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On appelle commutant de A l'ensemble des matrices M qui commutent avec A, Pour trouver le commutant d'une matrice diagonale (ou d'une matrice “simple” 

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Exercice 3 : Que peut-on dire d'une matrice qui vérifie Tr(AAT )=0? Correction N est niloptente d'indice 3 et elle commute avec la matrice I3 On peut donc

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Déterminer le nombre m de solutions de l'équation X2 = A b Déterminer Justifier sans calcul que deux solutions X et X commutent d Q 14 En déduire que C(A) est l'ensemble des matrices de M3(R) de la forme aM1 + bM2 + cM3 avec

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L'ensemble des matrices de M3(R) qui commutent avec leur transposée (donc qui vérifient la relation (1)) est noté E3 10 Déterminer S2 et montrer que S et S2  

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Déterminer le nombre de couples (X, Y ) ∈ P(E)2 tels que X ⊂ Y ∪ {a} B ∈ Mn(R), on note C(B) l'ensemble des matrices qui commutent avec B (appelé

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feuille.vide

Q11/3Q3

Q2 espaceblanc. merunepartiedelacopie.

R´edactionmath´ematique:

d´emonstration. probl`eme. 1

2n.Q1a.D´eterminerladimensiondeKerf.

Imf2etKerg=Kerf∩Imf.

c.End´eduirequerg(f2)≥n. ?estunebasedeE. b. matriceA=( (164-4 -18-45

308-7)

matricedanslabaseε.2.1 b.D´eterminerunebasedeKeru. P=( (10-1 -211 21-2)
etD=( (000 010 004) b. (000

0λ0

002μ)

?t?R,??? ?x?(t)=16x(t)+4y(t)-4z(t) y?(t)=-18x(t)-4y(t)+5z(t) z?(t)=30x(t)+8y(t)-7z(t)(1)

X(t)=(

(x(t) y(t) z(t)) etX?(t)=( (x?(t) y?(t) z?(t)) b.Trouverlasolutionduprobl`emepos´e.

MPSI24DS07Corrig´e.Q1a.

dim(Kerf)=n. c. dimImf=dimKerg+rg(g) ?estunebasedeKerf2.Puisquef3=0L(E), b.Puisque?k?[[1,n]],f?f(ek) ?=f2(ek)etf?f2(ek) ?=f3(ek)=0E,ontrouveque

Matb(f)=(

(((((((((((((((((0...0 0 1 0 ...0 10 ...1... ...00...0

0...010...0)

Ker(u)=Vect((1,-2,2)).

(154-4 -18-55

308-8)

.Enr´esolvant

OntrouvequeP-1=

(-3-11 -201 -4-11) .Q7SoitM=( (adg beh cfi) .OncalculeMD=( (0d4g 0e4h 0f4i) etDM=( (000 beh

4c4f4i)

queY2=D.Q10Cesontlesmatricesdelaforme

X=PYP-1=

(10-1 -211 21-2)
(000

0λ0

00μ)

(-3-11 -201 -4-11) (000 -201 -201) ????M+μ( (82-2 -8-22

164-4)

b.S=(M+M?)+(M-M?)+(-M+M?)+(-M-M?)=0. M1= (-3-11 62-2
-6-22) ,M2= (000 -201 -201) ,M3= (41-1 -4-11 82-2)
(a(t) b(t) c(t)) etY?(t)= (a?(t) b?(t) c?(t)) doiventdoncv´erifierlesyst`eme?t?R, ?a?(t)=0 b?(t)=b(t) c?(t)=4c(t)(3) avec( (a(0) b(0) c(0)) =P-1( (2 1 2) (-5 -2 -7) .Ontrouvealorsquea(t)=-5,b(t)=-2etetquotesdbs_dbs30.pdfusesText_36