[PDF] Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels PDF AlgebreTD2.pdf

Exercice 1 Soit E un espace vectoriel Pour x, y ∈ E et λ, µ ∈ K, montrer que l'on a : 1 0 x = O, 1

Applications linéaires, matrices, déterminants Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Montrer que et sont des sous-espaces vectoriels de ℝ 3

[PDF] Espaces vectoriels et applications linéaires Correction des exercices

18 mar 2015 · vectoriels et applications linéaires Correction des exercices Exercice 3 : Soit e un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗ et f

[PDF] Exercices Corrigés Applications linéaires Exercice 1 – On consid

L'espace vectoriel kerf est donc de dimension 2 Le noyau de f n'est par réduit au vecteur nul de R4 Donc f n'est pas injective 3) La

[PDF] 70 exercices dalg`ebre linéaire 1 Espaces vectoriels

Montrer que (x, f(x), ,fn−1(x)) est une base de E 2 2 Applications linéaires, prolongement par linéarité,isomorphismes Exercice 21 Soit E1 l'espace vectoriel des

[PDF] Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels

Exercice 1 Soit E un espace vectoriel Pour x, y ∈ E et λ, µ ∈ K, montrer que l'on a : 1 0 x = O, 1

[PDF] ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINEAIRES { } - Unisciel

4) Montrer que ),( wv est une base de F Page 2 Algèbre linéaire 2 Exercices de Mathématiques ECS1 - Catherine Laidebeure - 2012

[PDF] Feuille de TD 4 : Applications linéaire, espaces vectoriels de

Exercice 2 Soient E un espace vectoriel sur K et ϕ une application linéaire de E dans E On suppose que Ker ϕ ∩ Imϕ = {0}

[PDF] Applications linéaires

25 fév 2021 · Systèmes d'équations linéaires, résolution par la méthode du pivot de Gauss — Espace vectoriel réel, sous-espace vectoriel, sous-espace

[PDF] Feuille dexercices : espaces vectoriels et applications linéaires

Feuille d'exercices : espaces vectoriels et applications linéaires savoir tester si un ensemble est un sous-espace vectoriel Exercice 1 Préciser si les ensembles

Université d"Orléans

Année 2009-2010Espaces vectoriels et applications linéaires2MA01-Licence de

Mathématiques

Espaces vectorielsExercice 1SoitEun espace vectoriel. Pour~x;~y2Eet;2K, montrer que l"on a :

1.0~x=~O;1~x=~x;(1)~x=~x

2.(~x~y) =~x~y.

3.()~x=~x~x.

4.()(~x) =~x.Exercice 2On définit surRnles deux lois suivantes :

Pour tous(x1;x2;:::;xn);(y1;y2;:::;yn)2Rnet2K,

(x1;x2;:::;xn) + (y1;y2;:::;yn) = (x1+y1;x2+y2;:::;xn+yn) (x1;x2;:::;xn) = (x1;x2;:::;xn)

Montrer queRnmuni de ces deux lois est unR-espace vectoriel.Exercice 3SurR2, on définit les deux lois suivantes : pour(x;y);(x0;y0)2R2et2R, on pose

(x;y) + (x0;y0) = (x+x0;y+y0)et ?(x;y) = (x;0)

Le triplet(R2;+;?)est-il un espace vectoriel surR? Quels axiomes d"espace vectoriel sont vérifiés?Exercice 4Sur l"ensembleR2on définit l"addition par(x;y)+(x0;y0) = (x+x0;y+y0)et la multiplication externe par le

scalaire2Rpar(x;y) = (x;0). L"ensembleR2muni de ces deux lois est-il un espace vectoriel surR?Exercice 5Sur l"ensembleR+nf0gRon définit l"addition par(x;y)+(x0;y0) = (xx0;y+y0)et la multiplication externe

par le scalaire2Rpar(x;y) = (x;y). Montrer que l"ensembleR+f0gRmuni de ces deux lois est un espace vectoriel

surR.Exercice 6Déterminer si l"ensembleR2est un espace vectoriel surRdans les cas où l"addition dansR2et la multiplication

par un scalaire surRsont définies par

1.(x;y) + (x0;y0) = (x+x0;y+y0)et(x;y) = (x;y);

2.(x;y) + (x0;y0) = (x;y)et(x;y) = (x;y);

3.(x;y) + (x0;y0) = (x+x0;y+y0)et(x;y) = (2x;2y):Exercice 7SoitVl"ensemble des fonctions d"un ensemble non videXvers le corpsK. Etant donnésfetgdansVet

dansKon définit les fonctionsf+getfdeVpar (f+g)(x) =f(x) +g(x)et(f)(x) =f(x)

pour toutxdansX. Montrer queV, muni de ces opérations, est unK-espace vectoriel.Exercice 8Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels deR2?

F=Z2; F=f(x;y)2R2;jxj=jyjg; F=f(x;y)2R2; 2x+ 3y= 0g

F=f(x;y)2R2; 2x+ 3y= 3g; F=f(x;y)2R2;x0ety= 0g

F=f(x;y)2R2;x2+y2r2g; r >0:

Dans chacun des cas ci-dessus, on déterminera Vect(F).Exercice 9 (i) Quels sont les sous-espaces vectoriels dansR. (ii) Quels sont les sous-espaces vectoriels dansR2. (iii) Quels sont les sous-espaces vectoriels dansR3.

Applications linéairesExercice 10Montrer que toutC-espace vectoriel est unR-espace vectoriel. La réciproque est-elle vraie ?Exercice 11Vérifier les assertions suivantes :

(a)Cest unR-espace vectoriel ;

(b)(x;y)7!x+iyest un isomorphisme deR-espaces vectoriels deR2surC.Exercice 12Considérons l"application

f:C!C z7!z

1. Montrer quefestR-linéaire quand on considèreCcomme unR-espace vectoriel.

2. Montrer quefn"est pasC-linéaire quand on considèreCcomme unC-espace vectoriel.Exercice 13

(a) Vérifier que la dérivée P=anXn+an1Xn1+:::+a1X+a07!P0=nanXn1+ (n1)an1Xn2+:::+a1 est un endomorphisme linéaire dans l"espace vectoriel des polynômes. (b) Idem pour l"intégrale

Xn+:::+a12

X2+a0X

(c) Est-ce que ce sont des isomorphismes réciproques ?Exercice 14Soitf:Rn!Rune application. Montrer quefest linéaire si et seulement s"il existea1;:::;an2Rtels

que pour tout(x1;:::;xn)2Rn, on ait f(x1;:::;xn) =nX i=1a ixiExercice 15SoientE,FetGtroisK-espaces vectoriels. Considérons l"application f:E!FG x7!(g(x);h(x))

Montrer quefest linéaire si et seulement sigethsont linéaires.Exercice 16On se place dans l"espace vectorielEdes suites numériques. On définit la fonctionshiftoudécalageSdeE

dansEqui, à toute suite(un)n, associe la suite(vn)ntelle quevn=un+1pour toutn. Démontrer queSest une application

linéaire deEdansE. DéterminerKer(S)etIm(S). Exercice 17SoitE=C(R;R)l"espace vectoriel des fonctions continues deRdansR. Soitl"application qui à toute fonctionfde E associe la fonction(f) =gdéfinie par :

8x2R;g(x) =Z

x 0 f(t)dt:

1. (a) Vérifier que pour toute fonctionfdeE,(f)est dérivable.

(b) En déduire quen"est pas surjective.

2. Démontrer queest un endomorphisme deE.

3. Démontrer queest injective.Exercice 18SoitEun espace vectoriel de dimension finie. Un endomorphismefdeEest dit nilpotent si il existe un

entier naturelptel quefp= 0.

1. Exemple : Soitf:R2!R2une application définie parf(x;y) = (y;0). Montrer quefest un endomorphisme deR2

et quefest nilpotent.

2. On revient au cas général. Soitfun endomorphisme nilpotent. Soitqle plus petit entier naturel tel quefq= 0. Montrer

qu"il existe un vecteurxdeEtel quefq1(x)6= 0. Montrer que la famillefx;f(x);:::;fq1(x)gest libre. En déduire

queqdim(E).Exercice 19Montrer que les vecteurse= (1;0)etf= (1;1)forment une base deR2.Exercice 20On considère les vecteurs suivants deKn:

1= (1;0;:::;0); e2= (0;1;0;:::;0);; en= (0;:::;0;1)

Montrer que les vecteurs(ei)1informent une base deKn, appelée base canonique.Exercice 21Montrer que siA=fx1;:::;xngest une famille libre dans un espace vectorielE, alors pour tousi;j2

f1;:::;ng, on axi6= 0etxi6=xjsii6=j.Exercice 22SoientF=fx1;:::;xpgetF0=fx1;:::;xp;xp+1;:::;xngdeux familles d"éléments dans un espace vectoriel

E. Montrer que l"on a

1. SiF0est libre, alorsFest libre.

2. SiFest génératrice, alorsF0est génératrice.Exercice 23SoientF=fx1;:::;xpgetF0=fx1;:::;xp;xp+1gdeux familles d"éléments dans un espace vectorielE.

Montrer que l"on a

1. SiFest libre et sixp+162V ect(F), alorsF0est libre.

2. SiF0est génératrice deEet sixp+12V ect(F), alorsFest génératrice deE.Exercice 24Soientf:E!Fune application linéaire etfx1;:::;xngune famille d"éléments dansE.

1. Montrer que siff(x1);:::;f(xn)gest une famille libre dansF, alorsfx1;:::;xngune famille libre dansE.

2. Montrer que sifest injective et sifx1;:::;xngest une famille libre dansE, alorsff(x1);:::;f(xn)gest aussi une

famille libre dansF.Exercice 25Soientf:E!Fune application linéaire etfx1;:::;xngune famille d"éléments dansE.

1. Montrer que siff(x1);:::;f(xn)gest une famillle génératrice deF, alorsfest surjective.

2. Montrer que sifest surjective et sifx1;:::;xngest génératrice deE, alorsff(x1);:::;f(xn)gest génératrice deF.Exercice 26SoientEunK-espace vectoriel de dimensionnetB= (e1;:::;en)une base deE. SoientFun espace vectoriel

etfy1;:::;yngdes vecteurs deF. Montrer qu" il existe une unique application linéaireTdeEdansFtelle que pour tout

i2 f1;:::;ng, on aitT(ei) =yi. En déduire qu"il existe une application linéaire bijective deEdansKn.Exercice 27Pour quelles valeurs dea, les vecteurs

1= (2;1;0); V2= (1;1;0)etV3= (3;4;a)

sont linéairement indépendants?

Exercice 28SoitF(R;R)l"ensemble des applications deRdansR. On considère dansF(R;R)les éléments suivants définis

par : pour toutx2R, f

1(x) = 1; f2(x) = sin(x); f3(x) = sin(2x); f4(x) = sin(3x)et'j(x) =ejx

1. Montrer queff1;f2;f3;f4gforme une famille libre dansF(R;R).

2. Montrer que pour toutn2N, la famillef'0;:::;'ngest libre dansF(R;R).Exercice 29On considère les vecteurs suivants deC3:

1= (1i;i;1 +i); V2= (1;1;3)etV3= (1i;i;i)

1. Montrer que(V1;V2;V3)est une base deC3.

2. Calculer les coordonnées du vecteurV= (1 +i;2;i)dans la base(V1;V2;V3).Exercice 30On considère les vecteurs suivants deR4:

1= (1;2;1;2); V2= (1;3;1;2); V3= (2;4;3;4)etV4= (1;1;2;3)

1. Montrer queB= (V1;V2;V3;V4)est une famille libre deR4.

2. Soienta;b;c;ddes nombres réels. Calculer les coordonnées du vecteurV= (a;b;c;d)dans la baseB.Exercice 31Parmi les sous-ensembles suivants deR4, préciser lesquels sont des sous-espaces vectoriels et lorsque c"est le

cas, en donner une base :

1.f(x;y;z;t)2R4; 3xy+t= 0g.

2.f(x;y;z;t)2R4;xy+ 2z+t= 1g.

3.f(x;y;z;t)2R4;x+t= 0et2x+yz= 0g.

4.f(x;y;z;t)2R4;jx+tj=jyjg.Exercice 32SoitFle sous-espace vectoriel deR3engendré par les vecteurs(2;3;1)et(1;1;2). SoitGle sous-espace

vectoriel deR3engendré par les vecteurs(3;7;0)et(5;07). Montrer que l"on aF=Get trouver une équation deF.Exercice 33Soitaun nombre réel. Quel est la dimension du sous-espace vectoriel deR3engendré par les vecteurs

(a+ 2;a;a2);(1;a;1)et(a;a;1)?Exercice 34On considère les vecteurs suivants deR4: V

1= (3;1;0;2); V2= (5;2;1;2); V3= (1;1;4;6)etV4= (1;0;1;2)

1. Montrer que le sous-espace vectoriel deR4engendré parV1etV2est égal au sous-espace vectoriel deR4engendré par

3etV4.

2. Montrer que les vecteursV1etV2sont linéairement indépendants. Compléter ces vecteurs pour former une base deR4.Exercice 35On désigne parPn1l"ensemble des fonctions polynômiales

p(x) =a0+a1x++anxn réelles de degré inférieur ou égal àn.

1. Vérifier quePnest un espace vectoriel de dimensionn+ 1et en donner la base canonique.

2. Vérifier que la dérivée est une application linéaire dePndansPn1.

3. Qu"en est-il de l"intégrale?Exercice 36SoitP2l"espace vectoriel des fonctions polynômiales surRde degré inférieur ou égal à2. SoientP1;P2;P32 P2

définis par : P

1(x) =x2; P2(x) = (x1)2; P3(x) = (x+ 1)21

Dans certains livres, on utilise la notationRn[X]

1. Montrer que(P1;P2;P3)est une base deP2.

2. Déterminer dans cette base les coordonnées desQetRdéfinis parQ(x) = 12etR(x) = 3x210x+ 1.Exercice 37SoientP3l"espace vectoriel des fonctions polynômiales surRde degré inférieur ou égal à3etTl"application

deP3dans lui-même définie par :

T(P)(x) =P(x) + (1x)P0(x)

1. Montrer queTest un endomorphisme deP3.

2. Déterminer une base deT(P3).

3. Déterminer une base deker(T).

4. Montrer queker(T)\T(P3) =f0g.Exercice 38SoitFle sous-espace vectoriel deR5engendré par les vecteurs

(1;0;1;1;0);(2;1;2;1;1);et(3;1;2;0;1) SoitGle sous-espace vectoriel deR5engendré par les vecteurs

1. Trouver une base deFet une base deG.

2. Déterminer une base deV ect(F[G)et en donner une équation.

3. Trouver des équations deFet des équations deG.

4. Déterminer une base deF\G.Exercice 39SoientEun espace vectoriel de dimensionnetf:E!Eune application linéaire. Montrer que les

conditions suivantes sont équivalentes :

1.ker(f) =Im(f).

2.ff= 0etdim(E) = 2dim(Im(f)).Exercice 40On considère l"application linéairef:R3!R4définie par :

f(x;y;z) = (x+z;yx;z+y;x+y+ 2z)

1. Déterminer l"image parfde la base canonique deR3, et calculer le rang def.

2. En déduire la dimension deker(f)et en donner une base.Exercice 41On notefe1;e2;e3;e4gla base canonique deR4etf"1;"2;"3gla base canonique deR3. On considère l"appli-

cation linéairefdeR4dansR3définie par : f(e1) ="1+ 2"2+"3; f(e2) =f(e4) ="12"2+"3etf(e3) = 2"1+ 4"2+ 3"3

1. Déterminer une base de l"image def.

2. Déterminer une base du noyau def.Exercice 42On considère dansR3les trois vecteurs suivants :

u= (1;2;0); v= (1;3;0)etw= (0;0;1)

1. Montrer que(u;v;w)est une base deR3.

2. Soitfl"application linéaire deR3dans lui-même définie par :

f(u) = (1;0;1); f(v) = (1;1;2)etf(w) = (2;1;3)

Déterminer le rang et le noyau def.Exercice 43SoitB= (e1;e2;e3)la base canonique deR3etfl"application linéaire deR3définie par :

f(e1) =e1+e2+ 2e3; f(e2) =e1+ 2e2+ 3e3etf(e3) =e1+ 2e2+ 3e3

1. Calculer le rang defet en déduire la dimension du noyau def.

2. Déterminer une base de l"image def.

3. Trouver une condition pour qu"un vecteur(x;y;z)deR3soit dansker(f)et donner une base du noyau.Exercice 44SoientEun espace vectoriel de dimension finie etE0un sous-espace vectoriel deE. Montrer que l"on a

1.E0est de dimension finie etdim(E0)dim(E).

2.dim(E0) = dim(E)si et seulement siE0=E.

Sous-Espaces Vectoriels SupplémentairesExercice 45Montrer que siE=R2, etE1=f(x;0) ;x2Rg,E2=f(0;y) ;y2Rg, alors on aE=E1E2.Exercice 46Montrer que siE=R2, etE1=f(x;x) ;x2Rg,E2=f(0;y) ;y2Rg, alors on aE=E1E2.Exercice 47SoitE=ER(R)l"ensemble des applications deRdansR. On a vu queEest unR-espace vectoriel. Soient

1(resp.E2) l"ensemble des applications impaires (resp. paires) deRdansR. Montrer que l"on aE=E1E2.Exercice 48SoientEunK-espace vectoriel etp:E!Eune application linéaire telle quepp=p. (On dit quepest

un projecteur).

1. Montrer que l"application linéaireidpest aussi un projecteur.

2. Montrer que l"on aker(p) =Im(idp)et Im(p) = ker(idp).

3. Montrer que les sous-espaces vectorielsker(p)et Im(p)sont supplémentaires.Exercice 49Soientpetqdeux projecteurs d"unR-espace vectorielE.

1. Montrer quep+qest un projecteur si, et seulement si,pq=qp= 0:Etablir dans ce cas :

Im(p+q) =Im(p)Im(q):

2. On suppose qu"il existe2Rtel quepq=qp:Montrer que si2Rn f0;1g, alorspq=qp= 0:Exercice 50SoientEetFdeux espaces vectoriels de dimensions finies surR. Soientf2 L(E;F)etg2 L(F;E)telles

quefgf=fetgfg=g.

1. Montrer queE=Ker(f)Im(g):

2. En déduire quefetgont même rang.Exercice 51Considérons l"application

S:R3!R3

(x;y;z)7!(x;y;z)

1. Montrer queSest linéaire et vérifieSS=id.

2. Montrer queF=fX2R3;S(X) =XgetG=fX2R3;S(X) =Xgsont des sous-espaces vectoriels

supplémentaires deR3.Exercice 52SoientEun espace vectoriel etSun endomorphisme deE. On poseP=id+S2

1. Montrer quePest un projecteur si et seulement si on aSS=id.

2. Montrer que l"on aE= ker(Sid)Im(Sid)siSS=id.Exercice 53SoitEun espace vectoriel de dimension finienet soitfun endomorphisme deEtel quef2=idE. Considérons

F=fx+f(x);x2EgetG=fxf(x);x2Eg.

1. Montrer queE=FG.

2. En déduire qu"il existe une base(ei)deEtelle quef(ei) =eiouf(ei) =eipour chaquei2 f1;:::;ng.Exercice 54SoientE1etE2deux sous-espaces vectoriels d"un espace vectorielE. Montrer que les propriétés suivantes

sont équivalentes :

1. Les sous-espaces vectorielsE1etE2sont supplémentaires, i.e.E=E1E2.

2. Pour toutx2E, il existe un uniquex12E1est un uniquex22E2tels quex=x1+x2.Exercice 55SoientE1etE2deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d"un espace vectorielE. Pourx=x1+x2, avec

12E1etx22E2, on pose1(x) =x1, et2(x) =x2.

1. Montrer que1et2sont des projecteurs.

2. Déterminerker(1)et Im(1).

3. Montrer que l"application

T:E1E2!E

(x1;x2)7!x1+x2

est un isomorphisme.Exercice 56SoitHun espace vectoriel deRn. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalents :

1.dim(H) =n1. (Dans ce cas, on dit queHest un hyperplan deRn).

2. Il existe une forme linéaire non nullefsurRntelle queH= ker(f).Exercice 57Déterminer l"équation d"un hyperplan deR3.Exercice 58SoitFle sous-espace vectoriel deR4engendré par les vecteurs(0;1;1;1);(2;1;1;1)et(1;1;1;0). SoitG

le sous-espace vectoriel deR4engendré par les vecteurs(1;3;0;1);(2;4;2;2)et(1;2;1;1). Les sous-espaces vectoriels

FetGdeR4sont-ils supplémentaires?Exercice 59SoitCR([0;1])l"espace vectoriel des fonctions continues sur[0;1]et à valeurs dansR. SoientFl"ensemble des

fonctions constantes sur[0;1]etGl"ensemble desg2 CR([0;1])telles que Z 1 0 g(t)dt= 0

Montrer queFetGsont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dansCR([0;1]).Exercice 60SoientEun espace vectoriel, etF,Gdes sous-espaces vectoriels deE. Montrer que si(e1;:::;ep)est une base

deFet si(ep+1;:::;ep+q)est une base deG, alors les sous-espaces vectorielsFetGsont supplémentaires si et seulement si

(e1;:::;ep;ep+1;:::;ep+q)est une base deE.quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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