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Chapitre 4
Travail et puissance
4.1 Travail d"une force
4.1.1 Définition
En physique, le travail est une notion liée auxforceset auxdéplacementsde leurs points d"application.Considérons une force constante
?Fdont le point d"application subit un déplacement rectiligne deAversB. Nous allons, tout d"abord, définir le travail dans deux cas particuliers. •Le travailWd"une force?Forientée dans la direction et dans le sens du déplacement (figure 4.1 ) est défini par l"expression :W(?F) =F AB.
L"unité du travail est lejoule(J) :1J = 1Nm.AB
FFigure4.1 - Force parallèle au déplacement
•Une force perpendiculaire à la direction du déplacement ne travaille pas.Lorsque la force
?Fn"est ni parallèle, ni perpendiculaire au déplacement, il faut la décom- poser en une composante tangentielle?FTet une composante normale?FNau déplacement (figure 4.2 D"après la définition ci-dessus, ce n"est que la composante ?FTqui travaille. Le travail de la force?Flors du déplacement deAversBest : WAB(?F) =FTAB=F ABcosα.
L"expressionF ABcosαreprésente le produit scalaire des vecteurs?Fet-→AB.2BCTravail et puissance71AB
F F T F N !Figure4.2 - Décomposition d"une force DéfinitionLe travail d"une force constante?Fpour un déplacement rectiligne-→ABde son point d"application est égal au produit scalaire des vecteurs ?Fet-→AB:WAB(?F) =?F·-→AB=F ABcosα(4.1)
oùαest l"angle formé par les deux vecteurs?Fet-→AB. Remarque: on retrouve bien la définition du travail dans le cas particulierα= 0.4.1.2 Le travail est une grandeur algébrique
nul : α <90◦:cosα >0 =?WAB(?F)>0(figure4.3a ).La force
?Ffavorise le mouvement, son travail est ditmoteur. α= 90◦:cosα= 0 =?WAB(?F) = 0(figure4.3b ).La force
?Fne travaille pas. α >90◦:cosα <0 =?WAB(?F)<0(figure4.3c ).La force
?Fs"oppose au mouvement, son travail est ditrésistant. ABF!(a) travail moteur
ABF(b) travail nul
ABF!(c) travail résistant
Figure4.3 - Signe du travail d"une force
Exemple 4.1Un solide descend un plan incliné de longueurd. Il est soumis à trois forces : son poids?P, la réaction?Rdu plan incliné et la force de frottement?f(figure4.4 ). Le travail du poids est moteur, le travail de la réaction est nul et le travail de la force de frottement est résistant :W(?f) =f dcos180◦=-f d.
Cette expression est valable pour toute force de frottement constante en intensité, indépen- damment de la trajectoire.72Travail et puissance2BCd
f P R plan incliné solideFigure4.4 - Descente sur un plan incliné Exemple 4.2Un solide de massempeut glisser sans frottement sur une piste horizontale.Le solide est accéléré du repos à la vitessevsous l"action d"une force constante?F(figure4.5 ).
F P R déplacementFigure4.5 - Accélération sur une piste horizontaleLes forces
?Pet?Rne travaillent pas. Le travail de la force?Fest moteur et s"écrit :W(?F) =F d
oùdest la distance parcourue pour atteindre la vitessev. Comme la force est constante, le mouvement est rectiligne et uniformément accéléré : d=12 at2.L"expression du travail devient :
W(?F) =F12
at2. L"accélération et la force sont reliées par la deuxième loi de Newton : F=ma d"où :W(?F) =ma12
at2=12 m(at)2 et avecv=at:W(?F) =12 mv2(4.2) Le travail ne dépend que de la valeur finale de la vitesse et de la masse du solide. L"expression reste valable même si la force n"est pas constante.2BCTravail et puissance75Travail du poidsLorsque le centre de gravitéGd"un solide se déplace d"un pointAd"al-
titudezAà un pointBd"altitudezB, le travail du poids de ce solide est indépendant de la trajectoire suivie parGentreAetB. Il est égal au produit de l"intensitéPde ce poids par la diminution d"altitudezA-zB. On aboutit au même résultat en utilisant l"expression ( 4.3 ) et la distributivité du produit scalaire par rapport à l"addition vectorielle : WAB(?P) =X
i?P·δ?si=?P·X iδ?s i.La somme vectorielle des déplacements élémentairesδ?siest égale au vecteur déplacement
résultant-→AB:WAB(?P) =?P·-→AB(4.5)
Travail du poidsLorsque le centre de gravitéGd"un solide se déplace d"un pointAà un pointB, le travail du poids de ce solide est indépendant de la trajectoire suivie parGentre AetB. Il est égal au produit scalaire du poids?Pet du déplacement-→AB.Généralisation
Le raisonnement qui a conduit à la relation (
4.5 ) reste valable pour toute force constante.Le travail d"une force constante
?Fdont le point d"applicationMpasse d"un pointAà un pointBne dépend pas de la trajectoire suivie parMentreAetB. Il est donné par l"expression : WAB(?F) =?F·-→AB.
4.1.5 Force variable sur une trajectoire rectiligne
Méthode de l"aire
Nous allons nous limiter au cas d"une force parallèle au déplacement. Prenonsxcomme abscisse de son point d"application sur l"axe du déplacement. La seule coordonnée non nulle de la force estFx. Le travail est : WAB(?F) =XF
xδx.Le travail peut être évalué l"aide de la méthode de " l"aire ». ReprésentonsFxen fonction de
x(figure4.9 ).L"aire du rectangle élémentaire de largeurδxet de longueurFxestFxδx. Cette aire est égale
au travail de la force sur le déplacement élémentaireδx. Le travail total entreAetB, avec
x A< xB, est égal à l"aire de la surface colorée entrexAetxB.Le calcul du travail revient donc à déterminer l"aire de la surface délimité par la courbe
représentant la force en fonction de la position de son point d"application.76Travail et puissance2BCx0
F x x A x B W=F x ·!x!xFigure4.9 - Représentation de la force en fonction de la positionTravail tenseur
Considérons un ressort de raideurksur lequel on exerce à son extrémité libre une force?F. Le
point d"application de cette force se déplace sur l"axexdont l"origine correspond au ressort détendu (figure 4.10 ). La seule coordonnée non nulle de la force estFx, avec : F x=kx. Elle est positive si le ressort est allongé (figure 4.11 0 x F=0Figure4.10 - Ressort détendu avecFx= 0
0 xFFigure4.11 - Ressort allongé avecFx>0
Comme l"intensité de la force n"est pas constante, nous allons utiliser la méthode de " l"aire »
pour calculer son travail. D"après la loi de Hooke, la représentation deFxen fonction dex donne une droite passant par l"origine (figure 4.12 Lorsque le point d"application de la force se déplace deAenB, avecxA< xB, le travail qu"elle effectue est égal à l"aire du trapèze délimité par la droite entrexAetxB: WAB(?F) =12
(FxA+FxB)(xB-xA) 12 (kxA+kxB)(xB-xA) =12 k(xA+xB)(xB-xA).Le produit de la somme et de la différence est égale à la différence de deux carrés :W
AB(?F) =12
k(xB2-xA2)(4.6)2BCTravail et puissance77x
0 F x x A x B W>0F xA F xBFigure4.12 - Représentation de la force en fonction de l"allongementLe travail de la force
?Fest positif. L"expression reste valable lorsque le ressort est comprimé. Pour allonger dexun ressort initialement détendu, l"expression du travail devient : WAB(?F) =12
kx2.4.1.6 Forces conservatives
Nous avons montré que le travail d"une force constante est indépendant du trajet suivi. Parmi les forces variables, certaines présentent également cette propriété. DéfinitionUne force est dite conservative lorsque le travail de cette force entre deux points AetBest indépendant de la trajectoire suivie par son point d"application pour passer deA àB. Dans le cas contraire, la force est dite non conservative.Le travail d"une force conservative sur une trajectoire fermée est nul. En effet, le travail étant
indépendant de la trajectoire, il est égal au travail pour un déplacement nul.