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Classe: TSspé chapitre5 : Puissance n-ième d'une matrice- Limite

Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie

Indexobjectif bac page 168 Étude asymptotique d'une marche aléatoire .......................................................... 1

objectif bac page 169 Étude d'une suite de matrices ................................................................................ 5

TP1 page 170 le modèle des urnes d'Ehrenfest ...................................................................................... 8

TP3 page 174 Modèle proies-prédateurs de Lokta-Volterra ......................................................... 16

9 page 176 ............................................................................................................................................... 19

10 page 176 ............................................................................................................................................. 21

48 page 184 Étude asymptotique d'une marche aléatoire. ............................................................ 21

51 page 185 Approximation de nombres réels .................................................................................... 24

Remarque et complément : Suite de Fibonacci .................................................................................. 30

57 page 188 Le modèle de Leslie ........................................................................................................... 32

objectif bac page 168 Étude asymptotique d'une marche aléatoire Un graphe probabiliste : Étant sur une page, le lien est choisi

équitablement.

ou un arbre

1) La matrice (pi,j) où les coefficients pi,j désigne la probabilité, étant à la page i, d'aller à la page j. (i et j

sont les entiers 1 ou 2 ou 3).

Remarque : pi,j est la probabilité conditionnelle qui pourrait être notée pi(j) avec les notations utilisées en

probabilités dans le programme obligatoire.

M = (pi,j) =

(00,50,5

0,500,5

010).

2) Pn en fonction de M et de P0.

Xn est la variable aléatoire donnant la page sur laquelle se trouve le surfeur au n-ième clic.

Pn est la matrice ligne donnant dans cet ordre : le surfeur est à la page 1, à la page 2, à la page 3 ;

Pn = (P(Xn = 1) P(Xn = 2) P(Xn = 3))

P0 =(a b c) avec 0  a  1 ; 0  b  1 ; 0  c  1 et a + b + c = 1. État probabiliste initial.

" L'essence des mathématiques réside précisément dans leur liberté " Georg Cantor

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Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie P1 = P0M et Pn+1 = PnM Par récurrence, on montre que : Pn = P0Mn.

3) Soit la matrice P =

(112 11-4

1-24). On admet que P est inversible et que P-1 =

18 (486

8-2-6

3-30).

a) Q = P-1MP. Q = 1

18(486

8-2-6

3-30)(00,50,5

0,500,5

010)(112

11-4

1-24) =

18 (486

-1-23 -1,51,50)(112 11-4

1-24) =

18 (1800

0-918

00-9).

Q = (100

0-0,51

00-0,5) = (100

0-0,50

00-0,5) + (000

001 000)

On pose : D =

(100

0-0,50

00-0,5) et T = (000

001

000), d'où, Q = D + T.

3 b) T² =

(000 001

000)(000

001

000) = (000

000

000) = 03.

DT = (100

0-0,50

00-0,5)(000

001

000) = (000

00-05

000) = -0,5(000

001

000) = -0,5T

TD = (000 001

000)(100

0-0,50

00-0,5) = (000

00-05

000) = -0,5T

Remarquer :

Lorsqu'une ligne i de la matrice à gauche est nulle, la ligne i de la matrice produit est nulle.

Lorsqu'une colonne j de la matrice à droite est nulle, la colonne j de la matrice produit est nulle.

Montrons l'égalité : Pour tout n ∈ ℕ*, DnT = (-0,5)nT.

Par récurrence :

Initialisation : n = 1. Le calcul précédent initialise la proposition. Hérédité : Soit un entier n  1 tel que DnT = (-0,5)nT. Dn+1T = D. DnT = D((-0,5)nT) = (-0,5)nDT = (-0,5)n(-0,5T) = (-0,5)n+1T . Conclusion : D'après l'axiome de récurrence, pour tout n ∈ ℕ*, DnT = (-0,5)nT. " L'essence des mathématiques réside précisément dans leur liberté " Georg Cantor

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Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie

3c) Proposition à démontrer par récurrence: Pour tout n ∈ ℕ*, Qn = Dn + n(-0,5)n-1T.

Initialisation : n = 1.

Q = D + T et D + 1×(-0,5)0T = D + T L'égalité est vérifiée. Hérédité : Soit un entier n  1 tel que Qn = Dn + n(-0,5)n-1T.

Qn+1 = QnQ = (Dn + n(-0,5)n-1T)(D + T)

= Dn+1 + n(-0,5)n-1TD + DnT + n(-0,5)n-1T²

Or, T² = 03, TD = -0,5T et DnT =

(-0,5)nT.

On a donc : Qn+1 = Dn+1 +

n(-0,5)n-1(-0,5T) + (-0,5)nT = Dn+1 + n(-0,5)nT + (-0,5)nT = Dn+1 + (n + 1) (-0,5)nT. Conclusion : D'après l'axiome de récurrence, pour tout n ∈ ℕ*, Qn = Dn + n(-0,5)n-1T. d) On sait : Q = P-1MP. En multipliant à gauche par P et à droite par P-1, on a : PQP-1 = P(P-1MP)P-1 Par associativité : PQP-1 = (PP-1)M(PP-1) = M puisque PP-1 = PP-1 = I3 . On a : M² = PQP-1PQP-1 = PQ²P-1 (et par récurrence ...)

Mn = PQnP-1

3 e) Étude de la limite en +∞ de la suite

(Qn).

On sait : pour tout n ∈ ℕ*, Qn = Dn +

n(-0,5)n-1T.

Étude de Dn en +

Comme -1 < -0,5 < 1, on sait :

limn→+∞ (-0,5)n = 0 La matrice D étant une matrice diagonale, on a : Dn = (100

0(-0,5)n0

00(-0,5)n) et quand n tend vers +∞, (Dn)

tend vers la matrice (100 000 000).

Étude de la limite de

n(-0,5)n-1 n(-0,5)n-1 = 2 n

2×(-1)n-1×1

2n-1 = (-1)n-1×2×n

Il reste à étudier la limite de n

2n Comme 2n = enln2 , posons x = nln2, et, étudions la limite de 1 ln2 x ex

D'autre part, on sait : limx→+∞ex

x = +∞, d'où, limx→+∞x ex = 0, ( soit : limx→+∞ xe-x = 0.) " L'essence des mathématiques réside précisément dans leur liberté " Georg Cantor

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Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie

La limite en +∞ de n

2n est la limite en +∞ (car ln2 > 0) de 1

ln2 x ex, donc, limn→+∞ n

2n = 0.

Comme, pour tout n ∈ ℕ*, (-1)n-1 = -1 ou 1, limn→+∞ (-1)n-1×2× n

2n = 0

la matrice Qn a donc pour limite en +∞, la matrice (100 000 000). Étude de la limite en +∞ de la suite (Mn). Comme Mn = PQnP-1, on a quand n tend vers +∞, Mn tend vers P (100 000

000)P-1.

Calcul de : 1

18 (112 11-4

1-24)(100

000

000) (486

8-2-6

3-30) =

18 (100

100

100)(486

8-2-6

3-30) =

18 (486

486

486) =

(2 9 4 9 3 9 2 9 4 9 3 9 2 9 4 9 3 9

On note

M∞ la matrice

(2 94
93
9 2 94
93
9 2 94
93
9).

4) P0 =(a b c) avec 0  a  1 ; 0  b  1 ; 0  c  1 et a + b + c = 1. État probabiliste initial.

Pn = P0Mn donc

Pn tend vers la matrice

P∞ = P0M∞ = (a b c)

(2 94
93
9 2 94
93
9 2 94
93
9) = (2

9(a+b+c)4

9(a+b+c)3

9(a+b+c))Comme a + b + c = 1, la suite

(Pn) converge vers P∞ = (2 94
93
9). la page 2 est celle qui est la plus probable après de nombreux clics. " L'essence des mathématiques réside précisément dans leur liberté " Georg Cantor

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Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie objectif bac page 169 Étude d'une suite de matrices

Xn = (pn

qn rn ) avec X0 = (12 16

10) et Xn+1 = AXn + C où A = (0,50,250,25

0,250,50,25

0,250,250,5) et C = (0

3 -3).

1 a) Soit X =

(16 20

12). AX + C = (0,50,250,25

0,250,50,25

0,250,250,5)(16

12) + (0

3 -3) = (8+5+3

4+10+3

4+5+6) + (0

3 -3) = (16 20

12) = X

Remarques et point-méthode :

1) recherche et existence de X

On cherche s'il existe une matrice constante X vérifiant AX + C = X. Si cette matrice existe, elle vérifie (I3 - A)X = C.

On pose B = I3 - A.

Lorsque B est inversible X =

B-1C.

2) Dans l'étude des suites arithmético-géométriques, l'étude est semblable.

Soit un+1 = aun + b.

On résout : ax + b = x. si a

≠ 1, il existe un réel  = b

1-a tel que  = a + b.

par différence : un+1 -  = a(un - ), d'où, l'introduction de la suite (vn) définie par vn = un - . (vn) est une suite géométrique de raison a. vn = anv0, puis : un -  = an(u0 - ) un = an(u0 - b) On pose Yn =

Xn - X.

Plusieurs méthodes pour disposer les calculs ....

On cherche

Yn+1, on pose donc par définition Yn+1, et, on remplace Xn+1 par AXn + C et X par AX + C.

Yn+1 = Xn+1 - X = AXn + C - (AX + C) = A(

Xn - X) = AYnou bien on pose les deux égalités : Xn+1 = A Xn + C et X = AX + C, puis on fait la différence membre-à- membre , {Xn+1=AXn+C

X=AX+C mène à Xn+1 - X = A Xn - AX = A(Xn - X) = AYn, soit : Yn+1 = AYnUne récurrence évidente permet alors de montrer : Yn = AnY0

Comme Yn = Xn - X et Y0 = X0 - X, il vient : Xn - X = An(X0 - X)

Conclusion : Xn = =

An(X0 - X) + X

" L'essence des mathématiques réside précisément dans leur liberté " Georg Cantor

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Classe: TSspé chapitre5 : Puissance n-ième d'une matrice- Limite

Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie

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9 page 176 ............................................................................................................................................... 19

10 page 176 ............................................................................................................................................. 21

48 page 184 Étude asymptotique d'une marche aléatoire. ............................................................ 21

51 page 185 Approximation de nombres réels .................................................................................... 24

57 page 188 Le modèle de Leslie ........................................................................................................... 32

équitablement.

1) La matrice (pi,j) où les coefficients pi,j désigne la probabilité, étant à la page i, d'aller à la page j. (i et j

M = (pi,j) =

0,500,5

2) Pn en fonction de M et de P0.

Pn = (P(Xn = 1) P(Xn = 2) P(Xn = 3))

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3) Soit la matrice P =

1-24). On admet que P est inversible et que P-1 =

18 (486

3-30).

18(486

3-30)(00,50,5

0,500,5

010)(112

1-24) =

18 (486

1-24) =

18 (1800

00-9).

0-0,51

00-0,5) = (100

0-0,50

00-0,5) + (000

On pose : D =

0-0,50

00-0,5) et T = (000

000), d'où, Q = D + T.

3 b) T² =

000)(000

000) = (000

000) = 03.

0-0,50

00-0,5)(000

000) = (000

000) = -0,5(000

000) = -0,5T

000)(100

0-0,50

00-0,5) = (000

000) = -0,5T

Remarquer :

Par récurrence :

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3c) Proposition à démontrer par récurrence: Pour tout n ∈ ℕ*, Qn = Dn + n(-0,5)n-1T.

Initialisation : n = 1.

Qn+1 = QnQ = (Dn + n(-0,5)n-1T)(D + T)

Or, T² = 03, TD = -0,5T et DnT =

On a donc : Qn+1 = Dn+1 +

Mn = PQnP-1

3 e) Étude de la limite en +∞ de la suite

On sait : pour tout n ∈ ℕ*, Qn = Dn +

Étude de Dn en +

Comme -1 < -0,5 < 1, on sait :

0(-0,5)n0

00(-0,5)n) et quand n tend vers +∞, (Dn)

Étude de la limite de

2×(-1)n-1×1

2n-1 = (-1)n-1×2×n

Il reste à étudier la limite de n

D'autre part, on sait : limx→+∞ex

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La limite en +∞ de n

2n est la limite en +∞ (car ln2 > 0) de 1

2n = 0.

2n = 0

000)P-1.

Calcul de : 1

1-24)(100

000) (486

3-30) =

18 (100

100)(486

3-30) =