3

Exercice 19.(☀)

P1(X) =1 + 3X+X2,

P2(X) = 42X+ 3X2,

P3(X) = 43X2X2.

P1(X) =5 + 2X,

P2(X) = 6X2,

ECE2-B2018-2019Exercice 20.(☀☀☀)

Soitn2N.

Exercice 21.(☀☀)

Exercice 22.(☀☀)

1)Montrer queE=(un)n2N2RNj 8n2N; un+3=un+22unest un

2)Parmi les ensembles suivants, quels sont ceux qui ont une structure d"es-

Espaces vectoriels de fonctions

Exercice 24.(☀☀)

On définit les fonctionsf1;f2;f3;f4etf5par :

8x2R+; f1(x) = ln(x); f2(x) =x; f3(x) =ex; f4(x) =ex+3; f5(x) =1x

Exercice 25.(☀)

0f(t)dt= 0o

ECE2-B2018-2019Exercice 26.(☀☀☀)

8x2R; fn(x) =enx

Remarque

Espaces vectoriels de matrices colonnes

Exercice 27.(☀)

AetX3=0

Aa.Montrer que(X1;X2;X3)est une base deM3;1(R).

Adans la base

B= (X1;X2;X3).

En déduire les coordonnées de0

A2M3;1(R)dans la baseB.Exercice 28.(☀)

On se place dans l"espace vectorielE=M4;1(R).

On considère les vecteurs deE:

CAetX40

Compléter la baseBen une base deE.

Espaces vectoriels de matrices

Exercice 29.(☀)

2M2(R)ja= 2c