On appelle commutant de A l'ensemble des matrices M qui commutent avec A, Pour trouver le commutant d'une matrice diagonale (ou d'une matrice “simple”
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F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015
Fiche aide-mémoire 7 :
Commutant d"une matrice.
Beaucoup de sujets de concours s"intéressent à la détermination du commutant d"une matriceA:
Définition :
SoitAune matrice carrée d"ordren.
On appellecommutant deAl"ensemble des matricesMqui commutent avecA, c"est-à-dire telles queAM=MA. On le note généralementC(A). Ainsi :
C(A) =fMatricesMtelles queAM=MAg=fMjAM=MAg:
Les questions concernant le commutant sont souvent les mêmes. Les résultats suivant sont à retenir.
1 Des remarques pour commencer
•La matrice nulle deMn(R)appartient àC(A). En effet,0A= 0etA0 = 0. •La matrice identité deMn(R)appartient àC(A). En effet,AI=AetIA=A. •La matriceAappartient àC(A). En effet,A:A=A2etA:A=A2(!). •Les puissances deAappartiennent àC(A). En effet,A:Ak=Ak+1etAk:A=Ak+1, ce8k2N.2 Le commutant deAest un sous-espace vectoriel deMn(R).
Ce résultat se démontre de deux façons :
2.1 Démonstration directe
•SiMcommute avec la matriceAqui est carrée d"ordren, alors les produitsAMetMAont tous les deux
un sens :Mest donc carrée d"ordren. Ainsi,C(A) Mn(R). •La matrice nulle (au choix, ou l"identité, ouA) appartient àC(A), doncC(A)6=;. •SoientMetNdeux matrices deC(A). Alors par définitionAM=MAetAN=NA. Montrons que M+N2C(A). CommeAM=MAetAN=NA, on aA(M+N) =AM+AN=MA+NA= (M+N):A, ce qui montre queM+N2C(A). •SoitMune matrice deC(A)et2R. Alors par définitionAM=MA. Montrons queM2C(A). Comme AM=MA, et que2Ron aA(M) =(AM) =(MA) = (M)A. Ainsi,M2C(A). •Finalement,C(A)est un sous-espace vectoriel deMn(R).2.2 Le commutant vu comme le noyau d"une application linéaire.
On remarque, comme précédemment, queC(A) Mn(R). On considère l"applicationA:Mn(R)! Mn(R)
M7!AMMA:
•'Aest un endomorphisme deMn(R). En effet, on remarque déjà que l"ensemble de départ et d"arrivée de
Asont les mêmes. Il suffit donc de montrer que'Aest linéaire. SoientMetNdeux matrices carrées d"ordren,
etdeux réels. Alors'A(M+N) =A(M+N)(M+N)A=AM+ANMANAcaret sont des réels. D"autre part,'A(M)+'A(N) =(AMMA)+(ANNA) =AMMA+ANNA et donc'A(M+N) ='A(M) +'A(N). Ainsi,'est linéaire. •Ker('A) =C(A). En effet, soitM2Ker('A). AlorsAMMA= 0, doncAM=MA:M2C(A)et donc Ker('A)C(A). Réciproquement, soitM2C(A). AlorsAM=MA, doncAMMA= 0ce qui prouve queM2Ker('A)et donc queC(A)Ker('A). Finalement, on a bien Ker('A) =C(A). •C(A)est un sous-espace vectoriel deMn(R): c"est le noyau d"un endomorphisme deMn(R). 1/2 F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-20153 Commutant d"une matrice diagonale
Pour trouver le commutant d"une matrice diagonale (ou d"une matrice "simple" au sens où elle comporte
beaucoup de zéros), on effectue généralement les calculs coefficient par coefficient (ce qui amène à résoudre
un système den2équations àn2inconnues.Il peut être utile de retenir que :
•Multiplier à droite une matriceMpar une matrice diagonaleD(i.e. faire le produitMD) revient à multiplier
les colonnes deMpar les coefficients correspondants deD.•Multiplier à gauche une matriceMpar une matrice diagonaleD(i.e. faire le produitDM) revient à multi-
plier les lignes deMpar les coefficients correspondants deD.Exemple :Cherchons le commutant deD:=0
@0 0 0 01 00 0 11
A SoitMune matrice deC(D). CherchonsMsous la formeM=0 @a b c d e f g h i1 A . On aMD=0 @0b c 0e f 0h i1 A et DM=0 @0 0 0 def g h i1 A doncMD=DM()( b= 0; c= 0;d= 0 f=f; g= 0; h= 0()M=0 @a0 0 0e0 0 0i1 AFinalement,C(D)est formé de toutes les matrices d"ordre3diagonales. C"est donc un sous-espace vectoriel
deM3(R)de dimension3. Précisément, une base en est0 @0 @1 0 0 0 0 00 0 01
A ;0 @0 0 0 0 1 00 0 01
A ;0 @0 0 0 0 0 00 0 11
A1 A (on a vuque cette famille était génératrice puisque on a trouvé queMs"écritafois la première plusefois la deuxième
plusifois la troisième), et on montre aisément qu"elle est libre). Remarque :En fait, dans le cas oùDest diagonale,et que toutes les valeurs propres deDsont deuxà deux distinctes(i.e. les coefficients diagonaux deDsont tous différents),C(D)est l"ensemble des matrices
diagonales. Dans ce cas, on peut même montrer queI;D;D2;:::;Dn1est une base deC(D)(rappelons que nest l"ordre deD). Exemple (retour). Montrons que(I;D;D2)est une base deC(D). Comme c"est une famille de trois vecteurset queC(D)est de dimension trois, il suffit de montrer que la famille est libre. Soienta;b;ctrois réels
tels queaI+bD+cD2= 0. CommeaI+bD+cD2=0 @a0 0 0a0 0 0a1 A +0 @0 0 0 0b0 0 0b1 A +0 @0 0 0 0c0 0 0c1 A 0 @a0 00ab+c0
0 0a+b+c1
A ,aI+bD+cD2= 0donne immédiatement8 :a= 0 b+c= 0 b+c= 0, donca=b=c= 0: la famille(I;D;D2)est libre. Finalement,(I;D;D2)est une base deC(D).4 Cas général : obtention du commutant par diagonalisation!
SiAest diagonalisable, on peut trouver une matricePinversible, et une matrice diagonaleD, telles queA=
PDP