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Chapitre 8.Matrices

Ce Chapitre introduit la notion de matrice ainsi que les règles de calcul matriciel élémentaire. On

utilise également la méthode du pivot de Gauss (vue au Chapitre 2) pour obtenir l"inverse d"une

matrice (lorsque ceci est possible). On présente égalementune application aux suites numériques

(voire aux probabilités) du calcul d"une puissance d"une matrice.

1 Vocabulaire et Notations

Dans tout le chapitren,p,qsont des entiers naturels non nuls. Définition 1.UnematriceAànlignes etpcolonnes est un tableau défini parn×péléments •Le nombreai,jest lecoefficientd"indice(i,j)de la matriceA: il se trouve à l"intersection de lai-ème ligne et de laj-ème colonne. •La matriceAest parfois dite detailleou deformat(n,p)ou tout simplementmatricen×p. •L"ensemble des matrices de taille(n,p)à coefficients dansRest notéMn,p(R)et on note

A= (ai,j)? Mn,p(R).

?On présente les matrices de cette manière : (j-ème colonne ↓a

1,1a1,2... a1,j... a1,p

a

2,1a2,2... a2,j... a2,p............

i-ème ligne→ai,1ai,2... ai,j... ai,p............ a n,1an,2... an,j... an,p))))))))) ? M n,p(R)

Exercice 1.

(1) À quels ensembles appartiennent les matrices suivantes?

1)A=(((1 2 34 5 67 8 9)))

2)B=?1-1e

2 0,2?

3)Id3=(((1 0 00 1 00 0 1)))

2Chapitre 8.Matrices

4)C=(((123)))

5)D=?1-2

-2 4?

6)E=?2 10 0?

7)02,3=?0 0 00 0 0?

8)F=?3?

?On adopte le vocabulaire suivant :

• M

n(R) =Mn,n(R)est l"ensemble desmatrices carréesde taillenà coefficients dansR.

• M

1,p(R)est l"ensemble desmatrices lignesde taillepà coefficients dansR.

• M

n,1(R)est l"ensemble desmatrices colonnesde taillenà coefficients dansR. •A= (ai,j)? Mn(R)est unematrice triangulaire supérieuresi?(i,j)??1;n?2, i > j=? a ij= 0.

A=((((a

1,1a1,2···a1,n

0a2,2···a2,n............

0···0an,n))))

•A= (ai,j)? Mn(R)est unematrice triangulaire inférieuresi?(i,j)??1;n?2, i < j=? a ij= 0.

A=(((((a

1,10···0

a

2,1a2,2...............0

a n,1···an,n-1an,n))))) •A= (ai,j)? Mn(R)est unematrice diagonalesi?(i,j)??1;n?2, i?=j=?aij= 0.

A=(((((a

1,10···0

0a2,2...............0

0···0an,n)))))

On note parfois(ai,j) = diag(a1,1,...,an,n).

•A= (ai,j)? Mn(R)est unematrice symétriquesi?(i,j)??1;n?2, aj,i=ai,j. •0n,p? Mn,p(R)est lamatrice nulle, dont tous les coefficients valent0. On la note aussi0. •Idn? Mn(R)est lamatrice identité: diagonale, de taillen, dont les coefficients diagonaux valent1(elle est parfois simplement notéeIn). Id n=(((((1 0···0 0 1 ...............0

0···0 1)))))

Exercice 2.Donner, dans chaque cas, un exemple de matrice3×3: triangulaire supérieure,

triangulaire inférieure, diagonale et symétrique (on choisira naturellement des matrices différentes

de l"identité). 3

2 Opérations de base sur les matrices

2.1 Somme de matrices - Multiplication par un réel

Définition 2.On définit les opérations suivantes sur l"ensembleMn,p(R): •Addition: SoientA= (ai,j)? Mn,p(R)etB= (bi,j)? Mn,p(R). Alors, on définit la matrice somme parA+B= (ai,j+bi,j)? Mn,p(R). •Multiplication par un réel: Soientλ?RetA= (ai,j)? Mn,p(R). On définit le produit deAavecλparλA= (λai,j)? Mn,p(R). ?Si l"on peut multiplier une matrice de toute taille par un réel, on ne peutadditionnerdeux matrices que si elles ontla même taille. Exercice 3.À partir des matrices de l"Exercice 1, calculerE+D,3BetA-3Id3.

2.2 Produits de matrices

Définition 3.On définit leproduitd"une matriceAdenlignes etpcolonnes avec une matrice Bdeplignes etqcolonnes comme la matrice denlignes etqcolonnes suivante: p? k=1a i,kbk,j? n,q(R). ?Attention .On ne peut calculer le produitABque si le nombre de colonnes deAégale le nombre de lignes deB. En particulier, il peut être possible de calculer le produitABmais pas le produitBA! Si les deux matrices sont carrées de même taille, on peut calculerABetBAmais ces deux produits ne sont en général pas égaux. On dit que le produit matriciel n"estpas commutatif. Remarque 1.Le produit d"une matrice ligne?= (?j)? M1n(R)et d"une matrice colonne c= (ci)? Mn1(R)est un nombre, égal à?1c1+···+?ncn. ?Le coefficient(i,j)du produitABest le produit de lai-ème ligne deAavec laj-ème colonne deB. On peut disposer les calculs ainsi:(((1 23 10 2))) =B

A=(((1 0 00 3 11 1 3)))

1 2 9 5 4 9 )=AB

0×2

3×1

1×2

Exercice 4.À partir des matrices de l"Exercice 1, calculer les produits: (1)ED(2)DE(3)AId3(4)AC(5)02,3A(6)EB(7)BE Proposition 1(Propriétés du produit).Le produit matriciel ... (1) est associatif: ?A? Mn,p(K),?B? Mp,q(K),?C? Mq,r(K),(AB)C=A(BC). (2) est distributif à gauche par rapport à+: ?A? Mn,p(K),?B,C? Mp,q(K), A(B+C) =AB+AC.

4Chapitre 8.Matrices

(3) est distributif à droite par rapport à+: ?A,B? Mn,p(K),?C? Mp,q(K),(A+B)C=AC+BC. (4) commute avec le produit externe: ?λ?K,?(A,B)? Mn,p(K)× Mp,q(K),(λA)B=λ(AB) =A(λB). (5) admet la matrice identité comme élément neutre: ?A? Mn,p(K), AIp=AetInA=A. (6) n"est pas commutatif.

(7) ne vérifie pas la propriété du produit nul (on peut avoir deux matrices non nulles dont le

produit est nul). ?Les multiples de l"identité commutent avec toutes les autres matrices: ?A? Mn(R),?λ?R, λIn·A=A·λIn.

2.3 Puissances de matrice

Définition 4.Soientk?NetAune matricecarréedeMn(R). On appellepuissancek-ième de A, et on noteAk, la matrice A

0=IdnetAk=A× ··· ×A?

kfois. ?Toute puissance de la matrice identité est encore égale à l"identité: ?n?N,?k?N, Ikn=In.

Il est également facile de voir que la puissance d"un multiple de l"identité (ou plus généralement

d"une matrice diagonale) se calcule très facilement

Proposition 2.(Puissance d"une matrice diagonale)

SoitMune matrice (carrée) diagonale. Alors,Mkest encore diagonale, et ses éléments diagonaux

sont les puissancesk-ièmes des éléments diagonaux deM:

10...0

0λ2...0.........

0··· ···λn))))

k k

10...0

0λk2...0.........

0··· ···λkn))))

?Par exemple, ?-2 0 0 3? n =?(-2)n0 0 3 n? 2 0 0 0 2 0

0 0 2))

3 8 0 0 0 8 0

0 0 8))

,(λIn)k=λkIn. Comme le produit matriciel ne commute pas en général, la puissance de matrice ne garde seule- ment que certaines propriétés des réels.

Exercice 5.Calculer, si possible,

(1)A2pourA=?1 1 22 1 0? (2)A2,A3,B2,AB,BA,A+B,(A+B)2,A2+ 2AB+B2pour

A=?2-1

0 1? etB=?3-1 0 3? 5 (3)M0,M1,M2,M3,M4,M100pour

M=((((0 0 0 01 0 0 00 1 0 00 0 1 0))))

Proposition 3.Soientk,l,n?NetA,B? Mp(R).

(1)AkAl=Ak+l. (2)(Ak)l=Akl. (3)LorsqueAetBcommutent, on a (i)(AB)k=AkBk; (ii)(A-B)(A+B) =A2-B2; (iii)(A+B)2=A2+ 2AB+B2; (iv)(A-B)2=A2-2AB+B2; (v) LaFormule du binôme: (A+B)n=n? i=0? n i? A iBn-i. ?Toutes les puissances d"une matrice carréeAcommutent entre elles.

2.4 Polynômes de matrices

Définition 5.SoientP(X) =anXn+...+a1X+a0?R[X]un polynôme etA? Mp(R)une matrice carrée. On définit l"évaluation dePenAcomme la matrice

P(A) =anAn+...+a1A+a0Idp? Mp(R).

?LorsqueP(A) = 0p, on dit quePest unpolynôme annulateurdeA.

On peut utiliser les propriétés des polynômes pour obtenir des informations sur les matrices

(inverse, puissances). L"exercice suivant est un exemple très intéressant.

Exercice 6.SoientA=((

0 1-1 -1 2-1

1-1 2))

etP(X) =X2-3X+ 2. (1) CalculerP(A). (2) Soitn≥3. Effectuer la division euclidienne deXnparP. (3) En déduire l"expression deAn.

2.5 Application

: Puissances de matrices & suites numériques

Les puissances de matrices peuvent être très utiles dans l"étude des suites récurrentes et des

suites croisées. Exercice 7.Soient(an),(bn)et(cn)trois suites réelles définies par???a 0= 1 b 0= 2 c

0= 7et???a

n+1= 3an+bn b n+1= 3bn+cn c n+1= 3cn L"objectif de l"exercice est d"obtenir l"expression des termes généraux des trois suites. (1) Pourn?N, on poseXn=(( a n b n c n)) . Trouver une matriceA? M3(R)telle queXn+1=AXn. (2) En déduire queXn=AnX0.

6Chapitre 8.Matrices

(3) SoitN=(( 0 1 0 0 0 1

0 0 0))

. CalculerN2,N3, puisNp, pourp≥3. (4) Montrer que, pour toutn≥0, A n= 3nI3+ 3n-1nN+ 3n-2n(n-1) 2N2. (5) Conclure.

3 Inverse d"une matrice

Définition 6.SoitA? Mn(R)une matrice carrée. On appellematrice inversedeAet on note A -1? Mn(R)une matrice qui vérifie AA -1=Idn=A-1A.

L"ensemble des matrices carrées de taillenà coefficients dansRqui admettent une matrice inverse

est notéGLn(R). ?Naturellement, la matrice identité est inversible et elle est sa propre matrice inverse I nIn=In=?I-1n=In.

Proposition 4.SoientA,B?GLn(R).

(1)A-1est unique: siBA=IdnouAB=IdnalorsB=A-1; (2)(A-1)-1=A; (3)?(AB)-1=B-1A-1.

Proposition 5.(Inverse d"une matrice diagonale)

SiMest diagonale alors elle est inversible si et seulement si tous ses éléments diagonaux sont

non nuls. Son inverse est alors égale à la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les

inverses des éléments diagonaux deM:

Si (et seulement si)λi?= 0,((((λ

10...0

0λ2...0.........

0··· ···λn))))

-1 =((((1/λ10...0

0 1/λ2...0.........

0··· ···1/λn))))

?En particulier,

Siλ?= 0,(λn)-1=1

λIn,ou, autre exemple,((

1 0 0 0 2 0

0 0 3))

-1 1 0 0

0 1/2 0

0 0 1/3))

Exercice 8.

(1) Vérifier queB=(( 1 0-1 1 2121
-1 0 2)) est l"inverse de la matriceA=(( 2 0 1 0 2-1

1 0 1))

(2) Soitn?N,λ?R?. Vérifier queλInest inversible, d"inverse1

λInet que0nn"est pas

inversible. Remarque 2.Pour des matrices inversibles, les propriétés de calcul despuissances sont valables pour des puissances négatives. ?Attention .La somme de deux matrices inversibles n"est pas inversible en général. Par exemple I net-Insont inversibles maisIn-In= 0nne l"est pas. 7 En calcul matriciel, lorsqu"une matrice est inversible cela permet d"obtenir de nouvelles règles

de calcul. On peut "simplifier" par cette matrice dans les égalités, comme on le fait dansRà l"aide

de la division. Cependant il ne faut pas oublier de tenir compte de lanon commutativitédes matrices.

Pour ne pas faire d"erreur, il faut multiplier, à gauche ou à droite, par l"inverse de la matrice.

Proposition 6.SoientC?Gln(R), etAetBdes matrices telles que les produits suivants aient un sens.

Simplification à gauche:

CA=B??A=C-1B

CA=CB??A=B

Simplification à droite:

AC=B??A=BC-1

AC=BC??A=B

Exercice 9.

(1) SoientA,Btelles queAB= 0. Montrer que siA?= 0etB?= 0alors niAniBne sont inversibles. (2) SoitB=?-1 1 0 0? . CalculerB2+Bet déduire queBn"est pas inversible.

3.1 Polynôme annulateur et inverse

SoitAune matrice carrée de taillen. La connaissance d"un polynôme annulateur deA,si le coefficient constant de ce dernier est non nul, peut permettre de conclure, parfactorisation parA, à l"inversibilité deAet d"exprimer l"inverse comme polynôme deA.

Exemple.On considère la matriceAsuivante

A=((quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32